Calcul infinitésimal Exemples

$s = (\frac{1}{3}) t^{3} - 7 t^{2} + 49 t + 5$

Étape 1

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $t^{3}$ .

$s = \frac{1}{3} t^{3} - 7 t^{2} + 49 t + 5$

Étape 2

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d t} (s) = \frac{d}{d t} (\frac{1}{3} t^{3} - 7 t^{2} + 49 t + 5)$

Étape 3

La dérivée de $s$ par rapport à $t$ est $s'$ .

$s'$

Étape 4

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 4.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{1}{3} t^{3} - 7 t^{2} + 49 t + 5$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [\frac{1}{3} t^{3}] + \frac{d}{d t} [- 7 t^{2}] + \frac{d}{d t} [49 t] + \frac{d}{d t} [5]$ .

$\frac{d}{d t} [\frac{1}{3} t^{3}] + \frac{d}{d t} [- 7 t^{2}] + \frac{d}{d t} [49 t] + \frac{d}{d t} [5]$

Étape 4.2

Évaluez $\frac{d}{d t} [\frac{1}{3} t^{3}]$ .

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Étape 4.2.1

Comme $\frac{1}{3}$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $\frac{1}{3} t^{3}$ par rapport à $t$ est $\frac{1}{3} \frac{d}{d t} [t^{3}]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [- 7 t^{2}] + \frac{d}{d t} [49 t] + \frac{d}{d t} [5]$

Étape 4.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$\frac{1}{3} (3 t^{2}) + \frac{d}{d t} [- 7 t^{2}] + \frac{d}{d t} [49 t] + \frac{d}{d t} [5]$

Étape 4.2.3

Associez $3$ et $\frac{1}{3}$ .

$\frac{3}{3} t^{2} + \frac{d}{d t} [- 7 t^{2}] + \frac{d}{d t} [49 t] + \frac{d}{d t} [5]$

Étape 4.2.4

Associez $\frac{3}{3}$ et $t^{2}$ .

$\frac{3 t^{2}}{3} + \frac{d}{d t} [- 7 t^{2}] + \frac{d}{d t} [49 t] + \frac{d}{d t} [5]$

Étape 4.2.5

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 4.2.5.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 t^{2}}{3} + \frac{d}{d t} [- 7 t^{2}] + \frac{d}{d t} [49 t] + \frac{d}{d t} [5]$

Étape 4.2.5.2

Divisez $t^{2}$ par $1$ .

$t^{2} + \frac{d}{d t} [- 7 t^{2}] + \frac{d}{d t} [49 t] + \frac{d}{d t} [5]$

Étape 4.3

Évaluez $\frac{d}{d t} [- 7 t^{2}]$ .

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Étape 4.3.1

Comme $- 7$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $- 7 t^{2}$ par rapport à $t$ est $- 7 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$t^{2} - 7 \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [49 t] + \frac{d}{d t} [5]$

Étape 4.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$t^{2} - 7 (2 t) + \frac{d}{d t} [49 t] + \frac{d}{d t} [5]$

Étape 4.3.3

Multipliez $2$ par $- 7$ .

$t^{2} - 14 t + \frac{d}{d t} [49 t] + \frac{d}{d t} [5]$

Étape 4.4

Évaluez $\frac{d}{d t} [49 t]$ .

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Étape 4.4.1

Comme $49$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $49 t$ par rapport à $t$ est $49 \frac{d}{d t} [t]$ .

$t^{2} - 14 t + 49 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [5]$

Étape 4.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$t^{2} - 14 t + 49 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [5]$

Étape 4.4.3

Multipliez $49$ par $1$ .

$t^{2} - 14 t + 49 + \frac{d}{d t} [5]$

Étape 4.5

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 4.5.1

Comme $5$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $5$ par rapport à $t$ est $0$ .

$t^{2} - 14 t + 49 + 0$

Étape 4.5.2

Additionnez $t^{2} - 14 t + 49$ et $0$ .

$t^{2} - 14 t + 49$

Étape 5

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$s' = t^{2} - 14 t + 49$

Étape 6

Remplacez $s'$ par $\frac{d s}{d t}$ .

$\frac{d s}{d t} = t^{2} - 14 t + 49$