Calcul infinitésimal Exemples

$y x + 7 x^{2} y = e^{\ln (3 - 2 x)}$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (y x + 7 x^{2} y) = \frac{d}{d x} (e^{\ln (3 - 2 x)})$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $y x + 7 x^{2} y$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [y x] + \frac{d}{d x} [7 x^{2} y]$ .

$\frac{d}{d x} [y x] + \frac{d}{d x} [7 x^{2} y]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [y x]$ .

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Étape 2.2.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = y$ et $g (x) = x$ .

$y \frac{d}{d x} [x] + x \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [7 x^{2} y]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$y \cdot 1 + x \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [7 x^{2} y]$

Étape 2.2.3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$y \cdot 1 + x y' + \frac{d}{d x} [7 x^{2} y]$

Étape 2.2.4

Multipliez $y$ par $1$ .

$y + x y' + \frac{d}{d x} [7 x^{2} y]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [7 x^{2} y]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $7 x^{2} y$ par rapport à $x$ est $7 \frac{d}{d x} [x^{2} y]$ .

$y + x y' + 7 \frac{d}{d x} [x^{2} y]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = y$ .

$y + x y' + 7 (x^{2} \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 2.3.3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$y + x y' + 7 (x^{2} y' + y \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 2.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$y + x y' + 7 (x^{2} y' + y (2 x))$

Étape 2.3.5

Déplacez $2$ à gauche de $y$ .

$y + x y' + 7 (x^{2} y' + 2 y x)$

Étape 2.4

Simplifiez

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Étape 2.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$y + x y' + 7 (x^{2} y') + 7 (2 y x)$

Étape 2.4.2

Multipliez $2$ par $7$ .

$y + x y' + 7 x^{2} y' + 14 y x$

Étape 2.4.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$x y' + 7 x^{2} y' + 14 x y + y$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$\frac{d}{d x} [3 - 2 x]$

Étape 3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 - 2 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Étape 3.3

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Étape 3.4

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 x]$

Étape 3.5

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 3.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 2 \cdot 1$

Étape 3.7

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$- 2$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$x y' + 7 x^{2} y' + 14 x y + y = - 2$

Étape 5

Résolvez $y'$ .

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Étape 5.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y'$ du côté droit de l’équation.

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Étape 5.1.1

Soustrayez $14 x y$ des deux côtés de l’équation.

$x y' + 7 x^{2} y' + y = - 2 - 14 x y$

Étape 5.1.2

Soustrayez $y$ des deux côtés de l’équation.

$x y' + 7 x^{2} y' = - 2 - 14 x y - y$

Étape 5.2

Factorisez $x y'$ à partir de $x y' + 7 x^{2} y'$ .

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Étape 5.2.1

Factorisez $x y'$ à partir de $x y'$ .

$x y' \cdot 1 + 7 x^{2} y' = - 2 - 14 x y - y$

Étape 5.2.2

Factorisez $x y'$ à partir de $7 x^{2} y'$ .

$x y' \cdot 1 + x y' (7 x) = - 2 - 14 x y - y$

Étape 5.2.3

Factorisez $x y'$ à partir de $x y' \cdot 1 + x y' (7 x)$ .

$x y' (1 + 7 x) = - 2 - 14 x y - y$

Étape 5.3

Divisez chaque terme dans $x y' (1 + 7 x) = - 2 - 14 x y - y$ par $x (1 + 7 x)$ et simplifiez.

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Étape 5.3.1

Divisez chaque terme dans $x y' (1 + 7 x) = - 2 - 14 x y - y$ par $x (1 + 7 x)$ .

$\frac{x y' (1 + 7 x)}{x (1 + 7 x)} = \frac{- 2}{x (1 + 7 x)} + \frac{- 14 x y}{x (1 + 7 x)} + \frac{- y}{x (1 + 7 x)}$

Étape 5.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.2.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 5.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x y' (1 + 7 x)}{x (1 + 7 x)} = \frac{- 2}{x (1 + 7 x)} + \frac{- 14 x y}{x (1 + 7 x)} + \frac{- y}{x (1 + 7 x)}$

Étape 5.3.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y' (1 + 7 x)}{1 + 7 x} = \frac{- 2}{x (1 + 7 x)} + \frac{- 14 x y}{x (1 + 7 x)} + \frac{- y}{x (1 + 7 x)}$

Étape 5.3.2.2

Annulez le facteur commun de $1 + 7 x$ .

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Étape 5.3.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y' (1 + 7 x)}{1 + 7 x} = \frac{- 2}{x (1 + 7 x)} + \frac{- 14 x y}{x (1 + 7 x)} + \frac{- y}{x (1 + 7 x)}$

Étape 5.3.2.2.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{- 2}{x (1 + 7 x)} + \frac{- 14 x y}{x (1 + 7 x)} + \frac{- y}{x (1 + 7 x)}$

Étape 5.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.3.1.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{2}{x (1 + 7 x)} + \frac{- 14 x y}{x (1 + 7 x)} + \frac{- y}{x (1 + 7 x)}$

Étape 5.3.3.1.2

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 5.3.3.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$y' = - \frac{2}{x (1 + 7 x)} + \frac{- 14 x y}{x (1 + 7 x)} + \frac{- y}{x (1 + 7 x)}$

Étape 5.3.3.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$y' = - \frac{2}{x (1 + 7 x)} + \frac{- 14 y}{1 + 7 x} + \frac{- y}{x (1 + 7 x)}$

Étape 5.3.3.1.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{2}{x (1 + 7 x)} - \frac{14 y}{1 + 7 x} + \frac{- y}{x (1 + 7 x)}$

Étape 5.3.3.1.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{2}{x (1 + 7 x)} - \frac{14 y}{1 + 7 x} - \frac{y}{x (1 + 7 x)}$

Étape 5.3.3.2

Pour écrire $- \frac{14 y}{1 + 7 x}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x}{x}$ .

$y' = - \frac{2}{x (1 + 7 x)} - \frac{14 y}{1 + 7 x} \cdot \frac{x}{x} - \frac{y}{x (1 + 7 x)}$

Étape 5.3.3.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $x (1 + 7 x)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 5.3.3.3.1

Multipliez $\frac{14 y}{1 + 7 x}$ par $\frac{x}{x}$ .

$y' = - \frac{2}{x (1 + 7 x)} - \frac{14 y x}{(1 + 7 x) x} - \frac{y}{x (1 + 7 x)}$

Étape 5.3.3.3.2

Réorganisez les facteurs de $(1 + 7 x) x$ .

$y' = - \frac{2}{x (1 + 7 x)} - \frac{14 y x}{x (1 + 7 x)} - \frac{y}{x (1 + 7 x)}$

Étape 5.3.3.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y' = \frac{- 2 - 14 y x}{x (1 + 7 x)} - \frac{y}{x (1 + 7 x)}$

Étape 5.3.3.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y' = \frac{- 2 - 14 y x - y}{x (1 + 7 x)}$

Étape 5.3.3.6

Réécrivez $- 2$ comme $- 1 (2)$ .

$y' = \frac{- 1 (2) - 14 y x - y}{x (1 + 7 x)}$

Étape 5.3.3.7

Factorisez $- 1$ à partir de $- 14 y x$ .

$y' = \frac{- 1 (2) - (14 y x) - y}{x (1 + 7 x)}$

Étape 5.3.3.8

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (2) - (14 y x)$ .

$y' = \frac{- 1 (2 + 14 y x) - y}{x (1 + 7 x)}$

Étape 5.3.3.9

Factorisez $- 1$ à partir de $- y$ .

$y' = \frac{- 1 (2 + 14 y x) - (y)}{x (1 + 7 x)}$

Étape 5.3.3.10

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (2 + 14 y x) - (y)$ .

$y' = \frac{- 1 (2 + 14 y x + y)}{x (1 + 7 x)}$

Étape 5.3.3.11

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{2 + 14 y x + y}{x (1 + 7 x)}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 + 14 y x + y}{x (1 + 7 x)}$