Calcul infinitésimal Exemples

$x = \sin (x y)$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (x) = \frac{d}{d x} (\sin (x y))$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = x y$ .

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Étape 3.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x y$ .

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [x y]$

Étape 3.1.2

La dérivée de $\sin (u)$ par rapport à $u$ est $\cos (u)$ .

$\cos (u) \frac{d}{d x} [x y]$

Étape 3.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x y$ .

$\cos (x y) \frac{d}{d x} [x y]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = y$ .

$\cos (x y) (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$\cos (x y) (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\cos (x y) (x y' + y \cdot 1)$

Étape 3.5

Multipliez $y$ par $1$ .

$\cos (x y) (x y' + y)$

Étape 3.6

Simplifiez

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Étape 3.6.1

Appliquez la propriété distributive.

$\cos (x y) (x y') + \cos (x y) y$

Étape 3.6.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$x \cos (x y) y' + y \cos (x y)$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$1 = x \cos (x y) y' + y \cos (x y)$

Étape 5

Résolvez $y'$ .

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Étape 5.1

Réécrivez l’équation comme $x \cos (x y) y' + y \cos (x y) = 1$ .

$x \cos (x y) y' + y \cos (x y) = 1$

Étape 5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.1

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $x \cos (x y) y' + y \cos (x y)$ .

$x y' \cos (x y) + y \cos (x y) = 1$

Étape 5.3

Soustrayez $y \cos (x y)$ des deux côtés de l’équation.

$x y' \cos (x y) = 1 - y \cos (x y)$

Étape 5.4

Divisez chaque terme dans $x y' \cos (x y) = 1 - y \cos (x y)$ par $x \cos (x y)$ et simplifiez.

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Étape 5.4.1

Divisez chaque terme dans $x y' \cos (x y) = 1 - y \cos (x y)$ par $x \cos (x y)$ .

$\frac{x y' \cos (x y)}{x \cos (x y)} = \frac{1}{x \cos (x y)} + \frac{- y \cos (x y)}{x \cos (x y)}$

Étape 5.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.4.2.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 5.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x y' \cos (x y)}{x \cos (x y)} = \frac{1}{x \cos (x y)} + \frac{- y \cos (x y)}{x \cos (x y)}$

Étape 5.4.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y' \cos (x y)}{\cos (x y)} = \frac{1}{x \cos (x y)} + \frac{- y \cos (x y)}{x \cos (x y)}$

Étape 5.4.2.2

Annulez le facteur commun de $\cos (x y)$ .

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Étape 5.4.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y' \cos (x y)}{\cos (x y)} = \frac{1}{x \cos (x y)} + \frac{- y \cos (x y)}{x \cos (x y)}$

Étape 5.4.2.2.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{1}{x \cos (x y)} + \frac{- y \cos (x y)}{x \cos (x y)}$

Étape 5.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.4.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.4.3.1.1

Séparez les fractions.

$y' = \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{\cos (x y)} + \frac{- y \cos (x y)}{x \cos (x y)}$

Étape 5.4.3.1.2

Convertissez de $\frac{1}{\cos (x y)}$ à $\sec (x y)$ .

$y' = \frac{1}{x} \sec (x y) + \frac{- y \cos (x y)}{x \cos (x y)}$

Étape 5.4.3.1.3

Associez $\frac{1}{x}$ et $\sec (x y)$ .

$y' = \frac{\sec (x y)}{x} + \frac{- y \cos (x y)}{x \cos (x y)}$

Étape 5.4.3.1.4

Annulez le facteur commun de $\cos (x y)$ .

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Étape 5.4.3.1.4.1

Annulez le facteur commun.

$y' = \frac{\sec (x y)}{x} + \frac{- y \cos (x y)}{x \cos (x y)}$

Étape 5.4.3.1.4.2

Réécrivez l’expression.

$y' = \frac{\sec (x y)}{x} + \frac{- y}{x}$

Étape 5.4.3.1.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = \frac{\sec (x y)}{x} - \frac{y}{x}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\sec (x y)}{x} - \frac{y}{x}$