Calcul infinitésimal Exemples

$y = \frac{x^{6}}{6} \cdot \ln (x) - \frac{x^{6}}{36}$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{x^{6}}{6} \cdot \ln (x) - \frac{x^{6}}{36})$

Étape 2

La dérivée de $y$ par rapport à $x$ est $y'$ .

$y'$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{x^{6}}{6} \cdot \ln (x) - \frac{x^{6}}{36}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\frac{x^{6}}{6} \cdot \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{6}}{36}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{6}}{6} \cdot \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{6}}{36}]$

Étape 3.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{x^{6}}{6} \cdot \ln (x)]$ .

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Étape 3.2.1

Associez $\frac{x^{6}}{6}$ et $\ln (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{6} \ln (x)}{6}] + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{6}}{36}]$

Étape 3.2.2

Comme $\frac{1}{6}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{x^{6} \ln (x)}{6}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{6} \frac{d}{d x} [x^{6} \ln (x)]$ .

$\frac{1}{6} \frac{d}{d x} [x^{6} \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{6}}{36}]$

Étape 3.2.3

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{6}$ et $g (x) = \ln (x)$ .

$\frac{1}{6} (x^{6} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{6}]) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{6}}{36}]$

Étape 3.2.4

La dérivée de $\ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{6} (x^{6} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{6}]) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{6}}{36}]$

Étape 3.2.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 6$ .

$\frac{1}{6} (x^{6} \frac{1}{x} + \ln (x) (6 x^{5})) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{6}}{36}]$

Étape 3.2.6

Associez $x^{6}$ et $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{6} (\frac{x^{6}}{x} + \ln (x) (6 x^{5})) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{6}}{36}]$

Étape 3.2.7

Annulez le facteur commun à $x^{6}$ et $x$ .

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Étape 3.2.7.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{6}$ .

$\frac{1}{6} (\frac{x \cdot x^{5}}{x} + \ln (x) (6 x^{5})) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{6}}{36}]$

Étape 3.2.7.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.2.7.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{6} (\frac{x \cdot x^{5}}{x^{1}} + \ln (x) (6 x^{5})) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{6}}{36}]$

Étape 3.2.7.2.2

Factorisez $x$ à partir de $x^{1}$ .

$\frac{1}{6} (\frac{x \cdot x^{5}}{x \cdot 1} + \ln (x) (6 x^{5})) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{6}}{36}]$

Étape 3.2.7.2.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{6} (\frac{x \cdot x^{5}}{x \cdot 1} + \ln (x) (6 x^{5})) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{6}}{36}]$

Étape 3.2.7.2.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{6} (\frac{x^{5}}{1} + \ln (x) (6 x^{5})) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{6}}{36}]$

Étape 3.2.7.2.5

Divisez $x^{5}$ par $1$ .

$\frac{1}{6} (x^{5} + \ln (x) (6 x^{5})) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{6}}{36}]$

Étape 3.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \frac{x^{6}}{36}]$ .

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Étape 3.3.1

Comme $- \frac{1}{36}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{x^{6}}{36}$ par rapport à $x$ est $- \frac{1}{36} \frac{d}{d x} [x^{6}]$ .

$\frac{1}{6} (x^{5} + \ln (x) (6 x^{5})) - \frac{1}{36} \frac{d}{d x} [x^{6}]$

Étape 3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 6$ .

$\frac{1}{6} (x^{5} + \ln (x) (6 x^{5})) - \frac{1}{36} (6 x^{5})$

Étape 3.3.3

Multipliez $6$ par $- 1$ .

$\frac{1}{6} (x^{5} + \ln (x) (6 x^{5})) - 6 (\frac{1}{36}) x^{5}$

Étape 3.3.4

Associez $- 6$ et $\frac{1}{36}$ .

$\frac{1}{6} (x^{5} + \ln (x) (6 x^{5})) + \frac{- 6}{36} x^{5}$

Étape 3.3.5

Associez $\frac{- 6}{36}$ et $x^{5}$ .

$\frac{1}{6} (x^{5} + \ln (x) (6 x^{5})) + \frac{- 6 x^{5}}{36}$

Étape 3.3.6

Annulez le facteur commun à $- 6$ et $36$ .

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Étape 3.3.6.1

Factorisez $6$ à partir de $- 6 x^{5}$ .

$\frac{1}{6} (x^{5} + \ln (x) (6 x^{5})) + \frac{6 (- x^{5})}{36}$

Étape 3.3.6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.3.6.2.1

Factorisez $6$ à partir de $36$ .

$\frac{1}{6} (x^{5} + \ln (x) (6 x^{5})) + \frac{6 (- x^{5})}{6 (6)}$

Étape 3.3.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{6} (x^{5} + \ln (x) (6 x^{5})) + \frac{6 (- x^{5})}{6 \cdot 6}$

Étape 3.3.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{6} (x^{5} + \ln (x) (6 x^{5})) + \frac{- x^{5}}{6}$

Étape 3.3.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{6} (x^{5} + \ln (x) (6 x^{5})) - \frac{x^{5}}{6}$

Étape 3.4

Simplifiez

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Étape 3.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{6} x^{5} + \frac{1}{6} (\ln (x) (6 x^{5})) - \frac{x^{5}}{6}$

Étape 3.4.2

Associez des termes.

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Étape 3.4.2.1

Associez $\ln (x)$ et $\frac{1}{6}$ .

$\frac{1}{6} x^{5} + \frac{\ln (x)}{6} (6 x^{5}) - \frac{x^{5}}{6}$

Étape 3.4.2.2

Associez $6$ et $\frac{\ln (x)}{6}$ .

$\frac{1}{6} x^{5} + \frac{6 \ln (x)}{6} x^{5} - \frac{x^{5}}{6}$

Étape 3.4.2.3

Associez $\frac{6 \ln (x)}{6}$ et $x^{5}$ .

$\frac{1}{6} x^{5} + \frac{6 \ln (x) x^{5}}{6} - \frac{x^{5}}{6}$

Étape 3.4.2.4

Annulez le facteur commun de $6$ .

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Étape 3.4.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{6} x^{5} + \frac{6 \ln (x) x^{5}}{6} - \frac{x^{5}}{6}$

Étape 3.4.2.4.2

Divisez $\ln (x) x^{5}$ par $1$ .

$\frac{1}{6} x^{5} + \ln (x) x^{5} - \frac{x^{5}}{6}$

Étape 3.4.2.5

Pour écrire $\frac{1}{6} x^{5}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{6}{6}$ .

$\ln (x) x^{5} + \frac{1}{6} x^{5} \cdot \frac{6}{6} - \frac{x^{5}}{6}$

Étape 3.4.2.6

Associez $\frac{1}{6} x^{5}$ et $\frac{6}{6}$ .

$\ln (x) x^{5} + \frac{\frac{1}{6} x^{5} \cdot 6}{6} - \frac{x^{5}}{6}$

Étape 3.4.2.7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\ln (x) x^{5} + \frac{\frac{1}{6} x^{5} \cdot 6 - x^{5}}{6}$

Étape 3.4.2.8

Associez $\frac{1}{6}$ et $x^{5}$ .

$\ln (x) x^{5} + \frac{\frac{x^{5}}{6} \cdot 6 - x^{5}}{6}$

Étape 3.4.2.9

Associez $\frac{x^{5}}{6}$ et $6$ .

$\ln (x) x^{5} + \frac{\frac{x^{5} \cdot 6}{6} - x^{5}}{6}$

Étape 3.4.2.10

Déplacez $6$ à gauche de $x^{5}$ .

$\ln (x) x^{5} + \frac{\frac{6 \cdot x^{5}}{6} - x^{5}}{6}$

Étape 3.4.2.11

Annulez le facteur commun de $6$ .

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Étape 3.4.2.11.1

Annulez le facteur commun.

$\ln (x) x^{5} + \frac{\frac{6 x^{5}}{6} - x^{5}}{6}$

Étape 3.4.2.11.2

Divisez $x^{5}$ par $1$ .

$\ln (x) x^{5} + \frac{x^{5} - x^{5}}{6}$

Étape 3.4.2.12

Soustrayez $x^{5}$ de $x^{5}$ .

$\ln (x) x^{5} + \frac{0}{6}$

Étape 3.4.2.13

Annulez le facteur commun à $0$ et $6$ .

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Étape 3.4.2.13.1

Factorisez $6$ à partir de $0$ .

$\ln (x) x^{5} + \frac{6 (0)}{6}$

Étape 3.4.2.13.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.4.2.13.2.1

Factorisez $6$ à partir de $6$ .

$\ln (x) x^{5} + \frac{6 \cdot 0}{6 \cdot 1}$

Étape 3.4.2.13.2.2

Annulez le facteur commun.

$\ln (x) x^{5} + \frac{6 \cdot 0}{6 \cdot 1}$

Étape 3.4.2.13.2.3

Réécrivez l’expression.

$\ln (x) x^{5} + \frac{0}{1}$

Étape 3.4.2.13.2.4

Divisez $0$ par $1$ .

$\ln (x) x^{5} + 0$

Étape 3.4.2.14

Additionnez $\ln (x) x^{5}$ et $0$ .

$\ln (x) x^{5}$

Étape 3.4.3

Réorganisez les facteurs de $\ln (x) x^{5}$ .

$x^{5} \ln (x)$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$y' = x^{5} \ln (x)$

Étape 5

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = x^{5} \ln (x)$