Calcul infinitésimal Exemples

$p = {(5 q^{2} - 4)}^{5} {(2 q + 3)}^{10}$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d q} (p) = \frac{d}{d q} ({(5 q^{2} - 4)}^{5} {(2 q + 3)}^{10})$

Étape 2

La dérivée de $p$ par rapport à $q$ est $p'$ .

$p'$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d q} [f (q) g (q)]$ est $f (q) \frac{d}{d q} [g (q)] + g (q) \frac{d}{d q} [f (q)]$ où $f (q) = {(5 q^{2} - 4)}^{5}$ et $g (q) = {(2 q + 3)}^{10}$ .

${(5 q^{2} - 4)}^{5} \frac{d}{d q} [{(2 q + 3)}^{10}] + {(2 q + 3)}^{10} \frac{d}{d q} [{(5 q^{2} - 4)}^{5}]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d q} [f (g (q))]$ est $f' (g (q)) g' (q)$ où $f (q) = q^{10}$ et $g (q) = 2 q + 3$ .

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Étape 3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $2 q + 3$ .

${(5 q^{2} - 4)}^{5} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{10}] \frac{d}{d q} [2 q + 3]) + {(2 q + 3)}^{10} \frac{d}{d q} [{(5 q^{2} - 4)}^{5}]$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = 10$ .

${(5 q^{2} - 4)}^{5} (10 {u_{1}}^{9} \frac{d}{d q} [2 q + 3]) + {(2 q + 3)}^{10} \frac{d}{d q} [{(5 q^{2} - 4)}^{5}]$

Étape 3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $2 q + 3$ .

${(5 q^{2} - 4)}^{5} (10 {(2 q + 3)}^{9} \frac{d}{d q} [2 q + 3]) + {(2 q + 3)}^{10} \frac{d}{d q} [{(5 q^{2} - 4)}^{5}]$

Étape 3.3

Différenciez.

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Étape 3.3.1

Déplacez $10$ à gauche de ${(5 q^{2} - 4)}^{5}$ .

$10 \cdot {(5 q^{2} - 4)}^{5} {(2 q + 3)}^{9} \frac{d}{d q} [2 q + 3] + {(2 q + 3)}^{10} \frac{d}{d q} [{(5 q^{2} - 4)}^{5}]$

Étape 3.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 q + 3$ par rapport à $q$ est $\frac{d}{d q} [2 q] + \frac{d}{d q} [3]$ .

$10 {(5 q^{2} - 4)}^{5} {(2 q + 3)}^{9} (\frac{d}{d q} [2 q] + \frac{d}{d q} [3]) + {(2 q + 3)}^{10} \frac{d}{d q} [{(5 q^{2} - 4)}^{5}]$

Étape 3.3.3

Comme $2$ est constant par rapport à $q$ , la dérivée de $2 q$ par rapport à $q$ est $2 \frac{d}{d q} [q]$ .

$10 {(5 q^{2} - 4)}^{5} {(2 q + 3)}^{9} (2 \frac{d}{d q} [q] + \frac{d}{d q} [3]) + {(2 q + 3)}^{10} \frac{d}{d q} [{(5 q^{2} - 4)}^{5}]$

Étape 3.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d q} [q^{n}]$ est $n q^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$10 {(5 q^{2} - 4)}^{5} {(2 q + 3)}^{9} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d q} [3]) + {(2 q + 3)}^{10} \frac{d}{d q} [{(5 q^{2} - 4)}^{5}]$

Étape 3.3.5

Multipliez $2$ par $1$ .

$10 {(5 q^{2} - 4)}^{5} {(2 q + 3)}^{9} (2 + \frac{d}{d q} [3]) + {(2 q + 3)}^{10} \frac{d}{d q} [{(5 q^{2} - 4)}^{5}]$

Étape 3.3.6

Comme $3$ est constant par rapport à $q$ , la dérivée de $3$ par rapport à $q$ est $0$ .

$10 {(5 q^{2} - 4)}^{5} {(2 q + 3)}^{9} (2 + 0) + {(2 q + 3)}^{10} \frac{d}{d q} [{(5 q^{2} - 4)}^{5}]$

Étape 3.3.7

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.3.7.1

Additionnez $2$ et $0$ .

$10 {(5 q^{2} - 4)}^{5} {(2 q + 3)}^{9} \cdot 2 + {(2 q + 3)}^{10} \frac{d}{d q} [{(5 q^{2} - 4)}^{5}]$

Étape 3.3.7.2

Multipliez $2$ par $10$ .

$20 {(5 q^{2} - 4)}^{5} {(2 q + 3)}^{9} + {(2 q + 3)}^{10} \frac{d}{d q} [{(5 q^{2} - 4)}^{5}]$

Étape 3.4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d q} [f (g (q))]$ est $f' (g (q)) g' (q)$ où $f (q) = q^{5}$ et $g (q) = 5 q^{2} - 4$ .

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Étape 3.4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $5 q^{2} - 4$ .

$20 {(5 q^{2} - 4)}^{5} {(2 q + 3)}^{9} + {(2 q + 3)}^{10} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{5}] \frac{d}{d q} [5 q^{2} - 4])$

Étape 3.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ est $n {u_{2}}^{n - 1}$ où $n = 5$ .

$20 {(5 q^{2} - 4)}^{5} {(2 q + 3)}^{9} + {(2 q + 3)}^{10} (5 {u_{2}}^{4} \frac{d}{d q} [5 q^{2} - 4])$

Étape 3.4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $5 q^{2} - 4$ .

$20 {(5 q^{2} - 4)}^{5} {(2 q + 3)}^{9} + {(2 q + 3)}^{10} (5 {(5 q^{2} - 4)}^{4} \frac{d}{d q} [5 q^{2} - 4])$

Étape 3.5

Différenciez.

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Étape 3.5.1

Déplacez $5$ à gauche de ${(2 q + 3)}^{10}$ .

$20 {(5 q^{2} - 4)}^{5} {(2 q + 3)}^{9} + 5 \cdot {(2 q + 3)}^{10} {(5 q^{2} - 4)}^{4} \frac{d}{d q} [5 q^{2} - 4]$

Étape 3.5.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $5 q^{2} - 4$ par rapport à $q$ est $\frac{d}{d q} [5 q^{2}] + \frac{d}{d q} [- 4]$ .

$20 {(5 q^{2} - 4)}^{5} {(2 q + 3)}^{9} + 5 {(2 q + 3)}^{10} {(5 q^{2} - 4)}^{4} (\frac{d}{d q} [5 q^{2}] + \frac{d}{d q} [- 4])$

Étape 3.5.3

Comme $5$ est constant par rapport à $q$ , la dérivée de $5 q^{2}$ par rapport à $q$ est $5 \frac{d}{d q} [q^{2}]$ .

$20 {(5 q^{2} - 4)}^{5} {(2 q + 3)}^{9} + 5 {(2 q + 3)}^{10} {(5 q^{2} - 4)}^{4} (5 \frac{d}{d q} [q^{2}] + \frac{d}{d q} [- 4])$

Étape 3.5.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d q} [q^{n}]$ est $n q^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$20 {(5 q^{2} - 4)}^{5} {(2 q + 3)}^{9} + 5 {(2 q + 3)}^{10} {(5 q^{2} - 4)}^{4} (5 (2 q) + \frac{d}{d q} [- 4])$

Étape 3.5.5

Multipliez $2$ par $5$ .

$20 {(5 q^{2} - 4)}^{5} {(2 q + 3)}^{9} + 5 {(2 q + 3)}^{10} {(5 q^{2} - 4)}^{4} (10 q + \frac{d}{d q} [- 4])$

Étape 3.5.6

Comme $- 4$ est constant par rapport à $q$ , la dérivée de $- 4$ par rapport à $q$ est $0$ .

$20 {(5 q^{2} - 4)}^{5} {(2 q + 3)}^{9} + 5 {(2 q + 3)}^{10} {(5 q^{2} - 4)}^{4} (10 q + 0)$

Étape 3.5.7

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.5.7.1

Additionnez $10 q$ et $0$ .

$20 {(5 q^{2} - 4)}^{5} {(2 q + 3)}^{9} + 5 {(2 q + 3)}^{10} {(5 q^{2} - 4)}^{4} (10 q)$

Étape 3.5.7.2

Multipliez $10$ par $5$ .

$20 {(5 q^{2} - 4)}^{5} {(2 q + 3)}^{9} + 50 {(2 q + 3)}^{10} {(5 q^{2} - 4)}^{4} q$

Étape 3.6

Simplifiez

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Étape 3.6.1

Factorisez $10 {(5 q^{2} - 4)}^{4} {(2 q + 3)}^{9}$ à partir de $20 {(5 q^{2} - 4)}^{5} {(2 q + 3)}^{9} + 50 {(2 q + 3)}^{10} {(5 q^{2} - 4)}^{4} q$ .

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Étape 3.6.1.1

Factorisez $10 {(5 q^{2} - 4)}^{4} {(2 q + 3)}^{9}$ à partir de $20 {(5 q^{2} - 4)}^{5} {(2 q + 3)}^{9}$ .

$10 {(5 q^{2} - 4)}^{4} {(2 q + 3)}^{9} (2 (5 q^{2} - 4)) + 50 {(2 q + 3)}^{10} {(5 q^{2} - 4)}^{4} q$

Étape 3.6.1.2

Factorisez $10 {(5 q^{2} - 4)}^{4} {(2 q + 3)}^{9}$ à partir de $50 {(2 q + 3)}^{10} {(5 q^{2} - 4)}^{4} q$ .

$10 {(5 q^{2} - 4)}^{4} {(2 q + 3)}^{9} (2 (5 q^{2} - 4)) + 10 {(5 q^{2} - 4)}^{4} {(2 q + 3)}^{9} (5 (2 q + 3) q)$

Étape 3.6.1.3

Factorisez $10 {(5 q^{2} - 4)}^{4} {(2 q + 3)}^{9}$ à partir de $10 {(5 q^{2} - 4)}^{4} {(2 q + 3)}^{9} (2 (5 q^{2} - 4)) + 10 {(5 q^{2} - 4)}^{4} {(2 q + 3)}^{9} (5 (2 q + 3) q)$ .

$10 {(5 q^{2} - 4)}^{4} {(2 q + 3)}^{9} (2 (5 q^{2} - 4) + 5 (2 q + 3) q)$

Étape 3.6.2

Réorganisez les facteurs de $10 {(5 q^{2} - 4)}^{4} {(2 q + 3)}^{9} (2 (5 q^{2} - 4) + 5 (2 q + 3) q)$ .

$10 {(2 q + 3)}^{9} {(5 q^{2} - 4)}^{4} (2 (5 q^{2} - 4) + 5 (2 q + 3) q)$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$p' = 10 {(2 q + 3)}^{9} {(5 q^{2} - 4)}^{4} (2 (5 q^{2} - 4) + 5 (2 q + 3) q)$

Étape 5

Remplacez $p'$ par $\frac{d p}{d q}$ .

$\frac{d p}{d q} = 10 {(2 q + 3)}^{9} {(5 q^{2} - 4)}^{4} (2 (5 q^{2} - 4) + 5 (2 q + 3) q)$