Calcul infinitésimal Exemples

$P = \frac{40}{1 + 11 e^{- 0.08 t}}$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d t} (P) = \frac{d}{d t} (\frac{40}{1 + 11 e^{- 0.08 t}})$

Étape 2

La dérivée de $P$ par rapport à $t$ est $P'$ .

$P'$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle multiple constante.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.1

Comme $40$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $\frac{40}{1 + 11 e^{- 0.08 t}}$ par rapport à $t$ est $40 \frac{d}{d t} [\frac{1}{1 + 11 e^{- 0.08 t}}]$ .

$40 \frac{d}{d t} [\frac{1}{1 + 11 e^{- 0.08 t}}]$

Étape 3.1.2

Réécrivez $\frac{1}{1 + 11 e^{- 0.08 t}}$ comme ${(1 + 11 e^{- 0.08 t})}^{- 1}$ .

$40 \frac{d}{d t} [{(1 + 11 e^{- 0.08 t})}^{- 1}]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ est $f' (g (t)) g' (t)$ où $f (t) = t^{- 1}$ et $g (t) = 1 + 11 e^{- 0.08 t}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $1 + 11 e^{- 0.08 t}$ .

$40 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d t} [1 + 11 e^{- 0.08 t}])$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$40 (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d t} [1 + 11 e^{- 0.08 t}])$

Étape 3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $1 + 11 e^{- 0.08 t}$ .

$40 (- {(1 + 11 e^{- 0.08 t})}^{- 2} \frac{d}{d t} [1 + 11 e^{- 0.08 t}])$

Étape 3.3

Différenciez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.1

Multipliez $- 1$ par $40$ .

$- 40 ({(1 + 11 e^{- 0.08 t})}^{- 2} \frac{d}{d t} [1 + 11 e^{- 0.08 t}])$

Étape 3.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + 11 e^{- 0.08 t}$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [11 e^{- 0.08 t}]$ .

$- 40 {(1 + 11 e^{- 0.08 t})}^{- 2} (\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [11 e^{- 0.08 t}])$

Étape 3.3.3

Comme $1$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $1$ par rapport à $t$ est $0$ .

$- 40 {(1 + 11 e^{- 0.08 t})}^{- 2} (0 + \frac{d}{d t} [11 e^{- 0.08 t}])$

Étape 3.3.4

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d t} [11 e^{- 0.08 t}]$ .

$- 40 {(1 + 11 e^{- 0.08 t})}^{- 2} \frac{d}{d t} [11 e^{- 0.08 t}]$

Étape 3.3.5

Comme $11$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $11 e^{- 0.08 t}$ par rapport à $t$ est $11 \frac{d}{d t} [e^{- 0.08 t}]$ .

$- 40 {(1 + 11 e^{- 0.08 t})}^{- 2} (11 \frac{d}{d t} [e^{- 0.08 t}])$

Étape 3.3.6

Multipliez $11$ par $- 40$ .

$- 440 {(1 + 11 e^{- 0.08 t})}^{- 2} \frac{d}{d t} [e^{- 0.08 t}]$

Étape 3.4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ est $f' (g (t)) g' (t)$ où $f (t) = e^{t}$ et $g (t) = - 0.08 t$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $- 0.08 t$ .

$- 440 {(1 + 11 e^{- 0.08 t})}^{- 2} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d t} [- 0.08 t])$

Étape 3.4.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ est $a^{u_{2}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$- 440 {(1 + 11 e^{- 0.08 t})}^{- 2} (e^{u_{2}} \frac{d}{d t} [- 0.08 t])$

Étape 3.4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $- 0.08 t$ .

$- 440 {(1 + 11 e^{- 0.08 t})}^{- 2} (e^{- 0.08 t} \frac{d}{d t} [- 0.08 t])$

Étape 3.5

Différenciez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.5.1

Comme $- 0.08$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $- 0.08 t$ par rapport à $t$ est $- 0.08 \frac{d}{d t} [t]$ .

$- 440 {(1 + 11 e^{- 0.08 t})}^{- 2} (e^{- 0.08 t} (- 0.08 \frac{d}{d t} [t]))$

Étape 3.5.2

Multipliez $- 0.08$ par $- 440$ .

$35.2 {(1 + 11 e^{- 0.08 t})}^{- 2} (e^{- 0.08 t} (\frac{d}{d t} [t]))$

Étape 3.5.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$35.2 {(1 + 11 e^{- 0.08 t})}^{- 2} (e^{- 0.08 t} \cdot 1)$

Étape 3.5.4

Multipliez $e^{- 0.08 t}$ par $1$ .

$35.2 {(1 + 11 e^{- 0.08 t})}^{- 2} e^{- 0.08 t}$

Étape 3.6

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.6.1

Réorganisez les facteurs de $35.2 {(1 + 11 e^{- 0.08 t})}^{- 2} e^{- 0.08 t}$ .

$35.2 e^{- 0.08 t} {(1 + 11 e^{- 0.08 t})}^{- 2}$

Étape 3.6.2

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$35.2 e^{- 0.08 t} \frac{1}{{(1 + 11 e^{- 0.08 t})}^{2}}$

Étape 3.6.3

Multipliez $35.2 e^{- 0.08 t} \frac{1}{{(1 + 11 e^{- 0.08 t})}^{2}}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.6.3.1

Associez $\frac{1}{{(1 + 11 e^{- 0.08 t})}^{2}}$ et $35.2$ .

$\frac{35.2}{{(1 + 11 e^{- 0.08 t})}^{2}} e^{- 0.08 t}$

Étape 3.6.3.2

Associez $\frac{35.2}{{(1 + 11 e^{- 0.08 t})}^{2}}$ et $e^{- 0.08 t}$ .

$\frac{35.2 e^{- 0.08 t}}{{(1 + 11 e^{- 0.08 t})}^{2}}$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$P' = \frac{35.2 e^{- 0.08 t}}{{(1 + 11 e^{- 0.08 t})}^{2}}$

Étape 5

Remplacez $P'$ par $\frac{d P}{d t}$ .

$\frac{d P}{d t} = \frac{35.2 e^{- 0.08 t}}{{(1 + 11 e^{- 0.08 t})}^{2}}$