Calcul infinitésimal Exemples

$v = (1 - t) {(1 + t^{2})}^{- 1}$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d t} v' = \frac{d}{d t} ((1 - t) {(1 + t^{2})}^{- 1})$

Étape 2

La dérivée de $v'$ par rapport à $t$ est $v''$ .

$v''$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ est $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ où $f (t) = 1 - t$ et $g (t) = {(1 + t^{2})}^{- 1}$ .

$(1 - t) \frac{d}{d t} [{(1 + t^{2})}^{- 1}] + {(1 + t^{2})}^{- 1} \frac{d}{d t} [1 - t]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ est $f' (g (t)) g' (t)$ où $f (t) = t^{- 1}$ et $g (t) = 1 + t^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $1 + t^{2}$ .

$(1 - t) (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d t} [1 + t^{2}]) + {(1 + t^{2})}^{- 1} \frac{d}{d t} [1 - t]$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$(1 - t) (- u^{- 2} \frac{d}{d t} [1 + t^{2}]) + {(1 + t^{2})}^{- 1} \frac{d}{d t} [1 - t]$

Étape 3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $1 + t^{2}$ .

$(1 - t) (- {(1 + t^{2})}^{- 2} \frac{d}{d t} [1 + t^{2}]) + {(1 + t^{2})}^{- 1} \frac{d}{d t} [1 - t]$

Étape 3.3

Différenciez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + t^{2}$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$(1 - t) (- {(1 + t^{2})}^{- 2} (\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [t^{2}])) + {(1 + t^{2})}^{- 1} \frac{d}{d t} [1 - t]$

Étape 3.3.2

Comme $1$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $1$ par rapport à $t$ est $0$ .

$(1 - t) (- {(1 + t^{2})}^{- 2} (0 + \frac{d}{d t} [t^{2}])) + {(1 + t^{2})}^{- 1} \frac{d}{d t} [1 - t]$

Étape 3.3.3

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$(1 - t) (- {(1 + t^{2})}^{- 2} \frac{d}{d t} [t^{2}]) + {(1 + t^{2})}^{- 1} \frac{d}{d t} [1 - t]$

Étape 3.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$(1 - t) (- {(1 + t^{2})}^{- 2} (2 t)) + {(1 + t^{2})}^{- 1} \frac{d}{d t} [1 - t]$

Étape 3.3.5

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$(1 - t) (- 2 {(1 + t^{2})}^{- 2} t) + {(1 + t^{2})}^{- 1} \frac{d}{d t} [1 - t]$

Étape 3.3.6

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 - t$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [- t]$ .

$(1 - t) (- 2 {(1 + t^{2})}^{- 2} t) + {(1 + t^{2})}^{- 1} (\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [- t])$

Étape 3.3.7

Comme $1$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $1$ par rapport à $t$ est $0$ .

$(1 - t) (- 2 {(1 + t^{2})}^{- 2} t) + {(1 + t^{2})}^{- 1} (0 + \frac{d}{d t} [- t])$

Étape 3.3.8

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d t} [- t]$ .

$(1 - t) (- 2 {(1 + t^{2})}^{- 2} t) + {(1 + t^{2})}^{- 1} \frac{d}{d t} [- t]$

Étape 3.3.9

Comme $- 1$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $- t$ par rapport à $t$ est $- \frac{d}{d t} [t]$ .

$(1 - t) (- 2 {(1 + t^{2})}^{- 2} t) + {(1 + t^{2})}^{- 1} (- \frac{d}{d t} [t])$

Étape 3.3.10

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$(1 - t) (- 2 {(1 + t^{2})}^{- 2} t) + {(1 + t^{2})}^{- 1} (- 1 \cdot 1)$

Étape 3.3.11

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.11.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$(1 - t) (- 2 {(1 + t^{2})}^{- 2} t) + {(1 + t^{2})}^{- 1} \cdot - 1$

Étape 3.3.11.2

Déplacez $- 1$ à gauche de ${(1 + t^{2})}^{- 1}$ .

$(1 - t) (- 2 {(1 + t^{2})}^{- 2} t) - 1 \cdot {(1 + t^{2})}^{- 1}$

Étape 3.3.11.3

Réécrivez $- 1 {(1 + t^{2})}^{- 1}$ comme $- {(1 + t^{2})}^{- 1}$ .

$(1 - t) (- 2 {(1 + t^{2})}^{- 2} t) - {(1 + t^{2})}^{- 1}$

Étape 3.4

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$(1 - t) (- 2 \frac{1}{{(1 + t^{2})}^{2}} t) - {(1 + t^{2})}^{- 1}$

Étape 3.4.2

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$(1 - t) (- 2 \frac{1}{{(1 + t^{2})}^{2}} t) - \frac{1}{1 + t^{2}}$

Étape 3.4.3

Associez des termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.3.1

Associez $- 2$ et $\frac{1}{{(1 + t^{2})}^{2}}$ .

$(1 - t) (\frac{- 2}{{(1 + t^{2})}^{2}} t) - \frac{1}{1 + t^{2}}$

Étape 3.4.3.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$(1 - t) (- \frac{2}{{(1 + t^{2})}^{2}} t) - \frac{1}{1 + t^{2}}$

Étape 3.4.3.3

Associez $t$ et $\frac{2}{{(1 + t^{2})}^{2}}$ .

$(1 - t) (- \frac{t \cdot 2}{{(1 + t^{2})}^{2}}) - \frac{1}{1 + t^{2}}$

Étape 3.4.3.4

Déplacez $2$ à gauche de $t$ .

$(1 - t) (- \frac{2 \cdot t}{{(1 + t^{2})}^{2}}) - \frac{1}{1 + t^{2}}$

Étape 3.4.3.5

Pour écrire $(1 - t) (- \frac{2 t}{{(1 + t^{2})}^{2}})$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{1 + t^{2}}{1 + t^{2}}$ .

$(1 - t) (- \frac{2 t}{{(1 + t^{2})}^{2}}) \cdot \frac{1 + t^{2}}{1 + t^{2}} - \frac{1}{1 + t^{2}}$

Étape 3.4.3.6

Associez $(1 - t) (- \frac{2 t}{{(1 + t^{2})}^{2}})$ et $\frac{1 + t^{2}}{1 + t^{2}}$ .

$\frac{(1 - t) (- \frac{2 t}{{(1 + t^{2})}^{2}}) (1 + t^{2})}{1 + t^{2}} - \frac{1}{1 + t^{2}}$

Étape 3.4.3.7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{(1 - t) (- \frac{2 t}{{(1 + t^{2})}^{2}}) (1 + t^{2}) - 1}{1 + t^{2}}$

Étape 3.4.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{- (1 + t^{2}) (1 - t) \frac{2 t}{{(1 + t^{2})}^{2}} - 1}{t^{2} + 1}$

Étape 3.4.5

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.5.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- (1 + t^{2}) (1 - t) \frac{2 t}{{(1 + t^{2})}^{2}} - 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.5.1.1

Remettez l’expression dans l’ordre.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.5.1.1.1

Remettez dans l’ordre $1$ et $t^{2}$ .

$\frac{- (t^{2} + 1) (1 - t) \frac{2 t}{{(1 + t^{2})}^{2}} - 1}{t^{2} + 1}$

Étape 3.4.5.1.1.2

Remettez dans l’ordre $1$ et $- t$ .

$\frac{- (t^{2} + 1) (- t + 1) \frac{2 t}{{(1 + t^{2})}^{2}} - 1}{t^{2} + 1}$

Étape 3.4.5.1.1.3

Remettez dans l’ordre $1$ et $t^{2}$ .

$\frac{- (t^{2} + 1) (- t + 1) \frac{2 t}{{(t^{2} + 1)}^{2}} - 1}{t^{2} + 1}$

Étape 3.4.5.1.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- (t^{2} + 1) (- t + 1) \frac{2 t}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$ .

$\frac{- (((t^{2} + 1) (- t + 1)) \frac{2 t}{{(t^{2} + 1)}^{2}}) - 1}{t^{2} + 1}$

Étape 3.4.5.1.3

Réécrivez $- 1$ comme $- 1 (1)$ .

$\frac{- (((t^{2} + 1) (- t + 1)) \frac{2 t}{{(t^{2} + 1)}^{2}}) - 1 (1)}{t^{2} + 1}$

Étape 3.4.5.1.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- (((t^{2} + 1) (- t + 1)) \frac{2 t}{{(t^{2} + 1)}^{2}}) - 1 (1)$ .

$\frac{- (((t^{2} + 1) (- t + 1)) \frac{2 t}{{(t^{2} + 1)}^{2}} + 1)}{t^{2} + 1}$

Étape 3.4.5.2

Annulez le facteur commun de $t^{2} + 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.5.2.1

Factorisez $t^{2} + 1$ à partir de ${(t^{2} + 1)}^{2}$ .

$\frac{- ((t^{2} + 1) (- t + 1) \frac{2 t}{(t^{2} + 1) (t^{2} + 1)} + 1)}{t^{2} + 1}$

Étape 3.4.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{- ((t^{2} + 1) (- t + 1) \frac{2 t}{(t^{2} + 1) (t^{2} + 1)} + 1)}{t^{2} + 1}$

Étape 3.4.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- ((- t + 1) \frac{2 t}{t^{2} + 1} + 1)}{t^{2} + 1}$

Étape 3.4.5.3

Multipliez $- t + 1$ par $\frac{2 t}{t^{2} + 1}$ .

$\frac{- (\frac{(- t + 1) (2 t)}{t^{2} + 1} + 1)}{t^{2} + 1}$

Étape 3.4.5.4

Déplacez $2$ à gauche de $- t + 1$ .

$\frac{- (\frac{2 \cdot (- t + 1) t}{t^{2} + 1} + 1)}{t^{2} + 1}$

Étape 3.4.5.5

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{- (\frac{2 (- t + 1) t}{t^{2} + 1} + \frac{t^{2} + 1}{t^{2} + 1})}{t^{2} + 1}$

Étape 3.4.5.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- \frac{2 (- t + 1) t + t^{2} + 1}{t^{2} + 1}}{t^{2} + 1}$

Étape 3.4.5.7

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{- \frac{t^{2} + 2 t (- t + 1) + 1}{t^{2} + 1}}{t^{2} + 1}$

Étape 3.4.5.8

Réécrivez $\frac{t^{2} + 2 t (- t + 1) + 1}{t^{2} + 1}$ en forme factorisée.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.5.8.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- \frac{t^{2} + 2 t (- t) + 2 t \cdot 1 + 1}{t^{2} + 1}}{t^{2} + 1}$

Étape 3.4.5.8.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{- \frac{t^{2} + 2 \cdot - 1 t \cdot t + 2 t \cdot 1 + 1}{t^{2} + 1}}{t^{2} + 1}$

Étape 3.4.5.8.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{- \frac{t^{2} + 2 \cdot - 1 t \cdot t + 2 t + 1}{t^{2} + 1}}{t^{2} + 1}$

Étape 3.4.5.8.4

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.5.8.4.1

Multipliez $t$ par $t$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.5.8.4.1.1

Déplacez $t$ .

$\frac{- \frac{t^{2} + 2 \cdot - 1 (t \cdot t) + 2 t + 1}{t^{2} + 1}}{t^{2} + 1}$

Étape 3.4.5.8.4.1.2

Multipliez $t$ par $t$ .

$\frac{- \frac{t^{2} + 2 \cdot - 1 t^{2} + 2 t + 1}{t^{2} + 1}}{t^{2} + 1}$

Étape 3.4.5.8.4.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{- \frac{t^{2} - 2 t^{2} + 2 t + 1}{t^{2} + 1}}{t^{2} + 1}$

Étape 3.4.5.8.5

Soustrayez $2 t^{2}$ de $t^{2}$ .

$\frac{- \frac{- t^{2} + 2 t + 1}{t^{2} + 1}}{t^{2} + 1}$

Étape 3.4.6

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$- \frac{- t^{2} + 2 t + 1}{t^{2} + 1} \cdot \frac{1}{t^{2} + 1}$

Étape 3.4.7

Multipliez $- \frac{- t^{2} + 2 t + 1}{t^{2} + 1} \cdot \frac{1}{t^{2} + 1}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.7.1

Multipliez $\frac{1}{t^{2} + 1}$ par $\frac{- t^{2} + 2 t + 1}{t^{2} + 1}$ .

$- \frac{- t^{2} + 2 t + 1}{(t^{2} + 1) (t^{2} + 1)}$

Étape 3.4.7.2

Élevez $t^{2} + 1$ à la puissance $1$ .

$- \frac{- t^{2} + 2 t + 1}{{(t^{2} + 1)}^{1} (t^{2} + 1)}$

Étape 3.4.7.3

Élevez $t^{2} + 1$ à la puissance $1$ .

$- \frac{- t^{2} + 2 t + 1}{{(t^{2} + 1)}^{1} {(t^{2} + 1)}^{1}}$

Étape 3.4.7.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{- t^{2} + 2 t + 1}{{(t^{2} + 1)}^{1 + 1}}$

Étape 3.4.7.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$- \frac{- t^{2} + 2 t + 1}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 3.4.8

Factorisez $- 1$ à partir de $- t^{2}$ .

$- \frac{- (t^{2}) + 2 t + 1}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 3.4.9

Factorisez $- 1$ à partir de $2 t$ .

$- \frac{- (t^{2}) - (- 2 t) + 1}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 3.4.10

Factorisez $- 1$ à partir de $- (t^{2}) - (- 2 t)$ .

$- \frac{- (t^{2} - 2 t) + 1}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 3.4.11

Réécrivez $1$ comme $- 1 (- 1)$ .

$- \frac{- (t^{2} - 2 t) - 1 (- 1)}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 3.4.12

Factorisez $- 1$ à partir de $- (t^{2} - 2 t) - 1 (- 1)$ .

$- \frac{- (t^{2} - 2 t - 1)}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 3.4.13

Réécrivez $- (t^{2} - 2 t - 1)$ comme $- 1 (t^{2} - 2 t - 1)$ .

$- \frac{- 1 (t^{2} - 2 t - 1)}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 3.4.14

Placez le signe moins devant la fraction.

$- - \frac{t^{2} - 2 t - 1}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 3.4.15

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 \frac{t^{2} - 2 t - 1}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 3.4.16

Multipliez $\frac{t^{2} - 2 t - 1}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$ par $1$ .

$\frac{t^{2} - 2 t - 1}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$v'' = \frac{t^{2} - 2 t - 1}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 5

Remplacez $v'$ par $\frac{d v}{d t}$ .

$\frac{d v}{d t} = \frac{t^{2} - 2 t - 1}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$