Calcul infinitésimal Exemples

$r = M^{2} (\frac{c}{2} - \frac{M}{3})$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d M} (r) = \frac{d}{d M} (M^{2} (\frac{c}{2} - \frac{M}{3}))$

Étape 2

La dérivée de $r$ par rapport à $M$ est $r'$ .

$r'$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d M} [f (M) g (M)]$ est $f (M) \frac{d}{d M} [g (M)] + g (M) \frac{d}{d M} [f (M)]$ où $f (M) = M^{2}$ et $g (M) = \frac{c}{2} - \frac{M}{3}$ .

$M^{2} \frac{d}{d M} [\frac{c}{2} - \frac{M}{3}] + (\frac{c}{2} - \frac{M}{3}) \frac{d}{d M} [M^{2}]$

Étape 3.2

Différenciez.

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Étape 3.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{c}{2} - \frac{M}{3}$ par rapport à $M$ est $\frac{d}{d M} [\frac{c}{2}] + \frac{d}{d M} [- \frac{M}{3}]$ .

$M^{2} (\frac{d}{d M} [\frac{c}{2}] + \frac{d}{d M} [- \frac{M}{3}]) + (\frac{c}{2} - \frac{M}{3}) \frac{d}{d M} [M^{2}]$

Étape 3.2.2

Comme $\frac{c}{2}$ est constant par rapport à $M$ , la dérivée de $\frac{c}{2}$ par rapport à $M$ est $0$ .

$M^{2} (0 + \frac{d}{d M} [- \frac{M}{3}]) + (\frac{c}{2} - \frac{M}{3}) \frac{d}{d M} [M^{2}]$

Étape 3.2.3

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d M} [- \frac{M}{3}]$ .

$M^{2} \frac{d}{d M} [- \frac{M}{3}] + (\frac{c}{2} - \frac{M}{3}) \frac{d}{d M} [M^{2}]$

Étape 3.2.4

Comme $- \frac{1}{3}$ est constant par rapport à $M$ , la dérivée de $- \frac{M}{3}$ par rapport à $M$ est $- \frac{1}{3} \frac{d}{d M} [M]$ .

$M^{2} (- \frac{1}{3} \frac{d}{d M} [M]) + (\frac{c}{2} - \frac{M}{3}) \frac{d}{d M} [M^{2}]$

Étape 3.2.5

Associez $M^{2}$ et $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{M^{2}}{3} \frac{d}{d M} [M] + (\frac{c}{2} - \frac{M}{3}) \frac{d}{d M} [M^{2}]$

Étape 3.2.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d M} [M^{n}]$ est $n M^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- \frac{M^{2}}{3} \cdot 1 + (\frac{c}{2} - \frac{M}{3}) \frac{d}{d M} [M^{2}]$

Étape 3.2.7

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- \frac{M^{2}}{3} + (\frac{c}{2} - \frac{M}{3}) \frac{d}{d M} [M^{2}]$

Étape 3.2.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d M} [M^{n}]$ est $n M^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- \frac{M^{2}}{3} + (\frac{c}{2} - \frac{M}{3}) (2 M)$

Étape 3.2.9

Déplacez $2$ à gauche de $\frac{c}{2} - \frac{M}{3}$ .

$- \frac{M^{2}}{3} + 2 \cdot (\frac{c}{2} - \frac{M}{3}) M$

Étape 3.3

Associez $- \frac{M^{2}}{3}$ et $2 (\frac{c}{2} - \frac{M}{3}) M$ en utilisant un dénominateur commun.

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Étape 3.3.1

Remettez dans l’ordre $- \frac{M^{2}}{3}$ et $2 M (- \frac{M}{3} + \frac{c}{2})$ .

$2 M (- \frac{M}{3} + \frac{c}{2}) - \frac{M^{2}}{3}$

Étape 3.3.2

Pour écrire $2 M (- \frac{M}{3} + \frac{c}{2})$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$2 M (- \frac{M}{3} + \frac{c}{2}) \cdot \frac{3}{3} - \frac{M^{2}}{3}$

Étape 3.3.3

Associez $2 M (- \frac{M}{3} + \frac{c}{2})$ et $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2 M (- \frac{M}{3} + \frac{c}{2}) \cdot 3}{3} - \frac{M^{2}}{3}$

Étape 3.3.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2 M (- \frac{M}{3} + \frac{c}{2}) \cdot 3 - M^{2}}{3}$

Étape 3.4

Multipliez $3$ par $2$ .

$\frac{6 M (- \frac{M}{3} + \frac{c}{2}) - M^{2}}{3}$

Étape 3.5

Simplifiez

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Étape 3.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{6 M (- \frac{M}{3}) + 6 M \frac{c}{2} - M^{2}}{3}$

Étape 3.5.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.5.2.1.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.5.2.1.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{M}{3}$ dans le numérateur.

$\frac{6 M \frac{- M}{3} + 6 M \frac{c}{2} - M^{2}}{3}$

Étape 3.5.2.1.1.2

Factorisez $3$ à partir de $6 M$ .

$\frac{3 (2 M) \frac{- M}{3} + 6 M \frac{c}{2} - M^{2}}{3}$

Étape 3.5.2.1.1.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 (2 M) \frac{- M}{3} + 6 M \frac{c}{2} - M^{2}}{3}$

Étape 3.5.2.1.1.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 M (- M) + 6 M \frac{c}{2} - M^{2}}{3}$

Étape 3.5.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{- 2 M \cdot M + 6 M \frac{c}{2} - M^{2}}{3}$

Étape 3.5.2.1.3

Élevez $M$ à la puissance $1$ .

$\frac{- 2 (M^{1} M) + 6 M \frac{c}{2} - M^{2}}{3}$

Étape 3.5.2.1.4

Élevez $M$ à la puissance $1$ .

$\frac{- 2 (M^{1} M^{1}) + 6 M \frac{c}{2} - M^{2}}{3}$

Étape 3.5.2.1.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{- 2 M^{1 + 1} + 6 M \frac{c}{2} - M^{2}}{3}$

Étape 3.5.2.1.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{- 2 M^{2} + 6 M \frac{c}{2} - M^{2}}{3}$

Étape 3.5.2.1.7

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.5.2.1.7.1

Factorisez $2$ à partir de $6 M$ .

$\frac{- 2 M^{2} + 2 (3 M) \frac{c}{2} - M^{2}}{3}$

Étape 3.5.2.1.7.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 2 M^{2} + 2 (3 M) \frac{c}{2} - M^{2}}{3}$

Étape 3.5.2.1.7.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 2 M^{2} + 3 M c - M^{2}}{3}$

Étape 3.5.2.2

Soustrayez $M^{2}$ de $- 2 M^{2}$ .

$\frac{- 3 M^{2} + 3 M c}{3}$

Étape 3.5.3

Factorisez $3 M$ à partir de $- 3 M^{2} + 3 M c$ .

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Étape 3.5.3.1

Factorisez $3 M$ à partir de $- 3 M^{2}$ .

$\frac{3 M (- M) + 3 M c}{3}$

Étape 3.5.3.2

Factorisez $3 M$ à partir de $3 M c$ .

$\frac{3 M (- M) + 3 M (c)}{3}$

Étape 3.5.3.3

Factorisez $3 M$ à partir de $3 M (- M) + 3 M (c)$ .

$\frac{3 M (- M + c)}{3}$

Étape 3.5.4

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 M (- M + c)}{3}$

Étape 3.5.4.2

Divisez $M (- M + c)$ par $1$ .

$M (- M + c)$

Étape 3.5.5

Appliquez la propriété distributive.

$M (- M) + M c$

Étape 3.5.6

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$- M \cdot M + M c$

Étape 3.5.7

Multipliez $M$ par $M$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.5.7.1

Déplacez $M$ .

$- (M \cdot M) + M c$

Étape 3.5.7.2

Multipliez $M$ par $M$ .

$- M^{2} + M c$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$r' = - M^{2} + M c$

Étape 5

Remplacez $r'$ par $\frac{d r}{d M}$ .

$\frac{d r}{d M} = - M^{2} + M c$