Calcul infinitésimal Exemples

$e^{x - y} = \ln (x - y)$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (e^{x - y}) = \frac{d}{d x} (\ln (x - y))$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = x - y$ .

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Étape 2.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x - y$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x - y]$

Étape 2.1.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [x - y]$

Étape 2.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x - y$ .

$e^{x - y} \frac{d}{d x} [x - y]$

Étape 2.2

Différenciez.

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Étape 2.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - y$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]$ .

$e^{x - y} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y])$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$e^{x - y} (1 + \frac{d}{d x} [- y])$

Étape 2.2.3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- y$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [y]$ .

$e^{x - y} (1 - \frac{d}{d x} [y])$

Étape 2.3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$e^{x - y} (1 - y')$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = x - y$ .

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Étape 3.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x - y$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x - y]$

Étape 3.1.2

La dérivée de $\ln (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x - y]$

Étape 3.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x - y$ .

$\frac{1}{x - y} \frac{d}{d x} [x - y]$

Étape 3.2

Différenciez.

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Étape 3.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - y$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]$ .

$\frac{1}{x - y} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y])$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{x - y} (1 + \frac{d}{d x} [- y])$

Étape 3.2.3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- y$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{1}{x - y} (1 - \frac{d}{d x} [y])$

Étape 3.3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$\frac{1}{x - y} (1 - y')$

Étape 3.4

Simplifiez

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Étape 3.4.1

Réorganisez les facteurs de $\frac{1}{x - y} (1 - y')$ .

$(1 - y') \frac{1}{x - y}$

Étape 3.4.2

Multipliez $1 - y'$ par $\frac{1}{x - y}$ .

$\frac{1 - y'}{x - y}$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$e^{x - y} (1 - y') = \frac{1 - y'}{x - y}$

Étape 5

Résolvez $y'$ .

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Étape 5.1

Multipliez les deux côtés par $x - y$ .

$e^{x - y} (1 - y') (x - y) = \frac{1 - y'}{x - y} (x - y)$

Étape 5.2

Simplifiez

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Étape 5.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.1.1

Simplifiez $e^{x - y} (1 - y') (x - y)$ .

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Étape 5.2.1.1.1

Simplifiez en multipliant.

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Étape 5.2.1.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$(e^{x - y} \cdot 1 + e^{x - y} (- y')) (x - y) = \frac{1 - y'}{x - y} (x - y)$

Étape 5.2.1.1.1.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.2.1.1.1.2.1

Multipliez $e^{x - y}$ par $1$ .

$(e^{x - y} + e^{x - y} (- y')) (x - y) = \frac{1 - y'}{x - y} (x - y)$

Étape 5.2.1.1.1.2.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$(e^{x - y} - e^{x - y} y') (x - y) = \frac{1 - y'}{x - y} (x - y)$

Étape 5.2.1.1.2

Développez $(e^{x - y} - e^{x - y} y') (x - y)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 5.2.1.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$e^{x - y} (x - y) - e^{x - y} y' (x - y) = \frac{1 - y'}{x - y} (x - y)$

Étape 5.2.1.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$e^{x - y} x + e^{x - y} (- y) - e^{x - y} y' (x - y) = \frac{1 - y'}{x - y} (x - y)$

Étape 5.2.1.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$e^{x - y} x + e^{x - y} (- y) - e^{x - y} y' x - e^{x - y} y' (- y) = \frac{1 - y'}{x - y} (x - y)$

Étape 5.2.1.1.3

Simplifiez les termes.

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Étape 5.2.1.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1.1.3.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$e^{x - y} x - e^{x - y} y - e^{x - y} y' x - e^{x - y} y' (- y) = \frac{1 - y'}{x - y} (x - y)$

Étape 5.2.1.1.3.1.2

Multipliez $- e^{x - y} y' (- y)$ .

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Étape 5.2.1.1.3.1.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$e^{x - y} x - e^{x - y} y - e^{x - y} y' x + 1 e^{x - y} y' y = \frac{1 - y'}{x - y} (x - y)$

Étape 5.2.1.1.3.1.2.2

Multipliez $e^{x - y}$ par $1$ .

$e^{x - y} x - e^{x - y} y - e^{x - y} y' x + e^{x - y} y' y = \frac{1 - y'}{x - y} (x - y)$

Étape 5.2.1.1.3.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.2.1.1.3.2.1

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $e^{x - y} x - e^{x - y} y - e^{x - y} y' x + e^{x - y} y' y$ .

$x e^{x - y} - y e^{x - y} - y' x e^{x - y} + y' y e^{x - y} = \frac{1 - y'}{x - y} (x - y)$

Étape 5.2.1.1.3.2.2

Déplacez $- y e^{x - y}$ .

$x e^{x - y} - y' x e^{x - y} + y' y e^{x - y} - y e^{x - y} = \frac{1 - y'}{x - y} (x - y)$

Étape 5.2.1.1.3.2.3

Déplacez $x e^{x - y}$ .

$- y' x e^{x - y} + y' y e^{x - y} + x e^{x - y} - y e^{x - y} = \frac{1 - y'}{x - y} (x - y)$

Étape 5.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.2.2.1

Simplifiez $\frac{1 - y'}{x - y} (x - y)$ .

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Étape 5.2.2.1.1

Annulez le facteur commun de $x - y$ .

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Étape 5.2.2.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$- y' x e^{x - y} + y' y e^{x - y} + x e^{x - y} - y e^{x - y} = \frac{1 - y'}{x - y} (x - y)$

Étape 5.2.2.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$- y' x e^{x - y} + y' y e^{x - y} + x e^{x - y} - y e^{x - y} = 1 - y'$

Étape 5.2.2.1.2

Remettez dans l’ordre $1$ et $- y'$ .

$- y' x e^{x - y} + y' y e^{x - y} + x e^{x - y} - y e^{x - y} = - y' + 1$

Étape 5.3

Résolvez $y'$ .

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Étape 5.3.1

Ajoutez $y'$ aux deux côtés de l’équation.

$- y' x e^{x - y} + y' y e^{x - y} + x e^{x - y} - y e^{x - y} + y' = 1$

Étape 5.3.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y'$ du côté droit de l’équation.

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Étape 5.3.2.1

Soustrayez $x e^{x - y}$ des deux côtés de l’équation.

$- y' x e^{x - y} + y' y e^{x - y} - y e^{x - y} + y' = 1 - x e^{x - y}$

Étape 5.3.2.2

Ajoutez $y e^{x - y}$ aux deux côtés de l’équation.

$- y' x e^{x - y} + y' y e^{x - y} + y' = 1 - x e^{x - y} + y e^{x - y}$

Étape 5.3.3

Factorisez $y'$ à partir de $- y' x e^{x - y} + y' y e^{x - y} + y'$ .

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Étape 5.3.3.1

Factorisez $y'$ à partir de $- y' x e^{x - y}$ .

$y' (- 1 x e^{x - y}) + y' (y) e^{x - y} + y' = 1 - x e^{x - y} + y e^{x - y}$

Étape 5.3.3.2

Factorisez $y'$ à partir de $y' y e^{x - y}$ .

$y' (- 1 x e^{x - y}) + y' (y e^{x - y}) + y' = 1 - x e^{x - y} + y e^{x - y}$

Étape 5.3.3.3

Élevez $y'$ à la puissance $1$ .

$y' (- 1 x e^{x - y}) + y' (y e^{x - y}) + y' = 1 - x e^{x - y} + y e^{x - y}$

Étape 5.3.3.4

Factorisez $y'$ à partir de ${y'}^{1}$ .

$y' (- 1 x e^{x - y}) + y' (y e^{x - y}) + y' \cdot 1 = 1 - x e^{x - y} + y e^{x - y}$

Étape 5.3.3.5

Factorisez $y'$ à partir de $y' (- 1 x e^{x - y}) + y' (y e^{x - y})$ .

$y' (- 1 x e^{x - y} + y e^{x - y}) + y' \cdot 1 = 1 - x e^{x - y} + y e^{x - y}$

Étape 5.3.3.6

Factorisez $y'$ à partir de $y' (- 1 x e^{x - y} + y e^{x - y}) + y' \cdot 1$ .

$y' (- 1 x e^{x - y} + y e^{x - y} + 1) = 1 - x e^{x - y} + y e^{x - y}$

Étape 5.3.4

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$y' (- x e^{x - y} + y e^{x - y} + 1) = 1 - x e^{x - y} + y e^{x - y}$

Étape 5.3.5

Divisez chaque terme dans $y' (- x e^{x - y} + y e^{x - y} + 1) = 1 - x e^{x - y} + y e^{x - y}$ par $- x e^{x - y} + y e^{x - y} + 1$ et simplifiez.

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Étape 5.3.5.1

Divisez chaque terme dans $y' (- x e^{x - y} + y e^{x - y} + 1) = 1 - x e^{x - y} + y e^{x - y}$ par $- x e^{x - y} + y e^{x - y} + 1$ .

$\frac{y' (- x e^{x - y} + y e^{x - y} + 1)}{- x e^{x - y} + y e^{x - y} + 1} = \frac{1}{- x e^{x - y} + y e^{x - y} + 1} + \frac{- x e^{x - y}}{- x e^{x - y} + y e^{x - y} + 1} + \frac{y e^{x - y}}{- x e^{x - y} + y e^{x - y} + 1}$

Étape 5.3.5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.5.2.1

Annulez le facteur commun de $- x e^{x - y} + y e^{x - y} + 1$ .

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Étape 5.3.5.2.1.1

Annulez le facteur commun.

Étape 5.3.5.2.1.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{1}{- x e^{x - y} + y e^{x - y} + 1} + \frac{- x e^{x - y}}{- x e^{x - y} + y e^{x - y} + 1} + \frac{y e^{x - y}}{- x e^{x - y} + y e^{x - y} + 1}$

Étape 5.3.5.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.5.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = \frac{1}{- x e^{x - y} + y e^{x - y} + 1} - \frac{x e^{x - y}}{- x e^{x - y} + y e^{x - y} + 1} + \frac{y e^{x - y}}{- x e^{x - y} + y e^{x - y} + 1}$

Étape 5.3.5.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y' = \frac{1 - x e^{x - y}}{- x e^{x - y} + y e^{x - y} + 1} + \frac{y e^{x - y}}{- x e^{x - y} + y e^{x - y} + 1}$

Étape 5.3.5.3.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y' = \frac{1 - x e^{x - y} + y e^{x - y}}{- x e^{x - y} + y e^{x - y} + 1}$

Étape 5.3.5.3.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- x e^{x - y}$ .

$y' = \frac{1 - x e^{x - y} + y e^{x - y}}{- (x e^{x - y}) + y e^{x - y} + 1}$

Étape 5.3.5.3.5

Factorisez $- 1$ à partir de $y e^{x - y}$ .

$y' = \frac{1 - x e^{x - y} + y e^{x - y}}{- (x e^{x - y}) - (- y e^{x - y}) + 1}$

Étape 5.3.5.3.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x e^{x - y}) - (- y e^{x - y})$ .

$y' = \frac{1 - x e^{x - y} + y e^{x - y}}{- (x e^{x - y} - y e^{x - y}) + 1}$

Étape 5.3.5.3.7

Réécrivez $1$ comme $- 1 (- 1)$ .

$y' = \frac{1 - x e^{x - y} + y e^{x - y}}{- (x e^{x - y} - y e^{x - y}) - 1 (- 1)}$

Étape 5.3.5.3.8

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x e^{x - y} - y e^{x - y}) - 1 (- 1)$ .

$y' = \frac{1 - x e^{x - y} + y e^{x - y}}{- (x e^{x - y} - y e^{x - y} - 1)}$

Étape 5.3.5.3.9

Réécrivez les nombres négatifs.

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Étape 5.3.5.3.9.1

Réécrivez $- (x e^{x - y} - y e^{x - y} - 1)$ comme $- 1 (x e^{x - y} - y e^{x - y} - 1)$ .

$y' = \frac{1 - x e^{x - y} + y e^{x - y}}{- 1 (x e^{x - y} - y e^{x - y} - 1)}$

Étape 5.3.5.3.9.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{1 - x e^{x - y} + y e^{x - y}}{x e^{x - y} - y e^{x - y} - 1}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{1 - x e^{x - y} + y e^{x - y}}{x e^{x - y} - y e^{x - y} - 1}$