Calcul infinitésimal Exemples

$V = (15 - x) (8 - x) x$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (V) = \frac{d}{d x} ((15 - x) (8 - x) x)$

Étape 2

La dérivée de $V$ par rapport à $x$ est $V'$ .

$V'$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = (15 - x) (8 - x)$ et $g (x) = x$ .

$(15 - x) (8 - x) \frac{d}{d x} [x] + x \frac{d}{d x} [(15 - x) (8 - x)]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 3.2.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$(15 - x) (8 - x) \cdot 1 + x \frac{d}{d x} [(15 - x) (8 - x)]$

Étape 3.2.2

Multipliez $15 - x$ par $1$ .

$(15 - x) (8 - x) + x \frac{d}{d x} [(15 - x) (8 - x)]$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = 15 - x$ et $g (x) = 8 - x$ .

$(15 - x) (8 - x) + x ((15 - x) \frac{d}{d x} [8 - x] + (8 - x) \frac{d}{d x} [15 - x])$

Étape 3.4

Différenciez.

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Étape 3.4.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $8 - x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$(15 - x) (8 - x) + x ((15 - x) (\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [- x]) + (8 - x) \frac{d}{d x} [15 - x])$

Étape 3.4.2

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $8$ par rapport à $x$ est $0$ .

$(15 - x) (8 - x) + x ((15 - x) (0 + \frac{d}{d x} [- x]) + (8 - x) \frac{d}{d x} [15 - x])$

Étape 3.4.3

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$(15 - x) (8 - x) + x ((15 - x) \frac{d}{d x} [- x] + (8 - x) \frac{d}{d x} [15 - x])$

Étape 3.4.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$(15 - x) (8 - x) + x ((15 - x) (- \frac{d}{d x} [x]) + (8 - x) \frac{d}{d x} [15 - x])$

Étape 3.4.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$(15 - x) (8 - x) + x ((15 - x) (- 1 \cdot 1) + (8 - x) \frac{d}{d x} [15 - x])$

Étape 3.4.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.4.6.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$(15 - x) (8 - x) + x ((15 - x) \cdot - 1 + (8 - x) \frac{d}{d x} [15 - x])$

Étape 3.4.6.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $15 - x$ .

$(15 - x) (8 - x) + x (- 1 \cdot (15 - x) + (8 - x) \frac{d}{d x} [15 - x])$

Étape 3.4.6.3

Réécrivez $- 1 (15 - x)$ comme $- (15 - x)$ .

$(15 - x) (8 - x) + x (- (15 - x) + (8 - x) \frac{d}{d x} [15 - x])$

Étape 3.4.7

Selon la règle de la somme, la dérivée de $15 - x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [15] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$(15 - x) (8 - x) + x (- (15 - x) + (8 - x) (\frac{d}{d x} [15] + \frac{d}{d x} [- x]))$

Étape 3.4.8

Comme $15$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $15$ par rapport à $x$ est $0$ .

$(15 - x) (8 - x) + x (- (15 - x) + (8 - x) (0 + \frac{d}{d x} [- x]))$

Étape 3.4.9

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$(15 - x) (8 - x) + x (- (15 - x) + (8 - x) \frac{d}{d x} [- x])$

Étape 3.4.10

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$(15 - x) (8 - x) + x (- (15 - x) + (8 - x) (- \frac{d}{d x} [x]))$

Étape 3.4.11

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$(15 - x) (8 - x) + x (- (15 - x) + (8 - x) (- 1 \cdot 1))$

Étape 3.4.12

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.4.12.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$(15 - x) (8 - x) + x (- (15 - x) + (8 - x) \cdot - 1)$

Étape 3.4.12.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $8 - x$ .

$(15 - x) (8 - x) + x (- (15 - x) - 1 \cdot (8 - x))$

Étape 3.4.12.3

Réécrivez $- 1 (8 - x)$ comme $- (8 - x)$ .

$(15 - x) (8 - x) + x (- (15 - x) - (8 - x))$

Étape 3.5

Simplifiez

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Étape 3.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$(15 - x) (8 - x) + x (- 1 \cdot 15 - - x - (8 - x))$

Étape 3.5.2

Appliquez la propriété distributive.

$(15 - x) (8 - x) + x (- 1 \cdot 15 - - x - 1 \cdot 8 - - x)$

Étape 3.5.3

Appliquez la propriété distributive.

$(15 - x) (8 - x) + x (- 1 \cdot 15) + x (- - x) + x (- 1 \cdot 8) + x (- - x)$

Étape 3.5.4

Appliquez la propriété distributive.

$(15 - x) \cdot 8 + (15 - x) (- x) + x (- 1 \cdot 15) + x (- - x) + x (- 1 \cdot 8) + x (- - x)$

Étape 3.5.5

Appliquez la propriété distributive.

$15 \cdot 8 - x \cdot 8 + (15 - x) (- x) + x (- 1 \cdot 15) + x (- - x) + x (- 1 \cdot 8) + x (- - x)$

Étape 3.5.6

Appliquez la propriété distributive.

$15 \cdot 8 - x \cdot 8 + 15 (- x) - x (- x) + x (- 1 \cdot 15) + x (- - x) + x (- 1 \cdot 8) + x (- - x)$

Étape 3.5.7

Associez des termes.

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Étape 3.5.7.1

Multipliez $15$ par $8$ .

$120 - x \cdot 8 + 15 (- x) - x (- x) + x (- 1 \cdot 15) + x (- - x) + x (- 1 \cdot 8) + x (- - x)$

Étape 3.5.7.2

Multipliez $8$ par $- 1$ .

$120 - 8 x + 15 (- x) - x (- x) + x (- 1 \cdot 15) + x (- - x) + x (- 1 \cdot 8) + x (- - x)$

Étape 3.5.7.3

Multipliez $- 1$ par $15$ .

$120 - 8 x - 15 x - x (- x) + x (- 1 \cdot 15) + x (- - x) + x (- 1 \cdot 8) + x (- - x)$

Étape 3.5.7.4

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$120 - 8 x - 15 x + 1 x \cdot x + x (- 1 \cdot 15) + x (- - x) + x (- 1 \cdot 8) + x (- - x)$

Étape 3.5.7.5

Multipliez $x$ par $1$ .

$120 - 8 x - 15 x + x \cdot x + x (- 1 \cdot 15) + x (- - x) + x (- 1 \cdot 8) + x (- - x)$

Étape 3.5.7.6

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$120 - 8 x - 15 x + x^{1} x + x (- 1 \cdot 15) + x (- - x) + x (- 1 \cdot 8) + x (- - x)$

Étape 3.5.7.7

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$120 - 8 x - 15 x + x^{1} x^{1} + x (- 1 \cdot 15) + x (- - x) + x (- 1 \cdot 8) + x (- - x)$

Étape 3.5.7.8

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$120 - 8 x - 15 x + x^{1 + 1} + x (- 1 \cdot 15) + x (- - x) + x (- 1 \cdot 8) + x (- - x)$

Étape 3.5.7.9

Additionnez $1$ et $1$ .

$120 - 8 x - 15 x + x^{2} + x (- 1 \cdot 15) + x (- - x) + x (- 1 \cdot 8) + x (- - x)$

Étape 3.5.7.10

Soustrayez $15 x$ de $- 8 x$ .

$120 - 23 x + x^{2} + x (- 1 \cdot 15) + x (- - x) + x (- 1 \cdot 8) + x (- - x)$

Étape 3.5.7.11

Multipliez $- 1$ par $15$ .

$120 - 23 x + x^{2} + x \cdot - 15 + x (- - x) + x (- 1 \cdot 8) + x (- - x)$

Étape 3.5.7.12

Déplacez $- 15$ à gauche de $x$ .

$120 - 23 x + x^{2} - 15 \cdot x + x (- - x) + x (- 1 \cdot 8) + x (- - x)$

Étape 3.5.7.13

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$120 - 23 x + x^{2} - 15 x + x (1 x) + x (- 1 \cdot 8) + x (- - x)$

Étape 3.5.7.14

Multipliez $x$ par $1$ .

$120 - 23 x + x^{2} - 15 x + x \cdot x + x (- 1 \cdot 8) + x (- - x)$

Étape 3.5.7.15

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$120 - 23 x + x^{2} - 15 x + x^{1} x + x (- 1 \cdot 8) + x (- - x)$

Étape 3.5.7.16

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$120 - 23 x + x^{2} - 15 x + x^{1} x^{1} + x (- 1 \cdot 8) + x (- - x)$

Étape 3.5.7.17

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$120 - 23 x + x^{2} - 15 x + x^{1 + 1} + x (- 1 \cdot 8) + x (- - x)$

Étape 3.5.7.18

Additionnez $1$ et $1$ .

$120 - 23 x + x^{2} - 15 x + x^{2} + x (- 1 \cdot 8) + x (- - x)$

Étape 3.5.7.19

Multipliez $- 1$ par $8$ .

$120 - 23 x + x^{2} - 15 x + x^{2} + x \cdot - 8 + x (- - x)$

Étape 3.5.7.20

Déplacez $- 8$ à gauche de $x$ .

$120 - 23 x + x^{2} - 15 x + x^{2} - 8 \cdot x + x (- - x)$

Étape 3.5.7.21

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$120 - 23 x + x^{2} - 15 x + x^{2} - 8 x + x (1 x)$

Étape 3.5.7.22

Multipliez $x$ par $1$ .

$120 - 23 x + x^{2} - 15 x + x^{2} - 8 x + x \cdot x$

Étape 3.5.7.23

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$120 - 23 x + x^{2} - 15 x + x^{2} - 8 x + x^{1} x$

Étape 3.5.7.24

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$120 - 23 x + x^{2} - 15 x + x^{2} - 8 x + x^{1} x^{1}$

Étape 3.5.7.25

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$120 - 23 x + x^{2} - 15 x + x^{2} - 8 x + x^{1 + 1}$

Étape 3.5.7.26

Additionnez $1$ et $1$ .

$120 - 23 x + x^{2} - 15 x + x^{2} - 8 x + x^{2}$

Étape 3.5.7.27

Soustrayez $8 x$ de $- 15 x$ .

$120 - 23 x + x^{2} + x^{2} - 23 x + x^{2}$

Étape 3.5.7.28

Additionnez $x^{2}$ et $x^{2}$ .

$120 - 23 x + x^{2} + 2 x^{2} - 23 x$

Étape 3.5.7.29

Additionnez $x^{2}$ et $2 x^{2}$ .

$120 - 23 x + 3 x^{2} - 23 x$

Étape 3.5.7.30

Soustrayez $23 x$ de $- 23 x$ .

$120 + 3 x^{2} - 46 x$

Étape 3.5.8

Remettez les termes dans l’ordre.

$3 x^{2} - 46 x + 120$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$V' = 3 x^{2} - 46 x + 120$

Étape 5

Remplacez $V'$ par $\frac{d V}{d x}$ .

$\frac{d V}{d x} = 3 x^{2} - 46 x + 120$