Calcul infinitésimal Exemples

$y = \frac{2 u}{1 - 4 u}$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d u} (y) = \frac{d}{d u} (\frac{2 u}{1 - 4 u})$

Étape 2

La dérivée de $y$ par rapport à $u$ est $y'$ .

$y'$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $u$ , la dérivée de $\frac{2 u}{1 - 4 u}$ par rapport à $u$ est $2 \frac{d}{d u} [\frac{u}{1 - 4 u}]$ .

$2 \frac{d}{d u} [\frac{u}{1 - 4 u}]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d u} [\frac{f (u)}{g (u)}]$ est $\frac{g (u) \frac{d}{d u} [f (u)] - f (u) \frac{d}{d u} [g (u)]}{{g (u)}^{2}}$ où $f (u) = u$ et $g (u) = 1 - 4 u$ .

$2 \frac{(1 - 4 u) \frac{d}{d u} [u] - u \frac{d}{d u} [1 - 4 u]}{{(1 - 4 u)}^{2}}$

Étape 3.3

Différenciez.

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Étape 3.3.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \frac{(1 - 4 u) \cdot 1 - u \frac{d}{d u} [1 - 4 u]}{{(1 - 4 u)}^{2}}$

Étape 3.3.2

Multipliez $1 - 4 u$ par $1$ .

$2 \frac{1 - 4 u - u \frac{d}{d u} [1 - 4 u]}{{(1 - 4 u)}^{2}}$

Étape 3.3.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 - 4 u$ par rapport à $u$ est $\frac{d}{d u} [1] + \frac{d}{d u} [- 4 u]$ .

$2 \frac{1 - 4 u - u (\frac{d}{d u} [1] + \frac{d}{d u} [- 4 u])}{{(1 - 4 u)}^{2}}$

Étape 3.3.4

Comme $1$ est constant par rapport à $u$ , la dérivée de $1$ par rapport à $u$ est $0$ .

$2 \frac{1 - 4 u - u (0 + \frac{d}{d u} [- 4 u])}{{(1 - 4 u)}^{2}}$

Étape 3.3.5

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d u} [- 4 u]$ .

$2 \frac{1 - 4 u - u \frac{d}{d u} [- 4 u]}{{(1 - 4 u)}^{2}}$

Étape 3.3.6

Comme $- 4$ est constant par rapport à $u$ , la dérivée de $- 4 u$ par rapport à $u$ est $- 4 \frac{d}{d u} [u]$ .

$2 \frac{1 - 4 u - u (- 4 \frac{d}{d u} [u])}{{(1 - 4 u)}^{2}}$

Étape 3.3.7

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$2 \frac{1 - 4 u + 4 u \frac{d}{d u} [u]}{{(1 - 4 u)}^{2}}$

Étape 3.3.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \frac{1 - 4 u + 4 u \cdot 1}{{(1 - 4 u)}^{2}}$

Étape 3.3.9

Simplifiez les termes.

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Étape 3.3.9.1

Multipliez $4$ par $1$ .

$2 \frac{1 - 4 u + 4 u}{{(1 - 4 u)}^{2}}$

Étape 3.3.9.2

Additionnez $- 4 u$ et $4 u$ .

$2 \frac{1 + 0}{{(1 - 4 u)}^{2}}$

Étape 3.3.9.3

Additionnez $1$ et $0$ .

$2 \frac{1}{{(1 - 4 u)}^{2}}$

Étape 3.3.9.4

Associez $2$ et $\frac{1}{{(1 - 4 u)}^{2}}$ .

$\frac{2}{{(1 - 4 u)}^{2}}$

Étape 3.3.9.5

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{2}{{(- 4 u + 1)}^{2}}$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$y' = \frac{2}{{(- 4 u + 1)}^{2}}$

Étape 5

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d u}$ .

$\frac{d y}{d u} = \frac{2}{{(- 4 u + 1)}^{2}}$