Calcul infinitésimal Exemples

$R = 2 x (900 + 32 x - x^{2})$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (R) = \frac{d}{d x} (2 x (900 + 32 x - x^{2}))$

Étape 2

La dérivée de $R$ par rapport à $x$ est $R'$ .

$R'$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x (900 + 32 x - x^{2})$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x (900 + 32 x - x^{2})]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x (900 + 32 x - x^{2})]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = 900 + 32 x - x^{2}$ .

$2 (x \frac{d}{d x} [900 + 32 x - x^{2}] + (900 + 32 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.3

Différenciez.

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Étape 3.3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $900 + 32 x - x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [900] + \frac{d}{d x} [32 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$2 (x (\frac{d}{d x} [900] + \frac{d}{d x} [32 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + (900 + 32 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.3.2

Comme $900$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $900$ par rapport à $x$ est $0$ .

$2 (x (0 + \frac{d}{d x} [32 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + (900 + 32 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.3.3

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [32 x]$ .

$2 (x (\frac{d}{d x} [32 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + (900 + 32 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.3.4

Comme $32$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $32 x$ par rapport à $x$ est $32 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 (x (32 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + (900 + 32 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 (x (32 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + (900 + 32 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.3.6

Multipliez $32$ par $1$ .

$2 (x (32 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + (900 + 32 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.3.7

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 (x (32 - \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (900 + 32 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.3.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 (x (32 - (2 x)) + (900 + 32 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.3.9

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$2 (x (32 - 2 x) + (900 + 32 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.3.10

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 (x (32 - 2 x) + (900 + 32 x - x^{2}) \cdot 1)$

Étape 3.3.11

Multipliez $900 + 32 x - x^{2}$ par $1$ .

$2 (x (32 - 2 x) + 900 + 32 x - x^{2})$

Étape 3.4

Simplifiez

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Étape 3.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 (x \cdot 32 + x (- 2 x) + 900 + 32 x - x^{2})$

Étape 3.4.2

Appliquez la propriété distributive.

$2 (x \cdot 32) + 2 (x (- 2 x)) + 2 \cdot 900 + 2 (32 x) + 2 (- x^{2})$

Étape 3.4.3

Associez des termes.

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Étape 3.4.3.1

Déplacez $32$ à gauche de $x$ .

$2 (32 \cdot x) + 2 (x (- 2 x)) + 2 \cdot 900 + 2 (32 x) + 2 (- x^{2})$

Étape 3.4.3.2

Multipliez $32$ par $2$ .

$64 x + 2 (x (- 2 x)) + 2 \cdot 900 + 2 (32 x) + 2 (- x^{2})$

Étape 3.4.3.3

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$64 x + 2 (- 2 (x^{1} x)) + 2 \cdot 900 + 2 (32 x) + 2 (- x^{2})$

Étape 3.4.3.4

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$64 x + 2 (- 2 (x^{1} x^{1})) + 2 \cdot 900 + 2 (32 x) + 2 (- x^{2})$

Étape 3.4.3.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$64 x + 2 (- 2 x^{1 + 1}) + 2 \cdot 900 + 2 (32 x) + 2 (- x^{2})$

Étape 3.4.3.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$64 x + 2 (- 2 x^{2}) + 2 \cdot 900 + 2 (32 x) + 2 (- x^{2})$

Étape 3.4.3.7

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$64 x - 4 x^{2} + 2 \cdot 900 + 2 (32 x) + 2 (- x^{2})$

Étape 3.4.3.8

Multipliez $2$ par $900$ .

$64 x - 4 x^{2} + 1800 + 2 (32 x) + 2 (- x^{2})$

Étape 3.4.3.9

Multipliez $32$ par $2$ .

$64 x - 4 x^{2} + 1800 + 64 x + 2 (- x^{2})$

Étape 3.4.3.10

Additionnez $64 x$ et $64 x$ .

$128 x - 4 x^{2} + 1800 + 2 (- x^{2})$

Étape 3.4.3.11

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$128 x - 4 x^{2} + 1800 - 2 x^{2}$

Étape 3.4.3.12

Soustrayez $2 x^{2}$ de $- 4 x^{2}$ .

$128 x - 6 x^{2} + 1800$

Étape 3.4.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$- 6 x^{2} + 128 x + 1800$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$R' = - 6 x^{2} + 128 x + 1800$

Étape 5

Remplacez $R'$ par $\frac{d R}{d x}$ .

$\frac{d R}{d x} = - 6 x^{2} + 128 x + 1800$