Calcul infinitésimal Exemples

$y = 5 t {(2 t + 3)}^{3}$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d t} (y) = \frac{d}{d t} (5 t {(2 t + 3)}^{3})$

Étape 2

La dérivée de $y$ par rapport à $t$ est $y'$ .

$y'$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Comme $5$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $5 t {(2 t + 3)}^{3}$ par rapport à $t$ est $5 \frac{d}{d t} [t {(2 t + 3)}^{3}]$ .

$5 \frac{d}{d t} [t {(2 t + 3)}^{3}]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ est $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ où $f (t) = t$ et $g (t) = {(2 t + 3)}^{3}$ .

$5 (t \frac{d}{d t} [{(2 t + 3)}^{3}] + {(2 t + 3)}^{3} \frac{d}{d t} [t])$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ est $f' (g (t)) g' (t)$ où $f (t) = t^{3}$ et $g (t) = 2 t + 3$ .

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Étape 3.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $2 t + 3$ .

$5 (t (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d t} [2 t + 3]) + {(2 t + 3)}^{3} \frac{d}{d t} [t])$

Étape 3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$5 (t (3 u^{2} \frac{d}{d t} [2 t + 3]) + {(2 t + 3)}^{3} \frac{d}{d t} [t])$

Étape 3.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 t + 3$ .

$5 (t (3 {(2 t + 3)}^{2} \frac{d}{d t} [2 t + 3]) + {(2 t + 3)}^{3} \frac{d}{d t} [t])$

Étape 3.4

Différenciez.

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Étape 3.4.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 t + 3$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [3]$ .

$5 (t (3 {(2 t + 3)}^{2} (\frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [3])) + {(2 t + 3)}^{3} \frac{d}{d t} [t])$

Étape 3.4.2

Comme $2$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $2 t$ par rapport à $t$ est $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$5 (t (3 {(2 t + 3)}^{2} (2 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [3])) + {(2 t + 3)}^{3} \frac{d}{d t} [t])$

Étape 3.4.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$5 (t (3 {(2 t + 3)}^{2} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [3])) + {(2 t + 3)}^{3} \frac{d}{d t} [t])$

Étape 3.4.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$5 (t (3 {(2 t + 3)}^{2} (2 + \frac{d}{d t} [3])) + {(2 t + 3)}^{3} \frac{d}{d t} [t])$

Étape 3.4.5

Comme $3$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $3$ par rapport à $t$ est $0$ .

$5 (t (3 {(2 t + 3)}^{2} (2 + 0)) + {(2 t + 3)}^{3} \frac{d}{d t} [t])$

Étape 3.4.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.4.6.1

Additionnez $2$ et $0$ .

$5 (t (3 {(2 t + 3)}^{2} \cdot 2) + {(2 t + 3)}^{3} \frac{d}{d t} [t])$

Étape 3.4.6.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$5 (t (6 {(2 t + 3)}^{2}) + {(2 t + 3)}^{3} \frac{d}{d t} [t])$

Étape 3.4.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$5 (t (6 {(2 t + 3)}^{2}) + {(2 t + 3)}^{3} \cdot 1)$

Étape 3.4.8

Multipliez ${(2 t + 3)}^{3}$ par $1$ .

$5 (t (6 {(2 t + 3)}^{2}) + {(2 t + 3)}^{3})$

Étape 3.5

Simplifiez

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Étape 3.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$5 (t (6 {(2 t + 3)}^{2})) + 5 {(2 t + 3)}^{3}$

Étape 3.5.2

Multipliez $6$ par $5$ .

$30 (t ({(2 t + 3)}^{2})) + 5 {(2 t + 3)}^{3}$

Étape 3.5.3

Factorisez $5 {(2 t + 3)}^{2}$ à partir de $30 t {(2 t + 3)}^{2} + 5 {(2 t + 3)}^{3}$ .

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Étape 3.5.3.1

Factorisez $5 {(2 t + 3)}^{2}$ à partir de $30 t {(2 t + 3)}^{2}$ .

$5 {(2 t + 3)}^{2} (6 t) + 5 {(2 t + 3)}^{3}$

Étape 3.5.3.2

Factorisez $5 {(2 t + 3)}^{2}$ à partir de $5 {(2 t + 3)}^{3}$ .

$5 {(2 t + 3)}^{2} (6 t) + 5 {(2 t + 3)}^{2} (2 t + 3)$

Étape 3.5.3.3

Factorisez $5 {(2 t + 3)}^{2}$ à partir de $5 {(2 t + 3)}^{2} (6 t) + 5 {(2 t + 3)}^{2} (2 t + 3)$ .

$5 {(2 t + 3)}^{2} (6 t + 2 t + 3)$

Étape 3.5.4

Additionnez $6 t$ et $2 t$ .

$5 {(2 t + 3)}^{2} (8 t + 3)$

Étape 3.5.5

Réécrivez ${(2 t + 3)}^{2}$ comme $(2 t + 3) (2 t + 3)$ .

$5 ((2 t + 3) (2 t + 3)) (8 t + 3)$

Étape 3.5.6

Développez $(2 t + 3) (2 t + 3)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.5.6.1

Appliquez la propriété distributive.

$5 (2 t (2 t + 3) + 3 (2 t + 3)) (8 t + 3)$

Étape 3.5.6.2

Appliquez la propriété distributive.

$5 (2 t (2 t) + 2 t \cdot 3 + 3 (2 t + 3)) (8 t + 3)$

Étape 3.5.6.3

Appliquez la propriété distributive.

$5 (2 t (2 t) + 2 t \cdot 3 + 3 (2 t) + 3 \cdot 3) (8 t + 3)$

Étape 3.5.7

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.5.7.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.5.7.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$5 (2 \cdot 2 t \cdot t + 2 t \cdot 3 + 3 (2 t) + 3 \cdot 3) (8 t + 3)$

Étape 3.5.7.1.2

Multipliez $t$ par $t$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.5.7.1.2.1

Déplacez $t$ .

$5 (2 \cdot 2 (t \cdot t) + 2 t \cdot 3 + 3 (2 t) + 3 \cdot 3) (8 t + 3)$

Étape 3.5.7.1.2.2

Multipliez $t$ par $t$ .

$5 (2 \cdot 2 t^{2} + 2 t \cdot 3 + 3 (2 t) + 3 \cdot 3) (8 t + 3)$

Étape 3.5.7.1.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$5 (4 t^{2} + 2 t \cdot 3 + 3 (2 t) + 3 \cdot 3) (8 t + 3)$

Étape 3.5.7.1.4

Multipliez $3$ par $2$ .

$5 (4 t^{2} + 6 t + 3 (2 t) + 3 \cdot 3) (8 t + 3)$

Étape 3.5.7.1.5

Multipliez $2$ par $3$ .

$5 (4 t^{2} + 6 t + 6 t + 3 \cdot 3) (8 t + 3)$

Étape 3.5.7.1.6

Multipliez $3$ par $3$ .

$5 (4 t^{2} + 6 t + 6 t + 9) (8 t + 3)$

Étape 3.5.7.2

Additionnez $6 t$ et $6 t$ .

$5 (4 t^{2} + 12 t + 9) (8 t + 3)$

Étape 3.5.8

Appliquez la propriété distributive.

$(5 (4 t^{2}) + 5 (12 t) + 5 \cdot 9) (8 t + 3)$

Étape 3.5.9

Simplifiez

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Étape 3.5.9.1

Multipliez $4$ par $5$ .

$(20 t^{2} + 5 (12 t) + 5 \cdot 9) (8 t + 3)$

Étape 3.5.9.2

Multipliez $12$ par $5$ .

$(20 t^{2} + 60 t + 5 \cdot 9) (8 t + 3)$

Étape 3.5.9.3

Multipliez $5$ par $9$ .

$(20 t^{2} + 60 t + 45) (8 t + 3)$

Étape 3.5.10

Développez $(20 t^{2} + 60 t + 45) (8 t + 3)$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$20 t^{2} (8 t) + 20 t^{2} \cdot 3 + 60 t (8 t) + 60 t \cdot 3 + 45 (8 t) + 45 \cdot 3$

Étape 3.5.11

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.5.11.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$20 \cdot 8 t^{2} t + 20 t^{2} \cdot 3 + 60 t (8 t) + 60 t \cdot 3 + 45 (8 t) + 45 \cdot 3$

Étape 3.5.11.2

Multipliez $t^{2}$ par $t$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.5.11.2.1

Déplacez $t$ .

$20 \cdot 8 (t \cdot t^{2}) + 20 t^{2} \cdot 3 + 60 t (8 t) + 60 t \cdot 3 + 45 (8 t) + 45 \cdot 3$

Étape 3.5.11.2.2

Multipliez $t$ par $t^{2}$ .

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Étape 3.5.11.2.2.1

Élevez $t$ à la puissance $1$ .

$20 \cdot 8 (t^{1} t^{2}) + 20 t^{2} \cdot 3 + 60 t (8 t) + 60 t \cdot 3 + 45 (8 t) + 45 \cdot 3$

Étape 3.5.11.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$20 \cdot 8 t^{1 + 2} + 20 t^{2} \cdot 3 + 60 t (8 t) + 60 t \cdot 3 + 45 (8 t) + 45 \cdot 3$

Étape 3.5.11.2.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$20 \cdot 8 t^{3} + 20 t^{2} \cdot 3 + 60 t (8 t) + 60 t \cdot 3 + 45 (8 t) + 45 \cdot 3$

Étape 3.5.11.3

Multipliez $20$ par $8$ .

$160 t^{3} + 20 t^{2} \cdot 3 + 60 t (8 t) + 60 t \cdot 3 + 45 (8 t) + 45 \cdot 3$

Étape 3.5.11.4

Multipliez $3$ par $20$ .

$160 t^{3} + 60 t^{2} + 60 t (8 t) + 60 t \cdot 3 + 45 (8 t) + 45 \cdot 3$

Étape 3.5.11.5

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$160 t^{3} + 60 t^{2} + 60 \cdot 8 t \cdot t + 60 t \cdot 3 + 45 (8 t) + 45 \cdot 3$

Étape 3.5.11.6

Multipliez $t$ par $t$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.5.11.6.1

Déplacez $t$ .

$160 t^{3} + 60 t^{2} + 60 \cdot 8 (t \cdot t) + 60 t \cdot 3 + 45 (8 t) + 45 \cdot 3$

Étape 3.5.11.6.2

Multipliez $t$ par $t$ .

$160 t^{3} + 60 t^{2} + 60 \cdot 8 t^{2} + 60 t \cdot 3 + 45 (8 t) + 45 \cdot 3$

Étape 3.5.11.7

Multipliez $60$ par $8$ .

$160 t^{3} + 60 t^{2} + 480 t^{2} + 60 t \cdot 3 + 45 (8 t) + 45 \cdot 3$

Étape 3.5.11.8

Multipliez $3$ par $60$ .

$160 t^{3} + 60 t^{2} + 480 t^{2} + 180 t + 45 (8 t) + 45 \cdot 3$

Étape 3.5.11.9

Multipliez $8$ par $45$ .

$160 t^{3} + 60 t^{2} + 480 t^{2} + 180 t + 360 t + 45 \cdot 3$

Étape 3.5.11.10

Multipliez $45$ par $3$ .

$160 t^{3} + 60 t^{2} + 480 t^{2} + 180 t + 360 t + 135$

Étape 3.5.12

Additionnez $60 t^{2}$ et $480 t^{2}$ .

$160 t^{3} + 540 t^{2} + 180 t + 360 t + 135$

Étape 3.5.13

Additionnez $180 t$ et $360 t$ .

$160 t^{3} + 540 t^{2} + 540 t + 135$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$y' = 160 t^{3} + 540 t^{2} + 540 t + 135$

Étape 5

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d t}$ .

$\frac{d y}{d t} = 160 t^{3} + 540 t^{2} + 540 t + 135$