Calcul infinitésimal Exemples

$x = \frac{t^{2} + 1}{3 t}$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d t} (x) = \frac{d}{d t} (\frac{t^{2} + 1}{3 t})$

Étape 2

La dérivée de $x$ par rapport à $t$ est $x'$ .

$x'$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Comme $\frac{1}{3}$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $\frac{t^{2} + 1}{3 t}$ par rapport à $t$ est $\frac{1}{3} \frac{d}{d t} [\frac{t^{2} + 1}{t}]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d t} [\frac{t^{2} + 1}{t}]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ est $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ où $f (t) = t^{2} + 1$ et $g (t) = t$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{t \frac{d}{d t} [t^{2} + 1] - (t^{2} + 1) \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}}$

Étape 3.3

Différenciez.

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Étape 3.3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $t^{2} + 1$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [1]$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{t (\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [1]) - (t^{2} + 1) \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}}$

Étape 3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{t (2 t + \frac{d}{d t} [1]) - (t^{2} + 1) \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}}$

Étape 3.3.3

Comme $1$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $1$ par rapport à $t$ est $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{t (2 t + 0) - (t^{2} + 1) \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}}$

Étape 3.3.4

Additionnez $2 t$ et $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{t (2 t) - (t^{2} + 1) \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}}$

Étape 3.4

Élevez $t$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2 (t^{1} t) - (t^{2} + 1) \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}}$

Étape 3.5

Élevez $t$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2 (t^{1} t^{1}) - (t^{2} + 1) \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}}$

Étape 3.6

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2 t^{1 + 1} - (t^{2} + 1) \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}}$

Étape 3.7

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2 t^{2} - (t^{2} + 1) \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}}$

Étape 3.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2 t^{2} - (t^{2} + 1) \cdot 1}{t^{2}}$

Étape 3.9

Associez les fractions.

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Étape 3.9.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2 t^{2} - (t^{2} + 1)}{t^{2}}$

Étape 3.9.2

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $\frac{2 t^{2} - (t^{2} + 1)}{t^{2}}$ .

$\frac{2 t^{2} - (t^{2} + 1)}{3 t^{2}}$

Étape 3.10

Simplifiez

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Étape 3.10.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 t^{2} - t^{2} - 1 \cdot 1}{3 t^{2}}$

Étape 3.10.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.10.2.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{2 t^{2} - t^{2} - 1}{3 t^{2}}$

Étape 3.10.2.2

Soustrayez $t^{2}$ de $2 t^{2}$ .

$\frac{t^{2} - 1}{3 t^{2}}$

Étape 3.10.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.10.3.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{t^{2} - 1^{2}}{3 t^{2}}$

Étape 3.10.3.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = t$ et $b = 1$ .

$\frac{(t + 1) (t - 1)}{3 t^{2}}$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$x' = \frac{(t + 1) (t - 1)}{3 t^{2}}$

Étape 5

Remplacez $x'$ par $\frac{d x}{d t}$ .

$\frac{d x}{d t} = \frac{(t + 1) (t - 1)}{3 t^{2}}$