Calcul infinitésimal Exemples

$y = 14 x (\sin (\ln (14 x)) + \cos (\ln (14 x)))$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (14 x (\sin (\ln (14 x)) + \cos (\ln (14 x))))$

Étape 2

La dérivée de $y$ par rapport à $x$ est $y'$ .

$y'$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Comme $14$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $14 x (\sin (\ln (14 x)) + \cos (\ln (14 x)))$ par rapport à $x$ est $14 \frac{d}{d x} [x (\sin (\ln (14 x)) + \cos (\ln (14 x)))]$ .

$14 \frac{d}{d x} [x (\sin (\ln (14 x)) + \cos (\ln (14 x)))]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = \sin (\ln (14 x)) + \cos (\ln (14 x))$ .

$14 (x \frac{d}{d x} [\sin (\ln (14 x)) + \cos (\ln (14 x))] + (\sin (\ln (14 x)) + \cos (\ln (14 x))) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\sin (\ln (14 x)) + \cos (\ln (14 x))$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\sin (\ln (14 x))] + \frac{d}{d x} [\cos (\ln (14 x))]$ .

$14 (x (\frac{d}{d x} [\sin (\ln (14 x))] + \frac{d}{d x} [\cos (\ln (14 x))]) + (\sin (\ln (14 x)) + \cos (\ln (14 x))) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = \ln (14 x)$ .

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Étape 3.4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $\ln (14 x)$ .

$14 (x (\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [\ln (14 x)] + \frac{d}{d x} [\cos (\ln (14 x))]) + (\sin (\ln (14 x)) + \cos (\ln (14 x))) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.4.2

La dérivée de $\sin (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $\cos (u_{1})$ .

$14 (x (\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [\ln (14 x)] + \frac{d}{d x} [\cos (\ln (14 x))]) + (\sin (\ln (14 x)) + \cos (\ln (14 x))) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $\ln (14 x)$ .

$14 (x (\cos (\ln (14 x)) \frac{d}{d x} [\ln (14 x)] + \frac{d}{d x} [\cos (\ln (14 x))]) + (\sin (\ln (14 x)) + \cos (\ln (14 x))) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.5

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = 14 x$ .

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Étape 3.5.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $14 x$ .

$14 (x (\cos (\ln (14 x)) (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [14 x]) + \frac{d}{d x} [\cos (\ln (14 x))]) + (\sin (\ln (14 x)) + \cos (\ln (14 x))) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.5.2

La dérivée de $\ln (u_{2})$ par rapport à $u_{2}$ est $\frac{1}{u_{2}}$ .

$14 (x (\cos (\ln (14 x)) (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [14 x]) + \frac{d}{d x} [\cos (\ln (14 x))]) + (\sin (\ln (14 x)) + \cos (\ln (14 x))) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.5.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $14 x$ .

$14 (x (\cos (\ln (14 x)) (\frac{1}{14 x} \frac{d}{d x} [14 x]) + \frac{d}{d x} [\cos (\ln (14 x))]) + (\sin (\ln (14 x)) + \cos (\ln (14 x))) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.6

Différenciez.

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Étape 3.6.1

Associez $\frac{1}{14 x}$ et $\cos (\ln (14 x))$ .

$14 (x (\frac{\cos (\ln (14 x))}{14 x} \frac{d}{d x} [14 x] + \frac{d}{d x} [\cos (\ln (14 x))]) + (\sin (\ln (14 x)) + \cos (\ln (14 x))) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.6.2

Comme $14$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $14 x$ par rapport à $x$ est $14 \frac{d}{d x} [x]$ .

$14 (x (\frac{\cos (\ln (14 x))}{14 x} (14 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\cos (\ln (14 x))]) + (\sin (\ln (14 x)) + \cos (\ln (14 x))) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.6.3

Simplifiez les termes.

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Étape 3.6.3.1

Associez $14$ et $\frac{\cos (\ln (14 x))}{14 x}$ .

$14 (x (\frac{14 \cos (\ln (14 x))}{14 x} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\cos (\ln (14 x))]) + (\sin (\ln (14 x)) + \cos (\ln (14 x))) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.6.3.2

Annulez le facteur commun de $14$ .

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Étape 3.6.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$14 (x (\frac{14 \cos (\ln (14 x))}{14 x} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\cos (\ln (14 x))]) + (\sin (\ln (14 x)) + \cos (\ln (14 x))) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.6.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$14 (x (\frac{\cos (\ln (14 x))}{x} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\cos (\ln (14 x))]) + (\sin (\ln (14 x)) + \cos (\ln (14 x))) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.6.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$14 (x (\frac{\cos (\ln (14 x))}{x} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\cos (\ln (14 x))]) + (\sin (\ln (14 x)) + \cos (\ln (14 x))) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.6.5

Multipliez $\frac{\cos (\ln (14 x))}{x}$ par $1$ .

$14 (x (\frac{\cos (\ln (14 x))}{x} + \frac{d}{d x} [\cos (\ln (14 x))]) + (\sin (\ln (14 x)) + \cos (\ln (14 x))) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.7

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \cos (x)$ et $g (x) = \ln (14 x)$ .

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Étape 3.7.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{3}$ comme $\ln (14 x)$ .

$14 (x (\frac{\cos (\ln (14 x))}{x} + \frac{d}{d u_{3}} [\cos (u_{3})] \frac{d}{d x} [\ln (14 x)]) + (\sin (\ln (14 x)) + \cos (\ln (14 x))) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.7.2

La dérivée de $\cos (u_{3})$ par rapport à $u_{3}$ est $- \sin (u_{3})$ .

$14 (x (\frac{\cos (\ln (14 x))}{x} - \sin (u_{3}) \frac{d}{d x} [\ln (14 x)]) + (\sin (\ln (14 x)) + \cos (\ln (14 x))) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.7.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{3}$ par $\ln (14 x)$ .

$14 (x (\frac{\cos (\ln (14 x))}{x} - \sin (\ln (14 x)) \frac{d}{d x} [\ln (14 x)]) + (\sin (\ln (14 x)) + \cos (\ln (14 x))) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.8

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = 14 x$ .

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Étape 3.8.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{4}$ comme $14 x$ .

$14 (x (\frac{\cos (\ln (14 x))}{x} - \sin (\ln (14 x)) (\frac{d}{d u_{4}} [\ln (u_{4})] \frac{d}{d x} [14 x])) + (\sin (\ln (14 x)) + \cos (\ln (14 x))) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.8.2

La dérivée de $\ln (u_{4})$ par rapport à $u_{4}$ est $\frac{1}{u_{4}}$ .

$14 (x (\frac{\cos (\ln (14 x))}{x} - \sin (\ln (14 x)) (\frac{1}{u_{4}} \frac{d}{d x} [14 x])) + (\sin (\ln (14 x)) + \cos (\ln (14 x))) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.8.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{4}$ par $14 x$ .

$14 (x (\frac{\cos (\ln (14 x))}{x} - \sin (\ln (14 x)) (\frac{1}{14 x} \frac{d}{d x} [14 x])) + (\sin (\ln (14 x)) + \cos (\ln (14 x))) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.9

Différenciez.

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Étape 3.9.1

Associez $\frac{1}{14 x}$ et $\sin (\ln (14 x))$ .

$14 (x (\frac{\cos (\ln (14 x))}{x} - \frac{\sin (\ln (14 x))}{14 x} \frac{d}{d x} [14 x]) + (\sin (\ln (14 x)) + \cos (\ln (14 x))) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.9.2

Comme $14$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $14 x$ par rapport à $x$ est $14 \frac{d}{d x} [x]$ .

$14 (x (\frac{\cos (\ln (14 x))}{x} - \frac{\sin (\ln (14 x))}{14 x} (14 \frac{d}{d x} [x])) + (\sin (\ln (14 x)) + \cos (\ln (14 x))) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.9.3

Simplifiez les termes.

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Étape 3.9.3.1

Multipliez $14$ par $- 1$ .

$14 (x (\frac{\cos (\ln (14 x))}{x} - 14 \frac{\sin (\ln (14 x))}{14 x} \frac{d}{d x} [x]) + (\sin (\ln (14 x)) + \cos (\ln (14 x))) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.9.3.2

Associez $- 14$ et $\frac{\sin (\ln (14 x))}{14 x}$ .

$14 (x (\frac{\cos (\ln (14 x))}{x} + \frac{- 14 \sin (\ln (14 x))}{14 x} \frac{d}{d x} [x]) + (\sin (\ln (14 x)) + \cos (\ln (14 x))) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.9.3.3

Annulez le facteur commun à $- 14$ et $14$ .

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Étape 3.9.3.3.1

Factorisez $14$ à partir de $- 14 \sin (\ln (14 x))$ .

$14 (x (\frac{\cos (\ln (14 x))}{x} + \frac{14 (- \sin (\ln (14 x)))}{14 x} \frac{d}{d x} [x]) + (\sin (\ln (14 x)) + \cos (\ln (14 x))) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.9.3.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.9.3.3.2.1

Factorisez $14$ à partir de $14 x$ .

$14 (x (\frac{\cos (\ln (14 x))}{x} + \frac{14 (- \sin (\ln (14 x)))}{14 (x)} \frac{d}{d x} [x]) + (\sin (\ln (14 x)) + \cos (\ln (14 x))) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.9.3.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$14 (x (\frac{\cos (\ln (14 x))}{x} + \frac{14 (- \sin (\ln (14 x)))}{14 x} \frac{d}{d x} [x]) + (\sin (\ln (14 x)) + \cos (\ln (14 x))) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.9.3.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$14 (x (\frac{\cos (\ln (14 x))}{x} + \frac{- \sin (\ln (14 x))}{x} \frac{d}{d x} [x]) + (\sin (\ln (14 x)) + \cos (\ln (14 x))) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.9.3.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$14 (x (\frac{\cos (\ln (14 x))}{x} - \frac{\sin (\ln (14 x))}{x} \frac{d}{d x} [x]) + (\sin (\ln (14 x)) + \cos (\ln (14 x))) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.9.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$14 (x (\frac{\cos (\ln (14 x))}{x} - \frac{\sin (\ln (14 x))}{x} \cdot 1) + (\sin (\ln (14 x)) + \cos (\ln (14 x))) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.9.5

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$14 (x (\frac{\cos (\ln (14 x))}{x} - \frac{\sin (\ln (14 x))}{x}) + (\sin (\ln (14 x)) + \cos (\ln (14 x))) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.9.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$14 (x (\frac{\cos (\ln (14 x))}{x} - \frac{\sin (\ln (14 x))}{x}) + (\sin (\ln (14 x)) + \cos (\ln (14 x))) \cdot 1)$

Étape 3.9.7

Multipliez $\sin (\ln (14 x)) + \cos (\ln (14 x))$ par $1$ .

$14 (x (\frac{\cos (\ln (14 x))}{x} - \frac{\sin (\ln (14 x))}{x}) + \sin (\ln (14 x)) + \cos (\ln (14 x)))$

Étape 3.10

Simplifiez

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Étape 3.10.1

Appliquez la propriété distributive.

$14 (x \frac{\cos (\ln (14 x))}{x} + x (- \frac{\sin (\ln (14 x))}{x}) + \sin (\ln (14 x)) + \cos (\ln (14 x)))$

Étape 3.10.2

Appliquez la propriété distributive.

$14 (x \frac{\cos (\ln (14 x))}{x}) + 14 (x (- \frac{\sin (\ln (14 x))}{x})) + 14 \sin (\ln (14 x)) + 14 \cos (\ln (14 x))$

Étape 3.10.3

Associez des termes.

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Étape 3.10.3.1

Associez $x$ et $\frac{\cos (\ln (14 x))}{x}$ .

$14 \frac{x \cos (\ln (14 x))}{x} + 14 (x (- \frac{\sin (\ln (14 x))}{x})) + 14 \sin (\ln (14 x)) + 14 \cos (\ln (14 x))$

Étape 3.10.3.2

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 3.10.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$14 \frac{x \cos (\ln (14 x))}{x} + 14 (x (- \frac{\sin (\ln (14 x))}{x})) + 14 \sin (\ln (14 x)) + 14 \cos (\ln (14 x))$

Étape 3.10.3.2.2

Divisez $\cos (\ln (14 x))$ par $1$ .

$14 \cos (\ln (14 x)) + 14 (x (- \frac{\sin (\ln (14 x))}{x})) + 14 \sin (\ln (14 x)) + 14 \cos (\ln (14 x))$

Étape 3.10.3.3

Associez $x$ et $\frac{\sin (\ln (14 x))}{x}$ .

$14 \cos (\ln (14 x)) + 14 (- \frac{x \sin (\ln (14 x))}{x}) + 14 \sin (\ln (14 x)) + 14 \cos (\ln (14 x))$

Étape 3.10.3.4

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 3.10.3.4.1

Annulez le facteur commun.

$14 \cos (\ln (14 x)) + 14 (- \frac{x \sin (\ln (14 x))}{x}) + 14 \sin (\ln (14 x)) + 14 \cos (\ln (14 x))$

Étape 3.10.3.4.2

Divisez $\sin (\ln (14 x))$ par $1$ .

$14 \cos (\ln (14 x)) + 14 (- \sin (\ln (14 x))) + 14 \sin (\ln (14 x)) + 14 \cos (\ln (14 x))$

Étape 3.10.3.5

Multipliez $- 1$ par $14$ .

$14 \cos (\ln (14 x)) - 14 \sin (\ln (14 x)) + 14 \sin (\ln (14 x)) + 14 \cos (\ln (14 x))$

Étape 3.10.3.6

Additionnez $- 14 \sin (\ln (14 x))$ et $14 \sin (\ln (14 x))$ .

$14 \cos (\ln (14 x)) + 0 + 14 \cos (\ln (14 x))$

Étape 3.10.3.7

Additionnez $14 \cos (\ln (14 x))$ et $0$ .

$14 \cos (\ln (14 x)) + 14 \cos (\ln (14 x))$

Étape 3.10.3.8

Additionnez $14 \cos (\ln (14 x))$ et $14 \cos (\ln (14 x))$ .

$28 \cos (\ln (14 x))$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$y' = 28 \cos (\ln (14 x))$

Étape 5

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 28 \cos (\ln (14 x))$