Calcul infinitésimal Exemples

$w = {(x + 4)}^{3} {(x - 4)}^{- 3}$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (w) = \frac{d}{d x} ({(x + 4)}^{3} {(x - 4)}^{- 3})$

Étape 2

La dérivée de $w$ par rapport à $x$ est $w'$ .

$w'$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = {(x + 4)}^{3}$ et $g (x) = {(x - 4)}^{- 3}$ .

${(x + 4)}^{3} \frac{d}{d x} [{(x - 4)}^{- 3}] + {(x - 4)}^{- 3} \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{3}]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 3}$ et $g (x) = x - 4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $x - 4$ .

${(x + 4)}^{3} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 3}] \frac{d}{d x} [x - 4]) + {(x - 4)}^{- 3} \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{3}]$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = - 3$ .

${(x + 4)}^{3} (- 3 {u_{1}}^{- 4} \frac{d}{d x} [x - 4]) + {(x - 4)}^{- 3} \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{3}]$

Étape 3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $x - 4$ .

${(x + 4)}^{3} (- 3 {(x - 4)}^{- 4} \frac{d}{d x} [x - 4]) + {(x - 4)}^{- 3} \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{3}]$

Étape 3.3

Différenciez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

${(x + 4)}^{3} (- 3 {(x - 4)}^{- 4} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4])) + {(x - 4)}^{- 3} \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{3}]$

Étape 3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

${(x + 4)}^{3} (- 3 {(x - 4)}^{- 4} (1 + \frac{d}{d x} [- 4])) + {(x - 4)}^{- 3} \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{3}]$

Étape 3.3.3

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4$ par rapport à $x$ est $0$ .

${(x + 4)}^{3} (- 3 {(x - 4)}^{- 4} (1 + 0)) + {(x - 4)}^{- 3} \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{3}]$

Étape 3.3.4

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.4.1

Additionnez $1$ et $0$ .

${(x + 4)}^{3} (- 3 {(x - 4)}^{- 4} \cdot 1) + {(x - 4)}^{- 3} \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{3}]$

Étape 3.3.4.2

Multipliez $- 3$ par $1$ .

${(x + 4)}^{3} (- 3 {(x - 4)}^{- 4}) + {(x - 4)}^{- 3} \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{3}]$

Étape 3.4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = x + 4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $x + 4$ .

${(x + 4)}^{3} (- 3 {(x - 4)}^{- 4}) + {(x - 4)}^{- 3} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{3}] \frac{d}{d x} [x + 4])$

Étape 3.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ est $n {u_{2}}^{n - 1}$ où $n = 3$ .

${(x + 4)}^{3} (- 3 {(x - 4)}^{- 4}) + {(x - 4)}^{- 3} (3 {u_{2}}^{2} \frac{d}{d x} [x + 4])$

Étape 3.4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $x + 4$ .

${(x + 4)}^{3} (- 3 {(x - 4)}^{- 4}) + {(x - 4)}^{- 3} (3 {(x + 4)}^{2} \frac{d}{d x} [x + 4])$

Étape 3.5

Différenciez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.5.1

Déplacez $3$ à gauche de ${(x - 4)}^{- 3}$ .

${(x + 4)}^{3} (- 3 {(x - 4)}^{- 4}) + 3 \cdot {(x - 4)}^{- 3} {(x + 4)}^{2} \frac{d}{d x} [x + 4]$

Étape 3.5.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

${(x + 4)}^{3} (- 3 {(x - 4)}^{- 4}) + 3 {(x - 4)}^{- 3} {(x + 4)}^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4])$

Étape 3.5.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

${(x + 4)}^{3} (- 3 {(x - 4)}^{- 4}) + 3 {(x - 4)}^{- 3} {(x + 4)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} [4])$

Étape 3.5.4

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4$ par rapport à $x$ est $0$ .

${(x + 4)}^{3} (- 3 {(x - 4)}^{- 4}) + 3 {(x - 4)}^{- 3} {(x + 4)}^{2} (1 + 0)$

Étape 3.5.5

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.5.5.1

Additionnez $1$ et $0$ .

${(x + 4)}^{3} (- 3 {(x - 4)}^{- 4}) + 3 {(x - 4)}^{- 3} {(x + 4)}^{2} \cdot 1$

Étape 3.5.5.2

Multipliez $3$ par $1$ .

${(x + 4)}^{3} (- 3 {(x - 4)}^{- 4}) + 3 {(x - 4)}^{- 3} {(x + 4)}^{2}$

Étape 3.6

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.6.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

${(x + 4)}^{3} (- 3 \frac{1}{{(x - 4)}^{4}}) + 3 {(x - 4)}^{- 3} {(x + 4)}^{2}$

Étape 3.6.2

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

${(x + 4)}^{3} (- 3 \frac{1}{{(x - 4)}^{4}}) + 3 \frac{1}{{(x - 4)}^{3}} {(x + 4)}^{2}$

Étape 3.6.3

Associez des termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.6.3.1

Associez $- 3$ et $\frac{1}{{(x - 4)}^{4}}$ .

${(x + 4)}^{3} \frac{- 3}{{(x - 4)}^{4}} + 3 \frac{1}{{(x - 4)}^{3}} {(x + 4)}^{2}$

Étape 3.6.3.2

Placez le signe moins devant la fraction.

${(x + 4)}^{3} (- \frac{3}{{(x - 4)}^{4}}) + 3 \frac{1}{{(x - 4)}^{3}} {(x + 4)}^{2}$

Étape 3.6.3.3

Associez ${(x + 4)}^{3}$ et $\frac{3}{{(x - 4)}^{4}}$ .

$- \frac{{(x + 4)}^{3} \cdot 3}{{(x - 4)}^{4}} + 3 \frac{1}{{(x - 4)}^{3}} {(x + 4)}^{2}$

Étape 3.6.3.4

Déplacez $3$ à gauche de ${(x + 4)}^{3}$ .

$- \frac{3 \cdot {(x + 4)}^{3}}{{(x - 4)}^{4}} + 3 \frac{1}{{(x - 4)}^{3}} {(x + 4)}^{2}$

Étape 3.6.3.5

Associez $3$ et $\frac{1}{{(x - 4)}^{3}}$ .

$- \frac{3 {(x + 4)}^{3}}{{(x - 4)}^{4}} + \frac{3}{{(x - 4)}^{3}} {(x + 4)}^{2}$

Étape 3.6.3.6

Associez $\frac{3}{{(x - 4)}^{3}}$ et ${(x + 4)}^{2}$ .

$- \frac{3 {(x + 4)}^{3}}{{(x - 4)}^{4}} + \frac{3 {(x + 4)}^{2}}{{(x - 4)}^{3}}$

Étape 3.6.3.7

Pour écrire $\frac{3 {(x + 4)}^{2}}{{(x - 4)}^{3}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x - 4}{x - 4}$ .

$- \frac{3 {(x + 4)}^{3}}{{(x - 4)}^{4}} + \frac{3 {(x + 4)}^{2}}{{(x - 4)}^{3}} \cdot \frac{x - 4}{x - 4}$

Étape 3.6.3.8

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun ${(x - 4)}^{4}$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.6.3.8.1

Multipliez $\frac{3 {(x + 4)}^{2}}{{(x - 4)}^{3}}$ par $\frac{x - 4}{x - 4}$ .

$- \frac{3 {(x + 4)}^{3}}{{(x - 4)}^{4}} + \frac{3 {(x + 4)}^{2} (x - 4)}{{(x - 4)}^{3} (x - 4)}$

Étape 3.6.3.8.2

Multipliez ${(x - 4)}^{3}$ par $x - 4$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.6.3.8.2.1

Multipliez ${(x - 4)}^{3}$ par $x - 4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.6.3.8.2.1.1

Élevez $x - 4$ à la puissance $1$ .

$- \frac{3 {(x + 4)}^{3}}{{(x - 4)}^{4}} + \frac{3 {(x + 4)}^{2} (x - 4)}{{(x - 4)}^{3} {(x - 4)}^{1}}$

Étape 3.6.3.8.2.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{3 {(x + 4)}^{3}}{{(x - 4)}^{4}} + \frac{3 {(x + 4)}^{2} (x - 4)}{{(x - 4)}^{3 + 1}}$

Étape 3.6.3.8.2.2

Additionnez $3$ et $1$ .

$- \frac{3 {(x + 4)}^{3}}{{(x - 4)}^{4}} + \frac{3 {(x + 4)}^{2} (x - 4)}{{(x - 4)}^{4}}$

Étape 3.6.3.9

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- 3 {(x + 4)}^{3} + 3 {(x + 4)}^{2} (x - 4)}{{(x - 4)}^{4}}$

Étape 3.6.4

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.6.4.1

Factorisez $3 {(x + 4)}^{2}$ à partir de $- 3 {(x + 4)}^{3} + 3 {(x + 4)}^{2} (x - 4)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.6.4.1.1

Factorisez $3 {(x + 4)}^{2}$ à partir de $- 3 {(x + 4)}^{3}$ .

$\frac{3 {(x + 4)}^{2} (- (x + 4)) + 3 {(x + 4)}^{2} (x - 4)}{{(x - 4)}^{4}}$

Étape 3.6.4.1.2

Factorisez $3 {(x + 4)}^{2}$ à partir de $3 {(x + 4)}^{2} (- (x + 4)) + 3 {(x + 4)}^{2} (x - 4)$ .

$\frac{3 {(x + 4)}^{2} (- (x + 4) + x - 4)}{{(x - 4)}^{4}}$

Étape 3.6.4.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 {(x + 4)}^{2} (- x - 1 \cdot 4 + x - 4)}{{(x - 4)}^{4}}$

Étape 3.6.4.3

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$\frac{3 {(x + 4)}^{2} (- x - 4 + x - 4)}{{(x - 4)}^{4}}$

Étape 3.6.4.4

Additionnez $- x$ et $x$ .

$\frac{3 {(x + 4)}^{2} (0 - 4 - 4)}{{(x - 4)}^{4}}$

Étape 3.6.4.5

Soustrayez $4$ de $0$ .

$\frac{3 {(x + 4)}^{2} (- 4 - 4)}{{(x - 4)}^{4}}$

Étape 3.6.4.6

Soustrayez $4$ de $- 4$ .

$\frac{3 {(x + 4)}^{2} \cdot - 8}{{(x - 4)}^{4}}$

Étape 3.6.4.7

Multipliez $- 8$ par $3$ .

$\frac{- 24 {(x + 4)}^{2}}{{(x - 4)}^{4}}$

Étape 3.6.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{24 {(x + 4)}^{2}}{{(x - 4)}^{4}}$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$w' = - \frac{24 {(x + 4)}^{2}}{{(x - 4)}^{4}}$

Étape 5

Remplacez $w'$ par $\frac{d w}{d x}$ .

$\frac{d w}{d x} = - \frac{24 {(x + 4)}^{2}}{{(x - 4)}^{4}}$