Calcul infinitésimal Exemples

$u = \frac{\sqrt{x}}{1 - x}$

Étape 1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$u = \frac{x^{\frac{1}{2}}}{1 - x}$

Étape 2

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (u) = \frac{d}{d x} (\frac{x^{\frac{1}{2}}}{1 - x})$

Étape 3

La dérivée de $u$ par rapport à $x$ est $u'$ .

$u'$

Étape 4

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 4.1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ et $g (x) = 1 - x$ .

$\frac{(1 - x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Étape 4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{(1 - x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Étape 4.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{(1 - x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Étape 4.4

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{(1 - x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Étape 4.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{(1 - x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Étape 4.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.6.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{(1 - x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Étape 4.6.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$\frac{(1 - x) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Étape 4.7

Associez les fractions.

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Étape 4.7.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{(1 - x) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Étape 4.7.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{(1 - x) \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Étape 4.7.3

Placez $x^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{(1 - x) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Étape 4.8

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 - x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{(1 - x) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x])}{{(1 - x)}^{2}}$

Étape 4.9

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{(1 - x) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}} (0 + \frac{d}{d x} [- x])}{{(1 - x)}^{2}}$

Étape 4.10

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{(1 - x) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [- x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Étape 4.11

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(1 - x) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}} (- \frac{d}{d x} [x])}{{(1 - x)}^{2}}$

Étape 4.12

Multipliez.

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Étape 4.12.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{(1 - x) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 1 x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Étape 4.12.2

Multipliez $x^{\frac{1}{2}}$ par $1$ .

$\frac{(1 - x) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Étape 4.13

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{(1 - x) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} \cdot 1}{{(1 - x)}^{2}}$

Étape 4.14

Multipliez $x^{\frac{1}{2}}$ par $1$ .

$\frac{(1 - x) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}}}{{(1 - x)}^{2}}$

Étape 4.15

Simplifiez

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Étape 4.15.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}}}{{(1 - x)}^{2}}$

Étape 4.15.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.15.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.15.2.1.1

Multipliez $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ par $1$ .

$\frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}}}{{(1 - x)}^{2}}$

Étape 4.15.2.1.2

Associez $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ et $x$ .

$\frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{x}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}}}{{(1 - x)}^{2}}$

Étape 4.15.2.1.3

Placez $x^{\frac{1}{2}}$ sur le numérateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{x \cdot x^{- \frac{1}{2}}}{2} + x^{\frac{1}{2}}}{{(1 - x)}^{2}}$

Étape 4.15.2.1.4

Multipliez $x$ par $x^{- \frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.15.2.1.4.1

Multipliez $x$ par $x^{- \frac{1}{2}}$ .

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Étape 4.15.2.1.4.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{x^{1} x^{- \frac{1}{2}}}{2} + x^{\frac{1}{2}}}{{(1 - x)}^{2}}$

Étape 4.15.2.1.4.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{x^{1 - \frac{1}{2}}}{2} + x^{\frac{1}{2}}}{{(1 - x)}^{2}}$

Étape 4.15.2.1.4.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}}{2} + x^{\frac{1}{2}}}{{(1 - x)}^{2}}$

Étape 4.15.2.1.4.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{x^{\frac{2 - 1}{2}}}{2} + x^{\frac{1}{2}}}{{(1 - x)}^{2}}$

Étape 4.15.2.1.4.4

Soustrayez $1$ de $2$ .

$\frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + x^{\frac{1}{2}}}{{(1 - x)}^{2}}$

Étape 4.15.2.2

Pour écrire $x^{\frac{1}{2}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + x^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2}{2}}{{(1 - x)}^{2}}$

Étape 4.15.2.3

Associez $x^{\frac{1}{2}}$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2}}{{(1 - x)}^{2}}$

Étape 4.15.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{- x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2}}{{(1 - x)}^{2}}$

Étape 4.15.2.5

Additionnez $- x^{\frac{1}{2}}$ et $x^{\frac{1}{2}} \cdot 2$ .

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Étape 4.15.2.5.1

Remettez dans l’ordre $x^{\frac{1}{2}}$ et $2$ .

$\frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{- x^{\frac{1}{2}} + 2 \cdot x^{\frac{1}{2}}}{2}}{{(1 - x)}^{2}}$

Étape 4.15.2.5.2

Additionnez $- x^{\frac{1}{2}}$ et $2 \cdot x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2}}{{(1 - x)}^{2}}$

Étape 4.15.3

Associez des termes.

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Étape 4.15.3.1

Multipliez $\frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2}}{{(1 - x)}^{2}}$ par $\frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2}}{{(1 - x)}^{2}}$

Étape 4.15.3.2

Associez.

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2})}{2 x^{\frac{1}{2}} {(1 - x)}^{2}}$

Étape 4.15.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 2 x^{\frac{1}{2}} \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2}}{2 x^{\frac{1}{2}} {(1 - x)}^{2}}$

Étape 4.15.3.4

Annulez le facteur commun de $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 4.15.3.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 2 x^{\frac{1}{2}} \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2}}{2 x^{\frac{1}{2}} {(1 - x)}^{2}}$

Étape 4.15.3.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1 + 2 x^{\frac{1}{2}} \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2}}{2 x^{\frac{1}{2}} {(1 - x)}^{2}}$

Étape 4.15.3.5

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.15.3.5.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1 + 2 (x^{\frac{1}{2}}) \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2}}{2 x^{\frac{1}{2}} {(1 - x)}^{2}}$

Étape 4.15.3.5.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1 + 2 x^{\frac{1}{2}} \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2}}{2 x^{\frac{1}{2}} {(1 - x)}^{2}}$

Étape 4.15.3.5.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1 + x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}} {(1 - x)}^{2}}$

Étape 4.15.3.6

Multipliez $x^{\frac{1}{2}}$ par $x^{\frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.15.3.6.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1 + x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}} {(1 - x)}^{2}}$

Étape 4.15.3.6.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1 + x^{\frac{1 + 1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}} {(1 - x)}^{2}}$

Étape 4.15.3.6.3

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{1 + x^{\frac{2}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}} {(1 - x)}^{2}}$

Étape 4.15.3.6.4

Divisez $2$ par $2$ .

$\frac{1 + x^{1}}{2 x^{\frac{1}{2}} {(1 - x)}^{2}}$

Étape 4.15.3.7

Simplifiez $x^{1}$ .

$\frac{1 + x}{2 x^{\frac{1}{2}} {(1 - x)}^{2}}$

Étape 4.15.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{x + 1}{2 x^{\frac{1}{2}} {(1 - x)}^{2}}$

Étape 5

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$u' = \frac{x + 1}{2 x^{\frac{1}{2}} {(1 - x)}^{2}}$

Étape 6

Remplacez $u'$ par $\frac{d u}{d x}$ .

$\frac{d u}{d x} = \frac{x + 1}{2 x^{\frac{1}{2}} {(1 - x)}^{2}}$