Calcul infinitésimal Exemples

$y = (\frac{10 x^{5} - 16 x^{2}}{x^{3}})$

Étape 1

Supprimez les parenthèses.

$y = \frac{10 x^{5} - 16 x^{2}}{x^{3}}$

Étape 2

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{10 x^{5} - 16 x^{2}}{x^{3}})$

Étape 3

La dérivée de $y$ par rapport à $x$ est $y'$ .

$y'$

Étape 4

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 4.1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = 10 x^{5} - 16 x^{2}$ et $g (x) = x^{3}$ .

$\frac{x^{3} \frac{d}{d x} [10 x^{5} - 16 x^{2}] - (10 x^{5} - 16 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{{(x^{3})}^{2}}$

Étape 4.2

Différenciez.

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Étape 4.2.1

Multipliez les exposants dans ${(x^{3})}^{2}$ .

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Étape 4.2.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{3} \frac{d}{d x} [10 x^{5} - 16 x^{2}] - (10 x^{5} - 16 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{3 \cdot 2}}$

Étape 4.2.1.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$\frac{x^{3} \frac{d}{d x} [10 x^{5} - 16 x^{2}] - (10 x^{5} - 16 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Étape 4.2.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $10 x^{5} - 16 x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [10 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 16 x^{2}]$ .

$\frac{x^{3} (\frac{d}{d x} [10 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 16 x^{2}]) - (10 x^{5} - 16 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Étape 4.2.3

Comme $10$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $10 x^{5}$ par rapport à $x$ est $10 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$\frac{x^{3} (10 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 16 x^{2}]) - (10 x^{5} - 16 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Étape 4.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 5$ .

$\frac{x^{3} (10 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- 16 x^{2}]) - (10 x^{5} - 16 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Étape 4.2.5

Multipliez $5$ par $10$ .

$\frac{x^{3} (50 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 16 x^{2}]) - (10 x^{5} - 16 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Étape 4.2.6

Comme $- 16$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 16 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 16 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{x^{3} (50 x^{4} - 16 \frac{d}{d x} [x^{2}]) - (10 x^{5} - 16 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Étape 4.2.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{x^{3} (50 x^{4} - 16 (2 x)) - (10 x^{5} - 16 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Étape 4.2.8

Multipliez $2$ par $- 16$ .

$\frac{x^{3} (50 x^{4} - 32 x) - (10 x^{5} - 16 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Étape 4.2.9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$\frac{x^{3} (50 x^{4} - 32 x) - (10 x^{5} - 16 x^{2}) (3 x^{2})}{x^{6}}$

Étape 4.2.10

Simplifiez en factorisant.

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Étape 4.2.10.1

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\frac{x^{3} (50 x^{4} - 32 x) - 3 (10 x^{5} - 16 x^{2}) x^{2}}{x^{6}}$

Étape 4.2.10.2

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{3} (50 x^{4} - 32 x) - 3 (10 x^{5} - 16 x^{2}) x^{2}$ .

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Étape 4.2.10.2.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{3} (50 x^{4} - 32 x)$ .

$\frac{x^{2} (x (50 x^{4} - 32 x)) - 3 (10 x^{5} - 16 x^{2}) x^{2}}{x^{6}}$

Étape 4.2.10.2.2

Factorisez $x^{2}$ à partir de $- 3 (10 x^{5} - 16 x^{2}) x^{2}$ .

$\frac{x^{2} (x (50 x^{4} - 32 x)) + x^{2} (- 3 (10 x^{3} - 16) x^{2})}{x^{6}}$

Étape 4.2.10.2.3

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{2} (x (50 x^{4} - 32 x)) + x^{2} (- 3 (10 x^{3} - 16) x^{2})$ .

$\frac{x^{2} (x (50 x^{4} - 32 x) - 3 (10 x^{3} - 16) x^{2})}{x^{6}}$

Étape 4.3

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.3.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{6}$ .

$\frac{x^{2} (x (50 x^{4} - 32 x) - 3 (10 x^{3} - 16) x^{2})}{x^{2} x^{4}}$

Étape 4.3.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{x^{2} (x (50 x^{4} - 32 x) - 3 (10 x^{3} - 16) x^{2})}{x^{2} x^{4}}$

Étape 4.3.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{x (50 x^{4} - 32 x) - 3 (10 x^{3} - 16) x^{2}}{x^{4}}$

Étape 4.4

Factorisez $x$ à partir de $x (50 x^{4} - 32 x) - 3 (10 x^{3} - 16) x^{2}$ .

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Étape 4.4.1

Factorisez $x$ à partir de $- 3 (10 x^{3} - 16) x^{2}$ .

$\frac{x (50 x^{4} - 32 x) + x (- 3 (10 x^{3} - 16) x)}{x^{4}}$

Étape 4.4.2

Factorisez $x$ à partir de $x (50 x^{4} - 32 x) + x (- 3 (10 x^{3} - 16) x)$ .

$\frac{x (50 x^{4} - 32 x - 3 (10 x^{3} - 16) x)}{x^{4}}$

Étape 4.5

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.5.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{4}$ .

$\frac{x (50 x^{4} - 32 x - 3 (10 x^{3} - 16) x)}{x \cdot x^{3}}$

Étape 4.5.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{x (50 x^{4} - 32 x - 3 (10 x^{3} - 16) x)}{x \cdot x^{3}}$

Étape 4.5.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{50 x^{4} - 32 x - 3 (10 x^{3} - 16) x}{x^{3}}$

Étape 4.6

Factorisez $x$ à partir de $50 x^{4} - 32 x - 3 (10 x^{3} - 16) x$ .

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Étape 4.6.1

Factorisez $x$ à partir de $50 x^{4}$ .

$\frac{x (50 x^{3}) - 32 x - 3 (10 x^{3} - 16) x}{x^{3}}$

Étape 4.6.2

Factorisez $x$ à partir de $- 32 x$ .

$\frac{x (50 x^{3}) + x \cdot - 32 - 3 (10 x^{3} - 16) x}{x^{3}}$

Étape 4.6.3

Factorisez $x$ à partir de $- 3 (10 x^{3} - 16) x$ .

$\frac{x (50 x^{3}) + x \cdot - 32 + x (- 3 (10 x^{3} - 16))}{x^{3}}$

Étape 4.6.4

Factorisez $x$ à partir de $x (50 x^{3}) + x \cdot - 32$ .

$\frac{x (50 x^{3} - 32) + x (- 3 (10 x^{3} - 16))}{x^{3}}$

Étape 4.6.5

Factorisez $x$ à partir de $x (50 x^{3} - 32) + x (- 3 (10 x^{3} - 16))$ .

$\frac{x (50 x^{3} - 32 - 3 (10 x^{3} - 16))}{x^{3}}$

Étape 4.7

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.7.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{3}$ .

$\frac{x (50 x^{3} - 32 - 3 (10 x^{3} - 16))}{x \cdot x^{2}}$

Étape 4.7.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{x (50 x^{3} - 32 - 3 (10 x^{3} - 16))}{x \cdot x^{2}}$

Étape 4.7.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{50 x^{3} - 32 - 3 (10 x^{3} - 16)}{x^{2}}$

Étape 4.8

Simplifiez

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Étape 4.8.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{50 x^{3} - 32 - 3 (10 x^{3}) - 3 \cdot - 16}{x^{2}}$

Étape 4.8.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.8.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.8.2.1.1

Multipliez $10$ par $- 3$ .

$\frac{50 x^{3} - 32 - 30 x^{3} - 3 \cdot - 16}{x^{2}}$

Étape 4.8.2.1.2

Multipliez $- 3$ par $- 16$ .

$\frac{50 x^{3} - 32 - 30 x^{3} + 48}{x^{2}}$

Étape 4.8.2.2

Soustrayez $30 x^{3}$ de $50 x^{3}$ .

$\frac{20 x^{3} - 32 + 48}{x^{2}}$

Étape 4.8.2.3

Additionnez $- 32$ et $48$ .

$\frac{20 x^{3} + 16}{x^{2}}$

Étape 4.8.3

Factorisez $4$ à partir de $20 x^{3} + 16$ .

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Étape 4.8.3.1

Factorisez $4$ à partir de $20 x^{3}$ .

$\frac{4 (5 x^{3}) + 16}{x^{2}}$

Étape 4.8.3.2

Factorisez $4$ à partir de $16$ .

$\frac{4 (5 x^{3}) + 4 (4)}{x^{2}}$

Étape 4.8.3.3

Factorisez $4$ à partir de $4 (5 x^{3}) + 4 (4)$ .

$\frac{4 (5 x^{3} + 4)}{x^{2}}$

Étape 5

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$y' = \frac{4 (5 x^{3} + 4)}{x^{2}}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 (5 x^{3} + 4)}{x^{2}}$