Calcul infinitésimal Exemples

$q = \sin (\frac{t}{\sqrt{t + 5}})$

Étape 1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{t + 5}$ comme ${(t + 5)}^{\frac{1}{2}}$ .

$q = \sin (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}})$

Étape 2

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d t} (q) = \frac{d}{d t} (\sin (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}))$

Étape 3

La dérivée de $q$ par rapport à $t$ est $q'$ .

$q'$

Étape 4

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 4.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ est $f' (g (t)) g' (t)$ où $f (t) = \sin (t)$ et $g (t) = \frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}$ .

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Étape 4.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d t} [\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}]$

Étape 4.1.2

La dérivée de $\sin (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $\cos (u_{1})$ .

$\cos (u_{1}) \frac{d}{d t} [\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}]$

Étape 4.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\cos (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{d}{d t} [\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}]$

Étape 4.2

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ est $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ où $f (t) = t$ et $g (t) = {(t + 5)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\cos (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t] - t \frac{d}{d t} [{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}]}{{({(t + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 4.3

Multipliez les exposants dans ${({(t + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 4.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\cos (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t] - t \frac{d}{d t} [{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}]}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 4.3.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$\cos (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t] - t \frac{d}{d t} [{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}]}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 4.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$\cos (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t] - t \frac{d}{d t} [{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}]}{{(t + 5)}^{1}}$

Étape 4.4

Simplifiez

$\cos (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t] - t \frac{d}{d t} [{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}]}{t + 5}$

Étape 4.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 4.5.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\cos (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - t \frac{d}{d t} [{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}]}{t + 5}$

Étape 4.5.2

Multipliez ${(t + 5)}^{\frac{1}{2}}$ par $1$ .

$\cos (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}} - t \frac{d}{d t} [{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}]}{t + 5}$

Étape 4.6

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ est $f' (g (t)) g' (t)$ où $f (t) = t^{\frac{1}{2}}$ et $g (t) = t + 5$ .

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Étape 4.6.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $t + 5$ .

$\cos (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}} - t (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d t} [t + 5])}{t + 5}$

Étape 4.6.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ est $n {u_{2}}^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$\cos (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}} - t (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [t + 5])}{t + 5}$

Étape 4.6.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $t + 5$ .

$\cos (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}} - t (\frac{1}{2} {(t + 5)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [t + 5])}{t + 5}$

Étape 4.7

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\cos (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}} - t (\frac{1}{2} {(t + 5)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d t} [t + 5])}{t + 5}$

Étape 4.8

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$\cos (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}} - t (\frac{1}{2} {(t + 5)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d t} [t + 5])}{t + 5}$

Étape 4.9

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\cos (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}} - t (\frac{1}{2} {(t + 5)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d t} [t + 5])}{t + 5}$

Étape 4.10

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.10.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\cos (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}} - t (\frac{1}{2} {(t + 5)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d t} [t + 5])}{t + 5}$

Étape 4.10.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$\cos (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}} - t (\frac{1}{2} {(t + 5)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d t} [t + 5])}{t + 5}$

Étape 4.11

Associez les fractions.

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Étape 4.11.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\cos (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}} - t (\frac{1}{2} {(t + 5)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t + 5])}{t + 5}$

Étape 4.11.2

Associez $\frac{1}{2}$ et ${(t + 5)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\cos (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}} - t (\frac{{(t + 5)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d t} [t + 5])}{t + 5}$

Étape 4.11.3

Placez ${(t + 5)}^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\cos (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}} - t (\frac{1}{2 {(t + 5)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [t + 5])}{t + 5}$

Étape 4.11.4

Associez $\frac{1}{2 {(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}$ et $t$ .

$\cos (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}} - \frac{t}{2 {(t + 5)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [t + 5]}{t + 5}$

Étape 4.12

Selon la règle de la somme, la dérivée de $t + 5$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [5]$ .

$\cos (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}} - \frac{t}{2 {(t + 5)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [5])}{t + 5}$

Étape 4.13

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\cos (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}} - \frac{t}{2 {(t + 5)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{d}{d t} [5])}{t + 5}$

Étape 4.14

Comme $5$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $5$ par rapport à $t$ est $0$ .

$\cos (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}} - \frac{t}{2 {(t + 5)}^{\frac{1}{2}}} (1 + 0)}{t + 5}$

Étape 4.15

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.15.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$\cos (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}} - \frac{t}{2 {(t + 5)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1}{t + 5}$

Étape 4.15.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\cos (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}} - \frac{t}{2 {(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}}{t + 5}$

Étape 4.16

Pour écrire ${(t + 5)}^{\frac{1}{2}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2 {(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\cos (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 {(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(t + 5)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{t}{2 {(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}}{t + 5}$

Étape 4.17

Associez ${(t + 5)}^{\frac{1}{2}}$ et $\frac{2 {(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\cos (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{\frac{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}} (2 {(t + 5)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(t + 5)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{t}{2 {(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}}{t + 5}$

Étape 4.18

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\cos (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{\frac{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}} (2 {(t + 5)}^{\frac{1}{2}}) - t}{2 {(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}}{t + 5}$

Étape 4.19

Multipliez ${(t + 5)}^{\frac{1}{2}}$ par ${(t + 5)}^{\frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.19.1

Déplacez ${(t + 5)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\cos (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{\frac{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}} {(t + 5)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2 - t}{2 {(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}}{t + 5}$

Étape 4.19.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\cos (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{\frac{{(t + 5)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \cdot 2 - t}{2 {(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}}{t + 5}$

Étape 4.19.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\cos (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{\frac{{(t + 5)}^{\frac{1 + 1}{2}} \cdot 2 - t}{2 {(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}}{t + 5}$

Étape 4.19.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\cos (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{\frac{{(t + 5)}^{\frac{2}{2}} \cdot 2 - t}{2 {(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}}{t + 5}$

Étape 4.19.5

Divisez $2$ par $2$ .

$\cos (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{\frac{{(t + 5)}^{1} \cdot 2 - t}{2 {(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}}{t + 5}$

Étape 4.20

Simplifiez ${(t + 5)}^{1} \cdot 2$ .

$\cos (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{\frac{(t + 5) \cdot 2 - t}{2 {(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}}{t + 5}$

Étape 4.21

Déplacez $2$ à gauche de $t + 5$ .

$\cos (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{\frac{2 \cdot (t + 5) - t}{2 {(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}}{t + 5}$

Étape 4.22

Réécrivez $\frac{\frac{2 (t + 5) - t}{2 {(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}}{t + 5}$ comme un produit.

$\cos (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) (\frac{2 (t + 5) - t}{2 {(t + 5)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{t + 5})$

Étape 4.23

Multipliez $\frac{2 (t + 5) - t}{2 {(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}$ par $\frac{1}{t + 5}$ .

$\cos (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{2 (t + 5) - t}{2 {(t + 5)}^{\frac{1}{2}} (t + 5)}$

Étape 4.24

Élevez $t + 5$ à la puissance $1$ .

$\cos (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{2 (t + 5) - t}{2 ({(t + 5)}^{1} {(t + 5)}^{\frac{1}{2}})}$

Étape 4.25

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\cos (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{2 (t + 5) - t}{2 {(t + 5)}^{1 + \frac{1}{2}}}$

Étape 4.26

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.26.1

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\cos (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{2 (t + 5) - t}{2 {(t + 5)}^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}$

Étape 4.26.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\cos (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{2 (t + 5) - t}{2 {(t + 5)}^{\frac{2 + 1}{2}}}$

Étape 4.26.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$\cos (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{2 (t + 5) - t}{2 {(t + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 4.27

Associez $\cos (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}})$ et $\frac{2 (t + 5) - t}{2 {(t + 5)}^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{\cos (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) (2 (t + 5) - t)}{2 {(t + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 4.28

Simplifiez

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Étape 4.28.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\cos (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) (2 t + 2 \cdot 5 - t)}{2 {(t + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 4.28.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.28.2.1

Multipliez $2$ par $5$ .

$\frac{\cos (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) (2 t + 10 - t)}{2 {(t + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 4.28.2.2

Soustrayez $t$ de $2 t$ .

$\frac{\cos (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) (t + 10)}{2 {(t + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 4.28.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\cos (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) t + \cos (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \cdot 10}{2 {(t + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 4.28.2.4

Déplacez $10$ à gauche de $\cos (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}})$ .

$\frac{\cos (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) t + 10 \cdot \cos (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}})}{2 {(t + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 4.28.2.5

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\cos (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) t + 10 \cos (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}})$ .

$\frac{t \cos (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) + 10 \cos (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}})}{2 {(t + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 4.28.3

Factorisez $\cos (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}})$ à partir de $t \cos (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) + 10 \cos (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}})$ .

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Étape 4.28.3.1

Factorisez $\cos (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}})$ à partir de $t \cos (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}})$ .

$\frac{\cos (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) t + 10 \cos (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}})}{2 {(t + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 4.28.3.2

Factorisez $\cos (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}})$ à partir de $10 \cos (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}})$ .

$\frac{\cos (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) t + \cos (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \cdot 10}{2 {(t + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 4.28.3.3

Factorisez $\cos (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}})$ à partir de $\cos (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) t + \cos (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \cdot 10$ .

$\frac{\cos (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) (t + 10)}{2 {(t + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 5

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$q' = \frac{\cos (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) (t + 10)}{2 {(t + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 6

Remplacez $q'$ par $\frac{d q}{d t}$ .

$\frac{d q}{d t} = \frac{\cos (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) (t + 10)}{2 {(t + 5)}^{\frac{3}{2}}}$