Calcul infinitésimal Exemples

$y = \frac{9}{\sqrt{t}}$

Étape 1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{t}$ comme $t^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \frac{9}{t^{\frac{1}{2}}}$

Étape 2

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d t} (y) = \frac{d}{d t} (\frac{9}{t^{\frac{1}{2}}})$

Étape 3

La dérivée de $y$ par rapport à $t$ est $y'$ .

$y'$

Étape 4

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 4.1

Comme $9$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $\frac{9}{t^{\frac{1}{2}}}$ par rapport à $t$ est $9 \frac{d}{d t} [\frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}]$ .

$9 \frac{d}{d t} [\frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}]$

Étape 4.2

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 4.2.1

Réécrivez $\frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}$ comme ${(t^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

$9 \frac{d}{d t} [{(t^{\frac{1}{2}})}^{- 1}]$

Étape 4.2.2

Multipliez les exposants dans ${(t^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Étape 4.2.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$9 \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2} \cdot - 1}]$

Étape 4.2.2.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $- 1$ .

$9 \frac{d}{d t} [t^{\frac{- 1}{2}}]$

Étape 4.2.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$9 \frac{d}{d t} [t^{- \frac{1}{2}}]$

Étape 4.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = - \frac{1}{2}$ .

$9 (- \frac{1}{2} t^{- \frac{1}{2} - 1})$

Étape 4.4

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$9 (- \frac{1}{2} t^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Étape 4.5

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$9 (- \frac{1}{2} t^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Étape 4.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$9 (- \frac{1}{2} t^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Étape 4.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.7.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$9 (- \frac{1}{2} t^{\frac{- 1 - 2}{2}})$

Étape 4.7.2

Soustrayez $2$ de $- 1$ .

$9 (- \frac{1}{2} t^{\frac{- 3}{2}})$

Étape 4.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$9 (- \frac{1}{2} t^{- \frac{3}{2}})$

Étape 4.9

Associez $t^{- \frac{3}{2}}$ et $\frac{1}{2}$ .

$9 (- \frac{t^{- \frac{3}{2}}}{2})$

Étape 4.10

Multipliez $- 1$ par $9$ .

$- 9 \frac{t^{- \frac{3}{2}}}{2}$

Étape 4.11

Associez $- 9$ et $\frac{t^{- \frac{3}{2}}}{2}$ .

$\frac{- 9 t^{- \frac{3}{2}}}{2}$

Étape 4.12

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.12.1

Placez $t^{- \frac{3}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{- 9}{2 t^{\frac{3}{2}}}$

Étape 4.12.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{9}{2 t^{\frac{3}{2}}}$

Étape 5

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$y' = - \frac{9}{2 t^{\frac{3}{2}}}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d t}$ .

$\frac{d y}{d t} = - \frac{9}{2 t^{\frac{3}{2}}}$