Calcul infinitésimal Exemples

$y = \frac{\cos (2 x)}{\sin^{2} (x)}$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{\cos (2 x)}{\sin^{2} (x)})$

Étape 2

La dérivée de $y$ par rapport à $x$ est $y'$ .

$y'$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = \cos (2 x)$ et $g (x) = \sin^{2} (x)$ .

$\frac{\sin^{2} (x) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)] - \cos (2 x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]}{{(\sin^{2} (x))}^{2}}$

Étape 3.2

Multipliez les exposants dans ${(\sin^{2} (x))}^{2}$ .

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Étape 3.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sin^{2} (x) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)] - \cos (2 x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]}{{\sin (x)}^{2 \cdot 2}}$

Étape 3.2.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{\sin^{2} (x) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)] - \cos (2 x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]}{\sin^{4} (x)}$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \cos (x)$ et $g (x) = 2 x$ .

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Étape 3.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $2 x$ .

$\frac{\sin^{2} (x) (\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x]) - \cos (2 x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]}{\sin^{4} (x)}$

Étape 3.3.2

La dérivée de $\cos (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $- \sin (u_{1})$ .

$\frac{\sin^{2} (x) (- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x]) - \cos (2 x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]}{\sin^{4} (x)}$

Étape 3.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $2 x$ .

$\frac{\sin^{2} (x) (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]) - \cos (2 x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]}{\sin^{4} (x)}$

Étape 3.4

Différenciez.

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Étape 3.4.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\sin^{2} (x) (- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])) - \cos (2 x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]}{\sin^{4} (x)}$

Étape 3.4.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{\sin^{2} (x) (- 2 \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x]) - \cos (2 x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]}{\sin^{4} (x)}$

Étape 3.4.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\sin^{2} (x) (- 2 \sin (2 x) \cdot 1) - \cos (2 x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]}{\sin^{4} (x)}$

Étape 3.4.4

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$\frac{\sin^{2} (x) (- 2 \sin (2 x)) - \cos (2 x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]}{\sin^{4} (x)}$

Étape 3.5

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = \sin (x)$ .

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Étape 3.5.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $\sin (x)$ .

$\frac{\sin^{2} (x) (- 2 \sin (2 x)) - \cos (2 x) (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (x)])}{\sin^{4} (x)}$

Étape 3.5.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ est $n {u_{2}}^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{\sin^{2} (x) (- 2 \sin (2 x)) - \cos (2 x) (2 u_{2} \frac{d}{d x} [\sin (x)])}{\sin^{4} (x)}$

Étape 3.5.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $\sin (x)$ .

$\frac{\sin^{2} (x) (- 2 \sin (2 x)) - \cos (2 x) (2 \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])}{\sin^{4} (x)}$

Étape 3.6

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{\sin^{2} (x) (- 2 \sin (2 x)) - 2 \cos (2 x) (\sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])}{\sin^{4} (x)}$

Étape 3.7

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$\frac{\sin^{2} (x) (- 2 \sin (2 x)) - 2 \cos (2 x) \sin (x) \cos (x)}{\sin^{4} (x)}$

Étape 3.8

Simplifiez

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Étape 3.8.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{- 2 \sin^{2} (x) \sin (2 x) - 2 \cos (2 x) \sin (x) \cos (x)}{\sin^{4} (x)}$

Étape 3.8.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{- 2 \sin^{2} (x) \sin (2 x) - 2 \cos (x) \cos (2 x) \sin (x)}{\sin^{4} (x)}$

Étape 3.8.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.8.3.1

Factorisez $2 \sin (x)$ à partir de $- 2 \sin^{2} (x) \sin (2 x) - 2 \cos (x) \cos (2 x) \sin (x)$ .

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Étape 3.8.3.1.1

Factorisez $2 \sin (x)$ à partir de $- 2 \sin^{2} (x) \sin (2 x)$ .

$\frac{2 \sin (x) (- \sin (x) \sin (2 x)) - 2 \cos (x) \cos (2 x) \sin (x)}{\sin^{4} (x)}$

Étape 3.8.3.1.2

Factorisez $2 \sin (x)$ à partir de $- 2 \cos (x) \cos (2 x) \sin (x)$ .

$\frac{2 \sin (x) (- \sin (x) \sin (2 x)) + 2 \sin (x) (- \cos (x) \cos (2 x))}{\sin^{4} (x)}$

Étape 3.8.3.1.3

Factorisez $2 \sin (x)$ à partir de $2 \sin (x) (- \sin (x) \sin (2 x)) + 2 \sin (x) (- \cos (x) \cos (2 x))$ .

$\frac{2 \sin (x) (- \sin (x) \sin (2 x) - \cos (x) \cos (2 x))}{\sin^{4} (x)}$

Étape 3.8.3.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- \sin (x) \sin (2 x) - \cos (x) \cos (2 x)$ .

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Étape 3.8.3.2.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- \sin (x) \sin (2 x)$ .

$\frac{2 \sin (x) (- (\sin (x) \sin (2 x)) - \cos (x) \cos (2 x))}{\sin^{4} (x)}$

Étape 3.8.3.2.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- \cos (x) \cos (2 x)$ .

$\frac{2 \sin (x) (- (\sin (x) \sin (2 x)) - (\cos (x) \cos (2 x)))}{\sin^{4} (x)}$

Étape 3.8.3.2.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- (\sin (x) \sin (2 x)) - (\cos (x) \cos (2 x))$ .

$\frac{2 \sin (x) (- (\sin (x) \sin (2 x) + \cos (x) \cos (2 x)))}{\sin^{4} (x)}$

$\frac{2 \sin (x) \cdot - 1 (\sin (x) \sin (2 x) + \cos (x) \cos (2 x))}{\sin^{4} (x)}$

Étape 3.8.3.3

Associez les exposants.

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Étape 3.8.3.3.1

Factorisez le signe négatif.

$\frac{- (2 \sin (x) (\sin (x) \sin (2 x) + \cos (x) \cos (2 x)))}{\sin^{4} (x)}$

Étape 3.8.3.3.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{- 2 (\sin (x) (\sin (x) \sin (2 x) + \cos (x) \cos (2 x)))}{\sin^{4} (x)}$

$\frac{- 2 \sin (x) (\sin (x) \sin (2 x) + \cos (x) \cos (2 x))}{\sin^{4} (x)}$

Étape 3.8.4

Annulez le facteur commun à $\sin (x)$ et $\sin^{4} (x)$ .

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Étape 3.8.4.1

Factorisez $\sin (x)$ à partir de $- 2 \sin (x) (\sin (x) \sin (2 x) + \cos (x) \cos (2 x))$ .

$\frac{\sin (x) (- 2 (\sin (x) \sin (2 x) + \cos (x) \cos (2 x)))}{\sin^{4} (x)}$

Étape 3.8.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.8.4.2.1

Factorisez $\sin (x)$ à partir de $\sin^{4} (x)$ .

$\frac{\sin (x) (- 2 (\sin (x) \sin (2 x) + \cos (x) \cos (2 x)))}{\sin (x) \sin^{3} (x)}$

Étape 3.8.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sin (x) (- 2 (\sin (x) \sin (2 x) + \cos (x) \cos (2 x)))}{\sin (x) \sin^{3} (x)}$

Étape 3.8.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 2 (\sin (x) \sin (2 x) + \cos (x) \cos (2 x))}{\sin^{3} (x)}$

Étape 3.8.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.8.5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.8.5.1.1

Appliquez l’identité d’angle double du sinus.

$\frac{- 2 (\sin (x) (2 \sin (x) \cos (x)) + \cos (x) \cos (2 x))}{\sin^{3} (x)}$

Étape 3.8.5.1.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{- 2 (2 \sin (x) \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \cos (2 x))}{\sin^{3} (x)}$

Étape 3.8.5.1.3

Multipliez $2 \sin (x) \sin (x)$ .

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Étape 3.8.5.1.3.1

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{- 2 (2 (\sin^{1} (x) \sin (x)) \cos (x) + \cos (x) \cos (2 x))}{\sin^{3} (x)}$

Étape 3.8.5.1.3.2

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{- 2 (2 (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) \cos (x) + \cos (x) \cos (2 x))}{\sin^{3} (x)}$

Étape 3.8.5.1.3.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{- 2 (2 {\sin (x)}^{1 + 1} \cos (x) + \cos (x) \cos (2 x))}{\sin^{3} (x)}$

Étape 3.8.5.1.3.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{- 2 (2 \sin^{2} (x) \cos (x) + \cos (x) \cos (2 x))}{\sin^{3} (x)}$

Étape 3.8.5.1.4

Utilisez l’identité d’angle double pour transformer $\cos (2 x)$ en $1 - 2 \sin^{2} (x)$ .

$\frac{- 2 (2 \sin^{2} (x) \cos (x) + \cos (x) (1 - 2 \sin^{2} (x)))}{\sin^{3} (x)}$

Étape 3.8.5.1.5

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 2 (2 \sin^{2} (x) \cos (x) + \cos (x) \cdot 1 + \cos (x) (- 2 \sin^{2} (x)))}{\sin^{3} (x)}$

Étape 3.8.5.1.6

Multipliez $\cos (x)$ par $1$ .

$\frac{- 2 (2 \sin^{2} (x) \cos (x) + \cos (x) + \cos (x) (- 2 \sin^{2} (x)))}{\sin^{3} (x)}$

Étape 3.8.5.1.7

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{- 2 (2 \sin^{2} (x) \cos (x) + \cos (x) - 2 \cos (x) \sin^{2} (x))}{\sin^{3} (x)}$

Étape 3.8.5.2

Associez les termes opposés dans $2 \sin^{2} (x) \cos (x) + \cos (x) - 2 \cos (x) \sin^{2} (x)$ .

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Étape 3.8.5.2.1

Réorganisez les facteurs dans les termes $2 \sin^{2} (x) \cos (x)$ et $- 2 \cos (x) \sin^{2} (x)$ .

$\frac{- 2 (2 \sin^{2} (x) \cos (x) + \cos (x) - 2 \sin^{2} (x) \cos (x))}{\sin^{3} (x)}$

Étape 3.8.5.2.2

Soustrayez $2 \sin^{2} (x) \cos (x)$ de $2 \sin^{2} (x) \cos (x)$ .

$\frac{- 2 (0 + \cos (x))}{\sin^{3} (x)}$

Étape 3.8.5.2.3

Additionnez $0$ et $\cos (x)$ .

$\frac{- 2 \cos (x)}{\sin^{3} (x)}$

Étape 3.8.6

Factorisez $\sin (x)$ à partir de $\sin^{3} (x)$ .

$\frac{- 2 \cos (x)}{\sin (x) \sin^{2} (x)}$

Étape 3.8.7

Séparez les fractions.

$\frac{- 2}{\sin^{2} (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Étape 3.8.8

Convertissez de $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ à $\cot (x)$ .

$\frac{- 2}{\sin^{2} (x)} \cot (x)$

Étape 3.8.9

Multipliez par $1$ .

$\frac{- 2}{\sin^{2} (x) \cdot 1} \cot (x)$

Étape 3.8.10

Séparez les fractions.

$\frac{- 2}{1} \cdot \frac{1}{\sin^{2} (x)} \cot (x)$

Étape 3.8.11

Convertissez de $\frac{1}{\sin^{2} (x)}$ à $\csc^{2} (x)$ .

$\frac{- 2}{1} \csc^{2} (x) \cot (x)$

Étape 3.8.12

Divisez $- 2$ par $1$ .

$- 2 \csc^{2} (x) \cot (x)$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$y' = - 2 \csc^{2} (x) \cot (x)$

Étape 5

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - 2 \csc^{2} (x) \cot (x)$