Calcul infinitésimal Exemples

$r = 7 \ln (\sqrt[3]{t})$

Étape 1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{t}$ comme $t^{\frac{1}{3}}$ .

$r = 7 \ln (t^{\frac{1}{3}})$

Étape 2

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d t} (r) = \frac{d}{d t} (7 \ln (t^{\frac{1}{3}}))$

Étape 3

La dérivée de $r$ par rapport à $t$ est $r'$ .

$r'$

Étape 4

Différenciez le côté droit de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Comme $7$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $7 \ln (t^{\frac{1}{3}})$ par rapport à $t$ est $7 \frac{d}{d t} [\ln (t^{\frac{1}{3}})]$ .

$7 \frac{d}{d t} [\ln (t^{\frac{1}{3}})]$

Étape 4.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ est $f' (g (t)) g' (t)$ où $f (t) = \ln (t)$ et $g (t) = t^{\frac{1}{3}}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $t^{\frac{1}{3}}$ .

$7 (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{3}}])$

Étape 4.2.2

La dérivée de $\ln (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u}$ .

$7 (\frac{1}{u} \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{3}}])$

Étape 4.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $t^{\frac{1}{3}}$ .

$7 (\frac{1}{t^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{3}}])$

Étape 4.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.1

Associez $\frac{1}{t^{\frac{1}{3}}}$ et $7$ .

$\frac{7}{t^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{3}}]$

Étape 4.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{3}$ .

$\frac{7}{t^{\frac{1}{3}}} (\frac{1}{3} t^{\frac{1}{3} - 1})$

Étape 4.4

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{7}{t^{\frac{1}{3}}} (\frac{1}{3} t^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Étape 4.5

Associez $- 1$ et $\frac{3}{3}$ .

$\frac{7}{t^{\frac{1}{3}}} (\frac{1}{3} t^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Étape 4.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{7}{t^{\frac{1}{3}}} (\frac{1}{3} t^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}})$

Étape 4.7

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.7.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{7}{t^{\frac{1}{3}}} (\frac{1}{3} t^{\frac{1 - 3}{3}})$

Étape 4.7.2

Soustrayez $3$ de $1$ .

$\frac{7}{t^{\frac{1}{3}}} (\frac{1}{3} t^{\frac{- 2}{3}})$

Étape 4.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{7}{t^{\frac{1}{3}}} (\frac{1}{3} t^{- \frac{2}{3}})$

Étape 4.9

Associez $\frac{1}{3}$ et $t^{- \frac{2}{3}}$ .

$\frac{7}{t^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{t^{- \frac{2}{3}}}{3}$

Étape 4.10

Multipliez $\frac{7}{t^{\frac{1}{3}}}$ par $\frac{t^{- \frac{2}{3}}}{3}$ .

$\frac{7 t^{- \frac{2}{3}}}{t^{\frac{1}{3}} \cdot 3}$

Étape 4.11

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.11.1

Déplacez $3$ à gauche de $t^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{7 t^{- \frac{2}{3}}}{3 \cdot t^{\frac{1}{3}}}$

Étape 4.11.2

Placez $t^{- \frac{2}{3}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{7}{3 t^{\frac{1}{3}} t^{\frac{2}{3}}}$

Étape 4.12

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.12.1

Multipliez $t^{\frac{1}{3}}$ par $t^{\frac{2}{3}}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.12.1.1

Déplacez $t^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{7}{3 (t^{\frac{2}{3}} t^{\frac{1}{3}})}$

Étape 4.12.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{7}{3 t^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}}}$

Étape 4.12.1.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{7}{3 t^{\frac{2 + 1}{3}}}$

Étape 4.12.1.4

Additionnez $2$ et $1$ .

$\frac{7}{3 t^{\frac{3}{3}}}$

Étape 4.12.1.5

Divisez $3$ par $3$ .

$\frac{7}{3 t^{1}}$

Étape 4.12.2

Simplifiez $3 t^{1}$ .

$\frac{7}{3 t}$

Étape 5

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$r' = \frac{7}{3 t}$

Étape 6

Remplacez $r'$ par $\frac{d r}{d t}$ .

$\frac{d r}{d t} = \frac{7}{3 t}$