Calcul infinitésimal Exemples

$y = {(a x + b)}^{2}$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d b} (y) = \frac{d}{d b} ({(a x + b)}^{2})$

Étape 2

La dérivée de $y$ par rapport à $b$ est $y'$ .

$y'$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Réécrivez ${(a x + b)}^{2}$ comme $(a x + b) (a x + b)$ .

$\frac{d}{d b} [(a x + b) (a x + b)]$

Étape 3.2

Développez $(a x + b) (a x + b)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d}{d b} [a x (a x + b) + b (a x + b)]$

Étape 3.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d}{d b} [a x (a x) + a x b + b (a x + b)]$

Étape 3.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d}{d b} [a x (a x) + a x b + b (a x) + b \cdot b]$

Étape 3.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.1.1

Multipliez $a$ par $a$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.3.1.1.1

Déplacez $a$ .

$\frac{d}{d b} [a \cdot a x \cdot x + a x b + b (a x) + b \cdot b]$

Étape 3.3.1.1.2

Multipliez $a$ par $a$ .

$\frac{d}{d b} [a^{2} x \cdot x + a x b + b (a x) + b \cdot b]$

Étape 3.3.1.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.3.1.2.1

Déplacez $x$ .

$\frac{d}{d b} [a^{2} (x \cdot x) + a x b + b (a x) + b \cdot b]$

Étape 3.3.1.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{d}{d b} [a^{2} x^{2} + a x b + b (a x) + b \cdot b]$

Étape 3.3.1.3

Multipliez $b$ par $b$ .

$\frac{d}{d b} [a^{2} x^{2} + a x b + b a x + b^{2}]$

Étape 3.3.2

Remettez dans l’ordre $b$ et $a$ .

$\frac{d}{d b} [a^{2} x^{2} + a b x + a b x + b^{2}]$

Étape 3.3.3

Additionnez $a b x$ et $a b x$ .

$\frac{d}{d b} [a^{2} x^{2} + 2 a b x + b^{2}]$

Étape 3.4

Selon la règle de la somme, la dérivée de $a^{2} x^{2} + 2 a b x + b^{2}$ par rapport à $b$ est $\frac{d}{d b} [a^{2} x^{2}] + \frac{d}{d b} [2 a b x] + \frac{d}{d b} [b^{2}]$ .

$\frac{d}{d b} [a^{2} x^{2}] + \frac{d}{d b} [2 a b x] + \frac{d}{d b} [b^{2}]$

Étape 3.5

Comme $a^{2} x^{2}$ est constant par rapport à $b$ , la dérivée de $a^{2} x^{2}$ par rapport à $b$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d b} [2 a b x] + \frac{d}{d b} [b^{2}]$

Étape 3.6

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d b} [2 a b x]$ .

$\frac{d}{d b} [2 a b x] + \frac{d}{d b} [b^{2}]$

Étape 3.7

Comme $2 a x$ est constant par rapport à $b$ , la dérivée de $2 a b x$ par rapport à $b$ est $2 a x \frac{d}{d b} [b]$ .

$2 a x \frac{d}{d b} [b] + \frac{d}{d b} [b^{2}]$

Étape 3.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d b} [b^{n}]$ est $n b^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 a x \cdot 1 + \frac{d}{d b} [b^{2}]$

Étape 3.9

Multipliez $2$ par $1$ .

$2 a x + \frac{d}{d b} [b^{2}]$

Étape 3.10

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d b} [b^{n}]$ est $n b^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 a x + 2 b$

Étape 3.11

Remettez les termes dans l’ordre.

$2 b + 2 a x$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$y' = 2 b + 2 a x$

Étape 5

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d b}$ .

$\frac{d y}{d b} = 2 b + 2 a x$