Calcul infinitésimal Exemples

$2 x^{2} + 6 \ln (x y) = 15$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (2 x^{2} + 6 \ln (x y)) = \frac{d}{d x} (15)$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x^{2} + 6 \ln (x y)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 \ln (x y)]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 \ln (x y)]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x^{2}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 \ln (x y)]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 (2 x) + \frac{d}{d x} [6 \ln (x y)]$

Étape 2.2.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$4 x + \frac{d}{d x} [6 \ln (x y)]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [6 \ln (x y)]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6 \ln (x y)$ par rapport à $x$ est $6 \frac{d}{d x} [\ln (x y)]$ .

$4 x + 6 \frac{d}{d x} [\ln (x y)]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = x y$ .

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Étape 2.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x y$ .

$4 x + 6 (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x y])$

Étape 2.3.2.2

La dérivée de $\ln (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u}$ .

$4 x + 6 (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x y])$

Étape 2.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x y$ .

$4 x + 6 (\frac{1}{x y} \frac{d}{d x} [x y])$

Étape 2.3.3

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = y$ .

$4 x + 6 (\frac{1}{x y} (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]))$

Étape 2.3.4

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$4 x + 6 (\frac{1}{x y} (x y' + y \frac{d}{d x} [x]))$

Étape 2.3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$4 x + 6 (\frac{1}{x y} (x y' + y \cdot 1))$

Étape 2.3.6

Multipliez $y$ par $1$ .

$4 x + 6 (\frac{1}{x y} (x y' + y))$

Étape 2.3.7

Associez $\frac{1}{x y}$ et $6$ .

$4 x + \frac{6}{x y} (x y' + y)$

Étape 2.4

Simplifiez

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Étape 2.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$4 x + \frac{6}{x y} (x y') + \frac{6}{x y} y$

Étape 2.4.2

Associez des termes.

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Étape 2.4.2.1

Associez $x$ et $\frac{6}{x y}$ .

$4 x + \frac{x \cdot 6}{x y} y' + \frac{6}{x y} y$

Étape 2.4.2.2

Associez $\frac{x \cdot 6}{x y}$ et $y'$ .

$4 x + \frac{x \cdot 6 y'}{x y} + \frac{6}{x y} y$

Étape 2.4.2.3

Déplacez $6$ à gauche de $x$ .

$4 x + \frac{6 \cdot x y'}{x y} + \frac{6}{x y} y$

Étape 2.4.2.4

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 2.4.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$4 x + \frac{6 x y'}{x y} + \frac{6}{x y} y$

Étape 2.4.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$4 x + \frac{6 y'}{y} + \frac{6}{x y} y$

Étape 2.4.2.5

Associez $\frac{6}{x y}$ et $y$ .

$4 x + \frac{6 y'}{y} + \frac{6 y}{x y}$

Étape 2.4.2.6

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 2.4.2.6.1

Annulez le facteur commun.

$4 x + \frac{6 y'}{y} + \frac{6 y}{x y}$

Étape 2.4.2.6.2

Réécrivez l’expression.

$4 x + \frac{6 y'}{y} + \frac{6}{x}$

Étape 3

Comme $15$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $15$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$4 x + \frac{6 y'}{y} + \frac{6}{x} = 0$

Étape 5

Résolvez $y'$ .

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Étape 5.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y'$ du côté droit de l’équation.

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Étape 5.1.1

Soustrayez $4 x$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{6 y'}{y} + \frac{6}{x} = - 4 x$

Étape 5.1.2

Soustrayez $\frac{6}{x}$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{6 y'}{y} = - 4 x - \frac{6}{x}$

Étape 5.2

Multipliez les deux côtés par $y$ .

$\frac{6 y'}{y} y = (- 4 x - \frac{6}{x}) y$

Étape 5.3

Simplifiez

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Étape 5.3.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.1.1

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 5.3.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{6 y'}{y} y = (- 4 x - \frac{6}{x}) y$

Étape 5.3.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$6 y' = (- 4 x - \frac{6}{x}) y$

Étape 5.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.2.1

Simplifiez $(- 4 x - \frac{6}{x}) y$ .

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Étape 5.3.2.1.1

Simplifiez les termes.

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Étape 5.3.2.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$6 y' = - 4 x y - \frac{6}{x} y$

Étape 5.3.2.1.1.2

Associez $y$ et $\frac{6}{x}$ .

$6 y' = - 4 x y - \frac{y \cdot 6}{x}$

Étape 5.3.2.1.2

Déplacez $6$ à gauche de $y$ .

$6 y' = - 4 x y - \frac{6 y}{x}$

Étape 5.4

Divisez chaque terme dans $6 y' = - 4 x y - \frac{6 y}{x}$ par $6$ et simplifiez.

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Étape 5.4.1

Divisez chaque terme dans $6 y' = - 4 x y - \frac{6 y}{x}$ par $6$ .

$\frac{6 y'}{6} = \frac{- 4 x y}{6} + \frac{- \frac{6 y}{x}}{6}$

Étape 5.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.4.2.1

Annulez le facteur commun de $6$ .

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Étape 5.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{6 y'}{6} = \frac{- 4 x y}{6} + \frac{- \frac{6 y}{x}}{6}$

Étape 5.4.2.1.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{- 4 x y}{6} + \frac{- \frac{6 y}{x}}{6}$

Étape 5.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.4.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.4.3.1.1

Annulez le facteur commun à $- 4$ et $6$ .

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Étape 5.4.3.1.1.1

Factorisez $2$ à partir de $- 4 x y$ .

$y' = \frac{2 (- 2 x y)}{6} + \frac{- \frac{6 y}{x}}{6}$

Étape 5.4.3.1.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.4.3.1.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$y' = \frac{2 (- 2 x y)}{2 (3)} + \frac{- \frac{6 y}{x}}{6}$

Étape 5.4.3.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$y' = \frac{2 (- 2 x y)}{2 \cdot 3} + \frac{- \frac{6 y}{x}}{6}$

Étape 5.4.3.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$y' = \frac{- 2 x y}{3} + \frac{- \frac{6 y}{x}}{6}$

Étape 5.4.3.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{2 x y}{3} + \frac{- \frac{6 y}{x}}{6}$

Étape 5.4.3.1.3

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$y' = - \frac{2 x y}{3} - \frac{6 y}{x} \cdot \frac{1}{6}$

Étape 5.4.3.1.4

Annulez le facteur commun de $6$ .

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Étape 5.4.3.1.4.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{6 y}{x}$ dans le numérateur.

$y' = - \frac{2 x y}{3} + \frac{- 6 y}{x} \cdot \frac{1}{6}$

Étape 5.4.3.1.4.2

Factorisez $6$ à partir de $- 6 y$ .

$y' = - \frac{2 x y}{3} + \frac{6 (- y)}{x} \cdot \frac{1}{6}$

Étape 5.4.3.1.4.3

Annulez le facteur commun.

$y' = - \frac{2 x y}{3} + \frac{6 (- y)}{x} \cdot \frac{1}{6}$

Étape 5.4.3.1.4.4

Réécrivez l’expression.

$y' = - \frac{2 x y}{3} + \frac{- y}{x}$

Étape 5.4.3.1.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{2 x y}{3} - \frac{y}{x}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x y}{3} - \frac{y}{x}$