Calcul infinitésimal Exemples

$\cos (r) + \cot (x) = e^{r x}$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (\cos (r) + \cot (x)) = \frac{d}{d x} (e^{r x})$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\cos (r) + \cot (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\cos (r)] + \frac{d}{d x} [\cot (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (r)] + \frac{d}{d x} [\cot (x)]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\cos (r)]$ .

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Étape 2.2.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \cos (x)$ et $g (x) = r$ .

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Étape 2.2.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $r$ .

$\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [r] + \frac{d}{d x} [\cot (x)]$

Étape 2.2.1.2

La dérivée de $\cos (u)$ par rapport à $u$ est $- \sin (u)$ .

$- \sin (u) \frac{d}{d x} [r] + \frac{d}{d x} [\cot (x)]$

Étape 2.2.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $r$ .

$- \sin (r) \frac{d}{d x} [r] + \frac{d}{d x} [\cot (x)]$

Étape 2.2.2

Réécrivez $\frac{d}{d x} [r]$ comme $r'$ .

$- \sin (r) r' + \frac{d}{d x} [\cot (x)]$

Étape 2.3

La dérivée de $\cot (x)$ par rapport à $x$ est $- \csc^{2} (x)$ .

$- \sin (r) r' - \csc^{2} (x)$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = r x$ .

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Étape 3.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $r x$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [r x]$

Étape 3.1.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [r x]$

Étape 3.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $r x$ .

$e^{r x} \frac{d}{d x} [r x]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = r$ et $g (x) = x$ .

$e^{r x} (r \frac{d}{d x} [x] + x \frac{d}{d x} [r])$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 3.3.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$e^{r x} (r \cdot 1 + x \frac{d}{d x} [r])$

Étape 3.3.2

Multipliez $r$ par $1$ .

$e^{r x} (r + x \frac{d}{d x} [r])$

Étape 3.4

Réécrivez $\frac{d}{d x} [r]$ comme $r'$ .

$e^{r x} (r + x r')$

Étape 3.5

Simplifiez

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Étape 3.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$e^{r x} r + e^{r x} (x r')$

Étape 3.5.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$e^{r x} r + e^{r x} x r'$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$- \sin (r) r' - \csc^{2} (x) = e^{r x} r + e^{r x} x r'$

Étape 5

Résolvez $r'$ .

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Étape 5.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.1.1

Simplifiez $- \sin (r) r' - \csc^{2} (x)$ .

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Étape 5.1.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.1.1.1.1

Réécrivez $\csc (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$- \sin (r) r' - {(\frac{1}{\sin (x)})}^{2} = e^{r x} r + e^{r x} x r'$

Étape 5.1.1.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$- \sin (r) r' - \frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)} = e^{r x} r + e^{r x} x r'$

Étape 5.1.1.1.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$- \sin (r) r' - \frac{1}{\sin^{2} (x)} = e^{r x} r + e^{r x} x r'$

Étape 5.1.1.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.1.1.2.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$- \sin (r) r' - \frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)} = e^{r x} r + e^{r x} x r'$

Étape 5.1.1.2.2

Réécrivez $\frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)}$ comme ${(\frac{1}{\sin (x)})}^{2}$ .

$- \sin (r) r' - {(\frac{1}{\sin (x)})}^{2} = e^{r x} r + e^{r x} x r'$

Étape 5.1.1.2.3

Convertissez de $\frac{1}{\sin (x)}$ à $\csc (x)$ .

$- \sin (r) r' - \csc^{2} (x) = e^{r x} r + e^{r x} x r'$

Étape 5.1.1.3

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $- \sin (r) r' - \csc^{2} (x)$ .

$- r' \sin (r) - \csc^{2} (x) = e^{r x} r + e^{r x} x r'$

Étape 5.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.2.1

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $e^{r x} r + e^{r x} x r'$ .

$- r' \sin (r) - \csc^{2} (x) = r e^{r x} + x r' e^{r x}$

Étape 5.3

Déplacez tous les termes contenant $r'$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 5.3.1

Soustrayez $x r' e^{r x}$ des deux côtés de l’équation.

$- r' \sin (r) - \csc^{2} (x) - x r' e^{r x} = r e^{r x}$

Étape 5.3.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.2.1

Réécrivez $\csc (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$- r' \sin (r) - {(\frac{1}{\sin (x)})}^{2} - x r' e^{r x} = r e^{r x}$

Étape 5.3.2.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$- r' \sin (r) - \frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)} - x r' e^{r x} = r e^{r x}$

Étape 5.3.2.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$- r' \sin (r) - \frac{1}{\sin^{2} (x)} - x r' e^{r x} = r e^{r x}$

Étape 5.3.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.3.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$- r' \sin (r) - \frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)} - x r' e^{r x} = r e^{r x}$

Étape 5.3.3.2

Réécrivez $\frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)}$ comme ${(\frac{1}{\sin (x)})}^{2}$ .

$- r' \sin (r) - {(\frac{1}{\sin (x)})}^{2} - x r' e^{r x} = r e^{r x}$

Étape 5.3.3.3

Convertissez de $\frac{1}{\sin (x)}$ à $\csc (x)$ .

$- r' \sin (r) - \csc^{2} (x) - x r' e^{r x} = r e^{r x}$

Étape 5.4

Ajoutez $\csc^{2} (x)$ aux deux côtés de l’équation.

$- r' \sin (r) - x r' e^{r x} = r e^{r x} + \csc^{2} (x)$

Étape 5.5

Factorisez $r'$ à partir de $- r' \sin (r) - x r' e^{r x}$ .

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Étape 5.5.1

Factorisez $r'$ à partir de $- r' \sin (r)$ .

$r' (- 1 \sin (r)) - x r' e^{r x} = r e^{r x} + \csc^{2} (x)$

Étape 5.5.2

Factorisez $r'$ à partir de $- x r' e^{r x}$ .

$r' (- 1 \sin (r)) + r' (- x e^{r x}) = r e^{r x} + \csc^{2} (x)$

Étape 5.5.3

Factorisez $r'$ à partir de $r' (- 1 \sin (r)) + r' (- x e^{r x})$ .

$r' (- 1 \sin (r) - x e^{r x}) = r e^{r x} + \csc^{2} (x)$

Étape 5.6

Réécrivez $- 1 \sin (r)$ comme $- \sin (r)$ .

$r' (- \sin (r) - x e^{r x}) = r e^{r x} + \csc^{2} (x)$

Étape 5.7

Divisez chaque terme dans $r' (- \sin (r) - x e^{r x}) = r e^{r x} + \csc^{2} (x)$ par $- \sin (r) - x e^{r x}$ et simplifiez.

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Étape 5.7.1

Divisez chaque terme dans $r' (- \sin (r) - x e^{r x}) = r e^{r x} + \csc^{2} (x)$ par $- \sin (r) - x e^{r x}$ .

$\frac{r' (- \sin (r) - x e^{r x})}{- \sin (r) - x e^{r x}} = \frac{r e^{r x}}{- \sin (r) - x e^{r x}} + \frac{\csc^{2} (x)}{- \sin (r) - x e^{r x}}$

Étape 5.7.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.7.2.1

Annulez le facteur commun de $- \sin (r) - x e^{r x}$ .

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Étape 5.7.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{r' (- \sin (r) - x e^{r x})}{- \sin (r) - x e^{r x}} = \frac{r e^{r x}}{- \sin (r) - x e^{r x}} + \frac{\csc^{2} (x)}{- \sin (r) - x e^{r x}}$

Étape 5.7.2.1.2

Divisez $r'$ par $1$ .

$r' = \frac{r e^{r x}}{- \sin (r) - x e^{r x}} + \frac{\csc^{2} (x)}{- \sin (r) - x e^{r x}}$

Étape 5.7.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.7.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.7.3.1.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.7.3.1.1.1

Réécrivez $\csc (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$r' = \frac{r e^{r x}}{- \sin (r) - x e^{r x}} + \frac{{(\frac{1}{\sin (x)})}^{2}}{- \sin (r) - x e^{r x}}$

Étape 5.7.3.1.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$r' = \frac{r e^{r x}}{- \sin (r) - x e^{r x}} + \frac{\frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)}}{- \sin (r) - x e^{r x}}$

Étape 5.7.3.1.1.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$r' = \frac{r e^{r x}}{- \sin (r) - x e^{r x}} + \frac{\frac{1}{\sin^{2} (x)}}{- \sin (r) - x e^{r x}}$

Étape 5.7.3.1.2

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$r' = \frac{r e^{r x}}{- \sin (r) - x e^{r x}} + \frac{1}{\sin^{2} (x)} \cdot \frac{1}{- \sin (r) - x e^{r x}}$

Étape 5.7.3.1.3

Multipliez $\frac{1}{\sin^{2} (x)}$ par $\frac{1}{- \sin (r) - x e^{r x}}$ .

$r' = \frac{r e^{r x}}{- \sin (r) - x e^{r x}} + \frac{1}{\sin^{2} (x) (- \sin (r) - x e^{r x})}$

Étape 5.7.3.2

Pour écrire $\frac{r e^{r x}}{- \sin (r) - x e^{r x}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{\sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$ .

$r' = \frac{r e^{r x}}{- \sin (r) - x e^{r x}} \cdot \frac{\sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} + \frac{1}{\sin^{2} (x) (- \sin (r) - x e^{r x})}$

Étape 5.7.3.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(- \sin (r) - x e^{r x}) \sin^{2} (x)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 5.7.3.3.1

Multipliez $\frac{r e^{r x}}{- \sin (r) - x e^{r x}}$ par $\frac{\sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$ .

$r' = \frac{r e^{r x} \sin^{2} (x)}{(- \sin (r) - x e^{r x}) \sin^{2} (x)} + \frac{1}{\sin^{2} (x) (- \sin (r) - x e^{r x})}$

Étape 5.7.3.3.2

Réorganisez les facteurs de $(- \sin (r) - x e^{r x}) \sin^{2} (x)$ .

$r' = \frac{r e^{r x} \sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x) (- \sin (r) - x e^{r x})} + \frac{1}{\sin^{2} (x) (- \sin (r) - x e^{r x})}$

Étape 5.7.3.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$r' = \frac{r e^{r x} \sin^{2} (x) + 1}{\sin^{2} (x) (- \sin (r) - x e^{r x})}$

Étape 5.7.3.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- \sin (r)$ .

$r' = \frac{r e^{r x} \sin^{2} (x) + 1}{\sin^{2} (x) (- (\sin (r)) - x e^{r x})}$

Étape 5.7.3.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- x e^{r x}$ .

$r' = \frac{r e^{r x} \sin^{2} (x) + 1}{\sin^{2} (x) (- (\sin (r)) - (x e^{r x}))}$

Étape 5.7.3.7

Factorisez $- 1$ à partir de $- (\sin (r)) - (x e^{r x})$ .

$r' = \frac{r e^{r x} \sin^{2} (x) + 1}{\sin^{2} (x) (- (\sin (r) + x e^{r x}))}$

Étape 5.7.3.8

Réécrivez les nombres négatifs.

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Étape 5.7.3.8.1

Réécrivez $- (\sin (r) + x e^{r x})$ comme $- 1 (\sin (r) + x e^{r x})$ .

$r' = \frac{r e^{r x} \sin^{2} (x) + 1}{\sin^{2} (x) (- 1 (\sin (r) + x e^{r x}))}$

Étape 5.7.3.8.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$r' = - \frac{r e^{r x} \sin^{2} (x) + 1}{\sin^{2} (x) (\sin (r) + x e^{r x})}$

Étape 6

Remplacez $r'$ par $\frac{d r}{d x}$ .

$\frac{d r}{d x} = - \frac{r e^{r x} \sin^{2} (x) + 1}{\sin^{2} (x) (\sin (r) + x e^{r x})}$