Calcul infinitésimal Exemples

$r = \cos (x) \cot (x)$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (r) = \frac{d}{d x} (\cos (x) \cot (x))$

Étape 2

La dérivée de $r$ par rapport à $x$ est $r'$ .

$r'$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = \cos (x)$ et $g (x) = \cot (x)$ .

$\cos (x) \frac{d}{d x} [\cot (x)] + \cot (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Étape 3.2

La dérivée de $\cot (x)$ par rapport à $x$ est $- \csc^{2} (x)$ .

$\cos (x) (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Étape 3.3

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$\cos (x) (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) (- \sin (x))$

Étape 3.4

Simplifiez

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Étape 3.4.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$- \csc^{2} (x) \cos (x) - \cot (x) \sin (x)$

Étape 3.4.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.4.2.1

Réécrivez $\csc (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$- {(\frac{1}{\sin (x)})}^{2} \cos (x) - \cot (x) \sin (x)$

Étape 3.4.2.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$- \frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)} \cos (x) - \cot (x) \sin (x)$

Étape 3.4.2.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$- \frac{1}{\sin^{2} (x)} \cos (x) - \cot (x) \sin (x)$

Étape 3.4.2.4

Associez $\cos (x)$ et $\frac{1}{\sin^{2} (x)}$ .

$- \frac{\cos (x)}{\sin^{2} (x)} - \cot (x) \sin (x)$

Étape 3.4.2.5

Réécrivez en termes de sinus et de cosinus, puis annulez les facteurs communs.

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Étape 3.4.2.5.1

Ajoutez des parenthèses.

$- \frac{\cos (x)}{\sin^{2} (x)} - (\cot (x) \sin (x))$

Étape 3.4.2.5.2

Réécrivez $- \cot (x) \sin (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$- \frac{\cos (x)}{\sin^{2} (x)} - (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \sin (x))$

Étape 3.4.2.5.3

Annulez les facteurs communs.

$- \frac{\cos (x)}{\sin^{2} (x)} - \cos (x)$

Étape 3.4.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.4.3.1

Factorisez $\sin (x)$ à partir de $\sin^{2} (x)$ .

$- \frac{\cos (x)}{\sin (x) \sin (x)} - \cos (x)$

Étape 3.4.3.2

Séparez les fractions.

$- (\frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) - \cos (x)$

Étape 3.4.3.3

Convertissez de $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ à $\cot (x)$ .

$- (\frac{1}{\sin (x)} \cot (x)) - \cos (x)$

Étape 3.4.3.4

Convertissez de $\frac{1}{\sin (x)}$ à $\csc (x)$ .

$- \csc (x) \cot (x) - \cos (x)$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$r' = - \csc (x) \cot (x) - \cos (x)$

Étape 5

Remplacez $r'$ par $\frac{d r}{d x}$ .

$\frac{d r}{d x} = - \csc (x) \cot (x) - \cos (x)$