Calcul infinitésimal Exemples

$u = \sqrt{\sqrt{2 v - 9}}$

Étape 1

Réécrivez le côté droit avec des exposants rationnels.

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Étape 1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2 u' - 9}$ comme ${(2 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}$ .

$u = \sqrt{{(2 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.2

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{{(2 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}}$ comme ${(2 u' - 9)}^{\frac{\frac{1}{2}}{2}}$ .

$u = {(2 u' - 9)}^{\frac{\frac{1}{2}}{2}}$

Étape 1.3

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$u = {(2 u' - 9)}^{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}}$

Étape 1.4

Multipliez $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Étape 1.4.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{1}{2}$ .

$u = {(2 u' - 9)}^{\frac{1}{2 \cdot 2}}$

Étape 1.4.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$u = {(2 u' - 9)}^{\frac{1}{4}}$

Étape 2

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d u'} u = \frac{d}{d u'} {(2 u' - 9)}^{\frac{1}{4}}$

Étape 3

La dérivée de $u$ par rapport à $u'$ est $u'$ .

$u'$

Étape 4

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 4.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d v} [f (g (u'))]$ est $f' (g (u')) g' (u')$ où $f (u') = {u'}^{\frac{1}{4}}$ et $g (u') = 2 u' - 9$ .

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Étape 4.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $2 u' - 9$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{4}}] \frac{d}{d v} [2 u' - 9]$

Étape 4.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{4} u^{\frac{1}{4} - 1} \frac{d}{d v} [2 u' - 9]$

Étape 4.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 u' - 9$ .

$\frac{1}{4} {(2 u' - 9)}^{\frac{1}{4} - 1} \frac{d}{d v} [2 u' - 9]$

Étape 4.2

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$\frac{1}{4} {(2 u' - 9)}^{\frac{1}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}} \frac{d}{d v} [2 u' - 9]$

Étape 4.3

Associez $- 1$ et $\frac{4}{4}$ .

$\frac{1}{4} {(2 u' - 9)}^{\frac{1}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}} \frac{d}{d v} [2 u' - 9]$

Étape 4.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{4} {(2 u' - 9)}^{\frac{1 - 1 \cdot 4}{4}} \frac{d}{d v} [2 u' - 9]$

Étape 4.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.5.1

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$\frac{1}{4} {(2 u' - 9)}^{\frac{1 - 4}{4}} \frac{d}{d v} [2 u' - 9]$

Étape 4.5.2

Soustrayez $4$ de $1$ .

$\frac{1}{4} {(2 u' - 9)}^{\frac{- 3}{4}} \frac{d}{d v} [2 u' - 9]$

Étape 4.6

Associez les fractions.

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Étape 4.6.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{4} {(2 u' - 9)}^{- \frac{3}{4}} \frac{d}{d v} [2 u' - 9]$

Étape 4.6.2

Associez $\frac{1}{4}$ et ${(2 u' - 9)}^{- \frac{3}{4}}$ .

$\frac{{(2 u' - 9)}^{- \frac{3}{4}}}{4} \frac{d}{d v} [2 u' - 9]$

Étape 4.6.3

Placez ${(2 u' - 9)}^{- \frac{3}{4}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{4 {(2 u' - 9)}^{\frac{3}{4}}} \frac{d}{d v} [2 u' - 9]$

Étape 4.7

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 u' - 9$ par rapport à $u'$ est $\frac{d}{d v} [2 u'] + \frac{d}{d v} [- 9]$ .

$\frac{1}{4 {(2 u' - 9)}^{\frac{3}{4}}} (\frac{d}{d v} [2 u'] + \frac{d}{d v} [- 9])$

Étape 4.8

Comme $2$ est constant par rapport à $u'$ , la dérivée de $2 u'$ par rapport à $u'$ est $2 \frac{d}{d v} [u']$ .

$\frac{1}{4 {(2 u' - 9)}^{\frac{3}{4}}} (2 \frac{d}{d v} [u'] + \frac{d}{d v} [- 9])$

Étape 4.9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d v} [{u'}^{n}]$ est $n {u'}^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{4 {(2 u' - 9)}^{\frac{3}{4}}} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d v} [- 9])$

Étape 4.10

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{1}{4 {(2 u' - 9)}^{\frac{3}{4}}} (2 + \frac{d}{d v} [- 9])$

Étape 4.11

Comme $- 9$ est constant par rapport à $u'$ , la dérivée de $- 9$ par rapport à $u'$ est $0$ .

$\frac{1}{4 {(2 u' - 9)}^{\frac{3}{4}}} (2 + 0)$

Étape 4.12

Simplifiez les termes.

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Étape 4.12.1

Additionnez $2$ et $0$ .

$\frac{1}{4 {(2 u' - 9)}^{\frac{3}{4}}} \cdot 2$

Étape 4.12.2

Associez $\frac{1}{4 {(2 u' - 9)}^{\frac{3}{4}}}$ et $2$ .

$\frac{2}{4 {(2 u' - 9)}^{\frac{3}{4}}}$

Étape 4.12.3

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{2 (1)}{4 {(2 u' - 9)}^{\frac{3}{4}}}$

Étape 4.13

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.13.1

Factorisez $2$ à partir de $4 {(2 u' - 9)}^{\frac{3}{4}}$ .

$\frac{2 (1)}{2 (2 {(2 u' - 9)}^{\frac{3}{4}})}$

Étape 4.13.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot 1}{2 (2 {(2 u' - 9)}^{\frac{3}{4}})}$

Étape 4.13.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{2 {(2 u' - 9)}^{\frac{3}{4}}}$

Étape 5

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$u' = \frac{1}{2 {(2 u' - 9)}^{\frac{3}{4}}}$

Étape 6

Représentez chaque côté de l’équation. La solution est la valeur x du point d’intersection.

$u' \approx 4.52650004$

Étape 7

Remplacez $u'$ par $\frac{d u}{d v}$ .

$u' = \frac{d u}{d v} \approx 4.52650004$