Calcul infinitésimal Exemples

$x \ln (3 y) = 5 x y^{3}$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (x \ln (3 y)) = \frac{d}{d x} (5 x y^{3})$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = \ln (3 y)$ .

$x \frac{d}{d x} [\ln (3 y)] + \ln (3 y) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = 3 y$ .

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Étape 2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $3 y$ .

$x (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [3 y]) + \ln (3 y) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.2.2

La dérivée de $\ln (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u}$ .

$x (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [3 y]) + \ln (3 y) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $3 y$ .

$x (\frac{1}{3 y} \frac{d}{d x} [3 y]) + \ln (3 y) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle multiple constante.

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Étape 2.3.1

Associez $\frac{1}{3 y}$ et $x$ .

$\frac{x}{3 y} \frac{d}{d x} [3 y] + \ln (3 y) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.3.2

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 y$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{x}{3 y} (3 \frac{d}{d x} [y]) + \ln (3 y) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.3.3

Simplifiez les termes.

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Étape 2.3.3.1

Associez $3$ et $\frac{x}{3 y}$ .

$\frac{3 x}{3 y} \frac{d}{d x} [y] + \ln (3 y) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.3.3.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 2.3.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x}{3 y} \frac{d}{d x} [y] + \ln (3 y) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.3.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{x}{y} \frac{d}{d x} [y] + \ln (3 y) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.4

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$\frac{x}{y} y' + \ln (3 y) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.5

Associez $\frac{x}{y}$ et $y'$ .

$\frac{x y'}{y} + \ln (3 y) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{x y'}{y} + \ln (3 y) \cdot 1$

Étape 2.7

Multipliez $\ln (3 y)$ par $1$ .

$\frac{x y'}{y} + \ln (3 y)$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x y^{3}$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x y^{3}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x y^{3}]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = y^{3}$ .

$5 (x \frac{d}{d x} [y^{3}] + y^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = y$ .

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Étape 3.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $y$ .

$5 (x (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$5 (x (3 u^{2} \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y$ .

$5 (x (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.4

Déplacez $3$ à gauche de $x$ .

$5 (3 \cdot x y^{2} \frac{d}{d x} [y] + y^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.5

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$5 (3 x y^{2} y' + y^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$5 (3 x y^{2} y' + y^{3} \cdot 1)$

Étape 3.7

Multipliez $y^{3}$ par $1$ .

$5 (3 x y^{2} y' + y^{3})$

Étape 3.8

Simplifiez

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Étape 3.8.1

Appliquez la propriété distributive.

$5 (3 x y^{2} y') + 5 y^{3}$

Étape 3.8.2

Multipliez $3$ par $5$ .

$15 x y^{2} y' + 5 y^{3}$

Étape 3.8.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$5 y^{3} + 15 y^{2} x y'$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$\frac{x y'}{y} + \ln (3 y) = 5 y^{3} + 15 y^{2} x y'$

Étape 5

Résolvez $y'$ .

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Étape 5.1

Soustrayez $15 y^{2} x y'$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{x y'}{y} + \ln (3 y) - 15 y^{2} x y' = 5 y^{3}$

Étape 5.2

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 5.2.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$y, 1, 1, 1$

Étape 5.2.2

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$y$

Étape 5.3

Multiplier chaque terme dans $\frac{x y'}{y} + \ln (3 y) - 15 y^{2} x y' = 5 y^{3}$ par $y$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 5.3.1

Multipliez chaque terme dans $\frac{x y'}{y} + \ln (3 y) - 15 y^{2} x y' = 5 y^{3}$ par $y$ .

$\frac{x y'}{y} y + \ln (3 y) y - 15 y^{2} x y' y = 5 y^{3} y$

Étape 5.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.2.1.1

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 5.3.2.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x y'}{y} y + \ln (3 y) y - 15 y^{2} x y' y = 5 y^{3} y$

Étape 5.3.2.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$x y' + \ln (3 y) y - 15 y^{2} x y' y = 5 y^{3} y$

Étape 5.3.2.1.2

Multipliez $y^{2}$ par $y$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.3.2.1.2.1

Déplacez $y$ .

$x y' + \ln (3 y) y - 15 (y \cdot y^{2}) x y' = 5 y^{3} y$

Étape 5.3.2.1.2.2

Multipliez $y$ par $y^{2}$ .

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Étape 5.3.2.1.2.2.1

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$x y' + \ln (3 y) y - 15 (y^{1} y^{2}) x y' = 5 y^{3} y$

Étape 5.3.2.1.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x y' + \ln (3 y) y - 15 y^{1 + 2} x y' = 5 y^{3} y$

Étape 5.3.2.1.2.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$x y' + \ln (3 y) y - 15 y^{3} x y' = 5 y^{3} y$

Étape 5.3.2.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $x y' + \ln (3 y) y - 15 y^{3} x y'$ .

$x y' + y \ln (3 y) - 15 y^{3} x y' = 5 y^{3} y$

Étape 5.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.3.1

Multipliez $y^{3}$ par $y$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.3.3.1.1

Déplacez $y$ .

$x y' + y \ln (3 y) - 15 y^{3} x y' = 5 (y \cdot y^{3})$

Étape 5.3.3.1.2

Multipliez $y$ par $y^{3}$ .

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Étape 5.3.3.1.2.1

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$x y' + y \ln (3 y) - 15 y^{3} x y' = 5 (y^{1} y^{3})$

Étape 5.3.3.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x y' + y \ln (3 y) - 15 y^{3} x y' = 5 y^{1 + 3}$

Étape 5.3.3.1.3

Additionnez $1$ et $3$ .

$x y' + y \ln (3 y) - 15 y^{3} x y' = 5 y^{4}$

Étape 5.4

Résolvez l’équation.

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Étape 5.4.1

Soustrayez $y \ln (3 y)$ des deux côtés de l’équation.

$x y' - 15 y^{3} x y' = 5 y^{4} - y \ln (3 y)$

Étape 5.4.2

Factorisez $x y'$ à partir de $x y' - 15 y^{3} x y'$ .

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Étape 5.4.2.1

Factorisez $x y'$ à partir de $x y'$ .

$x y' \cdot 1 - 15 y^{3} x y' = 5 y^{4} - y \ln (3 y)$

Étape 5.4.2.2

Factorisez $x y'$ à partir de $- 15 y^{3} x y'$ .

$x y' \cdot 1 + x y' (- 15 y^{3}) = 5 y^{4} - y \ln (3 y)$

Étape 5.4.2.3

Factorisez $x y'$ à partir de $x y' \cdot 1 + x y' (- 15 y^{3})$ .

$x y' (1 - 15 y^{3}) = 5 y^{4} - y \ln (3 y)$

Étape 5.4.3

Divisez chaque terme dans $x y' (1 - 15 y^{3}) = 5 y^{4} - y \ln (3 y)$ par $x (1 - 15 y^{3})$ et simplifiez.

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Étape 5.4.3.1

Divisez chaque terme dans $x y' (1 - 15 y^{3}) = 5 y^{4} - y \ln (3 y)$ par $x (1 - 15 y^{3})$ .

$\frac{x y' (1 - 15 y^{3})}{x (1 - 15 y^{3})} = \frac{5 y^{4}}{x (1 - 15 y^{3})} + \frac{- y \ln (3 y)}{x (1 - 15 y^{3})}$

Étape 5.4.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.4.3.2.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 5.4.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x y' (1 - 15 y^{3})}{x (1 - 15 y^{3})} = \frac{5 y^{4}}{x (1 - 15 y^{3})} + \frac{- y \ln (3 y)}{x (1 - 15 y^{3})}$

Étape 5.4.3.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y' (1 - 15 y^{3})}{1 - 15 y^{3}} = \frac{5 y^{4}}{x (1 - 15 y^{3})} + \frac{- y \ln (3 y)}{x (1 - 15 y^{3})}$

Étape 5.4.3.2.2

Annulez le facteur commun de $1 - 15 y^{3}$ .

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Étape 5.4.3.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y' (1 - 15 y^{3})}{1 - 15 y^{3}} = \frac{5 y^{4}}{x (1 - 15 y^{3})} + \frac{- y \ln (3 y)}{x (1 - 15 y^{3})}$

Étape 5.4.3.2.2.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{5 y^{4}}{x (1 - 15 y^{3})} + \frac{- y \ln (3 y)}{x (1 - 15 y^{3})}$

Étape 5.4.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.4.3.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = \frac{5 y^{4}}{x (1 - 15 y^{3})} - \frac{y \ln (3 y)}{x (1 - 15 y^{3})}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{5 y^{4}}{x (1 - 15 y^{3})} - \frac{y \ln (3 y)}{x (1 - 15 y^{3})}$