Calcul infinitésimal Exemples

$q = \sqrt[3]{r} + \frac{6}{r}$

Étape 1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{r}$ comme $r^{\frac{1}{3}}$ .

$q = r^{\frac{1}{3}} + \frac{6}{r}$

Étape 2

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d r} (q) = \frac{d}{d r} (r^{\frac{1}{3}} + \frac{6}{r})$

Étape 3

La dérivée de $q$ par rapport à $r$ est $q'$ .

$q'$

Étape 4

Différenciez le côté droit de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $r^{\frac{1}{3}} + \frac{6}{r}$ par rapport à $r$ est $\frac{d}{d r} [r^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d r} [\frac{6}{r}]$ .

$\frac{d}{d r} [r^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d r} [\frac{6}{r}]$

Étape 4.2

Évaluez $\frac{d}{d r} [r^{\frac{1}{3}}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ est $n r^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3} r^{\frac{1}{3} - 1} + \frac{d}{d r} [\frac{6}{r}]$

Étape 4.2.2

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} r^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} + \frac{d}{d r} [\frac{6}{r}]$

Étape 4.2.3

Associez $- 1$ et $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} r^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d r} [\frac{6}{r}]$

Étape 4.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{3} r^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d r} [\frac{6}{r}]$

Étape 4.2.5

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.5.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{1}{3} r^{\frac{1 - 3}{3}} + \frac{d}{d r} [\frac{6}{r}]$

Étape 4.2.5.2

Soustrayez $3$ de $1$ .

$\frac{1}{3} r^{\frac{- 2}{3}} + \frac{d}{d r} [\frac{6}{r}]$

Étape 4.2.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{3} r^{- \frac{2}{3}} + \frac{d}{d r} [\frac{6}{r}]$

Étape 4.3

Évaluez $\frac{d}{d r} [\frac{6}{r}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.1

Comme $6$ est constant par rapport à $r$ , la dérivée de $\frac{6}{r}$ par rapport à $r$ est $6 \frac{d}{d r} [\frac{1}{r}]$ .

$\frac{1}{3} r^{- \frac{2}{3}} + 6 \frac{d}{d r} [\frac{1}{r}]$

Étape 4.3.2

Réécrivez $\frac{1}{r}$ comme $r^{- 1}$ .

$\frac{1}{3} r^{- \frac{2}{3}} + 6 \frac{d}{d r} [r^{- 1}]$

Étape 4.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ est $n r^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$\frac{1}{3} r^{- \frac{2}{3}} + 6 (- r^{- 2})$

Étape 4.3.4

Multipliez $- 1$ par $6$ .

$\frac{1}{3} r^{- \frac{2}{3}} - 6 r^{- 2}$

Étape 4.4

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.4.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{r^{\frac{2}{3}}} - 6 r^{- 2}$

Étape 4.4.2

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{r^{\frac{2}{3}}} - 6 \frac{1}{r^{2}}$

Étape 4.4.3

Associez des termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.4.3.1

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $\frac{1}{r^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{1}{3 r^{\frac{2}{3}}} - 6 \frac{1}{r^{2}}$

Étape 4.4.3.2

Associez $- 6$ et $\frac{1}{r^{2}}$ .

$\frac{1}{3 r^{\frac{2}{3}}} + \frac{- 6}{r^{2}}$

Étape 4.4.3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{3 r^{\frac{2}{3}}} - \frac{6}{r^{2}}$

Étape 4.4.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$- \frac{6}{r^{2}} + \frac{1}{3 r^{\frac{2}{3}}}$

Étape 5

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$q' = - \frac{6}{r^{2}} + \frac{1}{3 r^{\frac{2}{3}}}$

Étape 6

Remplacez $q'$ par $\frac{d q}{d r}$ .

$\frac{d q}{d r} = - \frac{6}{r^{2}} + \frac{1}{3 r^{\frac{2}{3}}}$