Calcul infinitésimal Exemples

$w = {(2 x - 7)}^{- 1} (x + 5)$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (w) = \frac{d}{d x} ({(2 x - 7)}^{- 1} (x + 5))$

Étape 2

La dérivée de $w$ par rapport à $x$ est $w'$ .

$w'$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = {(2 x - 7)}^{- 1}$ et $g (x) = x + 5$ .

${(2 x - 7)}^{- 1} \frac{d}{d x} [x + 5] + (x + 5) \frac{d}{d x} [{(2 x - 7)}^{- 1}]$

Étape 3.2

Différenciez.

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Étape 3.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 5$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

${(2 x - 7)}^{- 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]) + (x + 5) \frac{d}{d x} [{(2 x - 7)}^{- 1}]$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

${(2 x - 7)}^{- 1} (1 + \frac{d}{d x} [5]) + (x + 5) \frac{d}{d x} [{(2 x - 7)}^{- 1}]$

Étape 3.2.3

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5$ par rapport à $x$ est $0$ .

${(2 x - 7)}^{- 1} (1 + 0) + (x + 5) \frac{d}{d x} [{(2 x - 7)}^{- 1}]$

Étape 3.2.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.2.4.1

Additionnez $1$ et $0$ .

${(2 x - 7)}^{- 1} \cdot 1 + (x + 5) \frac{d}{d x} [{(2 x - 7)}^{- 1}]$

Étape 3.2.4.2

Multipliez ${(2 x - 7)}^{- 1}$ par $1$ .

${(2 x - 7)}^{- 1} + (x + 5) \frac{d}{d x} [{(2 x - 7)}^{- 1}]$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = 2 x - 7$ .

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Étape 3.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $2 x - 7$ .

${(2 x - 7)}^{- 1} + (x + 5) (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [2 x - 7])$

Étape 3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

${(2 x - 7)}^{- 1} + (x + 5) (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [2 x - 7])$

Étape 3.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x - 7$ .

${(2 x - 7)}^{- 1} + (x + 5) (- {(2 x - 7)}^{- 2} \frac{d}{d x} [2 x - 7])$

Étape 3.4

Différenciez.

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Étape 3.4.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x - 7$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 7]$ .

${(2 x - 7)}^{- 1} + (x + 5) (- {(2 x - 7)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 7]))$

Étape 3.4.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

${(2 x - 7)}^{- 1} + (x + 5) (- {(2 x - 7)}^{- 2} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7]))$

Étape 3.4.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

${(2 x - 7)}^{- 1} + (x + 5) (- {(2 x - 7)}^{- 2} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 7]))$

Étape 3.4.4

Multipliez $2$ par $1$ .

${(2 x - 7)}^{- 1} + (x + 5) (- {(2 x - 7)}^{- 2} (2 + \frac{d}{d x} [- 7]))$

Étape 3.4.5

Comme $- 7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 7$ par rapport à $x$ est $0$ .

${(2 x - 7)}^{- 1} + (x + 5) (- {(2 x - 7)}^{- 2} (2 + 0))$

Étape 3.4.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.4.6.1

Additionnez $2$ et $0$ .

${(2 x - 7)}^{- 1} + (x + 5) (- {(2 x - 7)}^{- 2} \cdot 2)$

Étape 3.4.6.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

${(2 x - 7)}^{- 1} + (x + 5) (- 2 {(2 x - 7)}^{- 2})$

Étape 3.5

Simplifiez

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Étape 3.5.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$- 2 {(2 x - 7)}^{- 2} (x + 5) + {(2 x - 7)}^{- 1}$

Étape 3.5.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.5.2.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 2 \frac{1}{{(2 x - 7)}^{2}} (x + 5) + {(2 x - 7)}^{- 1}$

Étape 3.5.2.2

Associez $- 2$ et $\frac{1}{{(2 x - 7)}^{2}}$ .

$\frac{- 2}{{(2 x - 7)}^{2}} (x + 5) + {(2 x - 7)}^{- 1}$

Étape 3.5.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{2}{{(2 x - 7)}^{2}} (x + 5) + {(2 x - 7)}^{- 1}$

Étape 3.5.2.4

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{2}{{(2 x - 7)}^{2}} x - \frac{2}{{(2 x - 7)}^{2}} \cdot 5 + {(2 x - 7)}^{- 1}$

Étape 3.5.2.5

Associez $x$ et $\frac{2}{{(2 x - 7)}^{2}}$ .

$- \frac{x \cdot 2}{{(2 x - 7)}^{2}} - \frac{2}{{(2 x - 7)}^{2}} \cdot 5 + {(2 x - 7)}^{- 1}$

Étape 3.5.2.6

Multipliez $- \frac{2}{{(2 x - 7)}^{2}} \cdot 5$ .

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Étape 3.5.2.6.1

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$- \frac{x \cdot 2}{{(2 x - 7)}^{2}} - 5 \frac{2}{{(2 x - 7)}^{2}} + {(2 x - 7)}^{- 1}$

Étape 3.5.2.6.2

Associez $- 5$ et $\frac{2}{{(2 x - 7)}^{2}}$ .

$- \frac{x \cdot 2}{{(2 x - 7)}^{2}} + \frac{- 5 \cdot 2}{{(2 x - 7)}^{2}} + {(2 x - 7)}^{- 1}$

Étape 3.5.2.6.3

Multipliez $- 5$ par $2$ .

$- \frac{x \cdot 2}{{(2 x - 7)}^{2}} + \frac{- 10}{{(2 x - 7)}^{2}} + {(2 x - 7)}^{- 1}$

Étape 3.5.2.7

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.5.2.7.1

Déplacez $2$ à gauche de $x$ .

$- \frac{2 \cdot x}{{(2 x - 7)}^{2}} + \frac{- 10}{{(2 x - 7)}^{2}} + {(2 x - 7)}^{- 1}$

Étape 3.5.2.7.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{2 x}{{(2 x - 7)}^{2}} - \frac{10}{{(2 x - 7)}^{2}} + {(2 x - 7)}^{- 1}$

Étape 3.5.2.8

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{2 x}{{(2 x - 7)}^{2}} - \frac{10}{{(2 x - 7)}^{2}} + \frac{1}{2 x - 7}$

Étape 3.5.3

Pour écrire $\frac{1}{2 x - 7}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2 x - 7}{2 x - 7}$ .

$- \frac{2 x}{{(2 x - 7)}^{2}} + \frac{1}{2 x - 7} \cdot \frac{2 x - 7}{2 x - 7} - \frac{10}{{(2 x - 7)}^{2}}$

Étape 3.5.4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun ${(2 x - 7)}^{2}$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 3.5.4.1

Multipliez $\frac{1}{2 x - 7}$ par $\frac{2 x - 7}{2 x - 7}$ .

$- \frac{2 x}{{(2 x - 7)}^{2}} + \frac{2 x - 7}{(2 x - 7) (2 x - 7)} - \frac{10}{{(2 x - 7)}^{2}}$

Étape 3.5.4.2

Élevez $2 x - 7$ à la puissance $1$ .

$- \frac{2 x}{{(2 x - 7)}^{2}} + \frac{2 x - 7}{{(2 x - 7)}^{1} (2 x - 7)} - \frac{10}{{(2 x - 7)}^{2}}$

Étape 3.5.4.3

Élevez $2 x - 7$ à la puissance $1$ .

$- \frac{2 x}{{(2 x - 7)}^{2}} + \frac{2 x - 7}{{(2 x - 7)}^{1} {(2 x - 7)}^{1}} - \frac{10}{{(2 x - 7)}^{2}}$

Étape 3.5.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{2 x}{{(2 x - 7)}^{2}} + \frac{2 x - 7}{{(2 x - 7)}^{1 + 1}} - \frac{10}{{(2 x - 7)}^{2}}$

Étape 3.5.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$- \frac{2 x}{{(2 x - 7)}^{2}} + \frac{2 x - 7}{{(2 x - 7)}^{2}} - \frac{10}{{(2 x - 7)}^{2}}$

Étape 3.5.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- 2 x + 2 x - 7}{{(2 x - 7)}^{2}} - \frac{10}{{(2 x - 7)}^{2}}$

Étape 3.5.6

Associez les termes opposés dans $\frac{- 2 x + 2 x - 7}{{(2 x - 7)}^{2}} - \frac{10}{{(2 x - 7)}^{2}}$ .

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Étape 3.5.6.1

Additionnez $- 2 x$ et $2 x$ .

$\frac{0 - 7}{{(2 x - 7)}^{2}} - \frac{10}{{(2 x - 7)}^{2}}$

Étape 3.5.6.2

Soustrayez $7$ de $0$ .

$\frac{- 7}{{(2 x - 7)}^{2}} - \frac{10}{{(2 x - 7)}^{2}}$

Étape 3.5.7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- 7 - 10}{{(2 x - 7)}^{2}}$

Étape 3.5.8

Soustrayez $10$ de $- 7$ .

$\frac{- 17}{{(2 x - 7)}^{2}}$

Étape 3.5.9

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{17}{{(2 x - 7)}^{2}}$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$w' = - \frac{17}{{(2 x - 7)}^{2}}$

Étape 5

Remplacez $w'$ par $\frac{d w}{d x}$ .

$\frac{d w}{d x} = - \frac{17}{{(2 x - 7)}^{2}}$