Calcul infinitésimal Exemples

$r = \frac{1}{4 s^{3}} - \frac{8}{3 s^{2}}$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d s} (r) = \frac{d}{d s} (\frac{1}{4 s^{3}} - \frac{8}{3 s^{2}})$

Étape 2

La dérivée de $r$ par rapport à $s$ est $r'$ .

$r'$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{1}{4 s^{3}} - \frac{8}{3 s^{2}}$ par rapport à $s$ est $\frac{d}{d s} [\frac{1}{4 s^{3}}] + \frac{d}{d s} [- \frac{8}{3 s^{2}}]$ .

$\frac{d}{d s} [\frac{1}{4 s^{3}}] + \frac{d}{d s} [- \frac{8}{3 s^{2}}]$

Étape 3.2

Évaluez $\frac{d}{d s} [\frac{1}{4 s^{3}}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1

Comme $\frac{1}{4}$ est constant par rapport à $s$ , la dérivée de $\frac{1}{4 s^{3}}$ par rapport à $s$ est $\frac{1}{4} \frac{d}{d s} [\frac{1}{s^{3}}]$ .

$\frac{1}{4} \frac{d}{d s} [\frac{1}{s^{3}}] + \frac{d}{d s} [- \frac{8}{3 s^{2}}]$

Étape 3.2.2

Réécrivez $\frac{1}{s^{3}}$ comme ${(s^{3})}^{- 1}$ .

$\frac{1}{4} \frac{d}{d s} [{(s^{3})}^{- 1}] + \frac{d}{d s} [- \frac{8}{3 s^{2}}]$

Étape 3.2.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d s} [f (g (s))]$ est $f' (g (s)) g' (s)$ où $f (s) = s^{- 1}$ et $g (s) = s^{3}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $s^{3}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d s} [s^{3}]) + \frac{d}{d s} [- \frac{8}{3 s^{2}}]$

Étape 3.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$\frac{1}{4} (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d s} [s^{3}]) + \frac{d}{d s} [- \frac{8}{3 s^{2}}]$

Étape 3.2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $s^{3}$ .

$\frac{1}{4} (- {(s^{3})}^{- 2} \frac{d}{d s} [s^{3}]) + \frac{d}{d s} [- \frac{8}{3 s^{2}}]$

Étape 3.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d s} [s^{n}]$ est $n s^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$\frac{1}{4} (- {(s^{3})}^{- 2} (3 s^{2})) + \frac{d}{d s} [- \frac{8}{3 s^{2}}]$

Étape 3.2.5

Multipliez les exposants dans ${(s^{3})}^{- 2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.5.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{4} (- s^{3 \cdot - 2} (3 s^{2})) + \frac{d}{d s} [- \frac{8}{3 s^{2}}]$

Étape 3.2.5.2

Multipliez $3$ par $- 2$ .

$\frac{1}{4} (- s^{- 6} (3 s^{2})) + \frac{d}{d s} [- \frac{8}{3 s^{2}}]$

Étape 3.2.6

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\frac{1}{4} (- 3 s^{- 6} s^{2}) + \frac{d}{d s} [- \frac{8}{3 s^{2}}]$

Étape 3.2.7

Multipliez $s^{- 6}$ par $s^{2}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.7.1

Déplacez $s^{2}$ .

$\frac{1}{4} (- 3 (s^{2} s^{- 6})) + \frac{d}{d s} [- \frac{8}{3 s^{2}}]$

Étape 3.2.7.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1}{4} (- 3 s^{2 - 6}) + \frac{d}{d s} [- \frac{8}{3 s^{2}}]$

Étape 3.2.7.3

Soustrayez $6$ de $2$ .

$\frac{1}{4} (- 3 s^{- 4}) + \frac{d}{d s} [- \frac{8}{3 s^{2}}]$

Étape 3.2.8

Associez $- 3$ et $\frac{1}{4}$ .

$\frac{- 3}{4} s^{- 4} + \frac{d}{d s} [- \frac{8}{3 s^{2}}]$

Étape 3.2.9

Associez $\frac{- 3}{4}$ et $s^{- 4}$ .

$\frac{- 3 s^{- 4}}{4} + \frac{d}{d s} [- \frac{8}{3 s^{2}}]$

Étape 3.2.10

Placez $s^{- 4}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{- 3}{4 s^{4}} + \frac{d}{d s} [- \frac{8}{3 s^{2}}]$

Étape 3.2.11

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{3}{4 s^{4}} + \frac{d}{d s} [- \frac{8}{3 s^{2}}]$

Étape 3.3

Évaluez $\frac{d}{d s} [- \frac{8}{3 s^{2}}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.1

Comme $- \frac{8}{3}$ est constant par rapport à $s$ , la dérivée de $- \frac{8}{3 s^{2}}$ par rapport à $s$ est $- \frac{8}{3} \frac{d}{d s} [\frac{1}{s^{2}}]$ .

$- \frac{3}{4 s^{4}} - \frac{8}{3} \frac{d}{d s} [\frac{1}{s^{2}}]$

Étape 3.3.2

Réécrivez $\frac{1}{s^{2}}$ comme ${(s^{2})}^{- 1}$ .

$- \frac{3}{4 s^{4}} - \frac{8}{3} \frac{d}{d s} [{(s^{2})}^{- 1}]$

Étape 3.3.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d s} [f (g (s))]$ est $f' (g (s)) g' (s)$ où $f (s) = s^{- 1}$ et $g (s) = s^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $s^{2}$ .

$- \frac{3}{4 s^{4}} - \frac{8}{3} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{- 1}] \frac{d}{d s} [s^{2}])$

Étape 3.3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ est $n {u_{2}}^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$- \frac{3}{4 s^{4}} - \frac{8}{3} (- {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d s} [s^{2}])$

Étape 3.3.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $s^{2}$ .

$- \frac{3}{4 s^{4}} - \frac{8}{3} (- {(s^{2})}^{- 2} \frac{d}{d s} [s^{2}])$

Étape 3.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d s} [s^{n}]$ est $n s^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- \frac{3}{4 s^{4}} - \frac{8}{3} (- {(s^{2})}^{- 2} (2 s))$

Étape 3.3.5

Multipliez les exposants dans ${(s^{2})}^{- 2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.5.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{3}{4 s^{4}} - \frac{8}{3} (- s^{2 \cdot - 2} (2 s))$

Étape 3.3.5.2

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$- \frac{3}{4 s^{4}} - \frac{8}{3} (- s^{- 4} (2 s))$

Étape 3.3.6

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- \frac{3}{4 s^{4}} - \frac{8}{3} (- 2 s^{- 4} s)$

Étape 3.3.7

Élevez $s$ à la puissance $1$ .

$- \frac{3}{4 s^{4}} - \frac{8}{3} (- 2 (s^{1} s^{- 4}))$

Étape 3.3.8

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{3}{4 s^{4}} - \frac{8}{3} (- 2 s^{1 - 4})$

Étape 3.3.9

Soustrayez $4$ de $1$ .

$- \frac{3}{4 s^{4}} - \frac{8}{3} (- 2 s^{- 3})$

Étape 3.3.10

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$- \frac{3}{4 s^{4}} + 2 (\frac{8}{3}) s^{- 3}$

Étape 3.3.11

Associez $2$ et $\frac{8}{3}$ .

$- \frac{3}{4 s^{4}} + \frac{2 \cdot 8}{3} s^{- 3}$

Étape 3.3.12

Multipliez $2$ par $8$ .

$- \frac{3}{4 s^{4}} + \frac{16}{3} s^{- 3}$

Étape 3.3.13

Associez $\frac{16}{3}$ et $s^{- 3}$ .

$- \frac{3}{4 s^{4}} + \frac{16 s^{- 3}}{3}$

Étape 3.3.14

Placez $s^{- 3}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{3}{4 s^{4}} + \frac{16}{3 s^{3}}$

Étape 3.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{16}{3 s^{3}} - \frac{3}{4 s^{4}}$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$r' = \frac{16}{3 s^{3}} - \frac{3}{4 s^{4}}$

Étape 5

Remplacez $r'$ par $\frac{d r}{d s}$ .

$\frac{d r}{d s} = \frac{16}{3 s^{3}} - \frac{3}{4 s^{4}}$