Calcul infinitésimal Exemples

$4 x^{3} + \ln (y^{2}) + 2 y = 2 x$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (4 x^{3} + \ln (y^{2}) + 2 y) = \frac{d}{d x} (2 x)$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 x^{3} + \ln (y^{2}) + 2 y$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [\ln (y^{2})] + \frac{d}{d x} [2 y]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [\ln (y^{2})] + \frac{d}{d x} [2 y]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x^{3}$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [\ln (y^{2})] + \frac{d}{d x} [2 y]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [\ln (y^{2})] + \frac{d}{d x} [2 y]$

Étape 2.2.3

Multipliez $3$ par $4$ .

$12 x^{2} + \frac{d}{d x} [\ln (y^{2})] + \frac{d}{d x} [2 y]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [\ln (y^{2})]$ .

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Étape 2.3.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = y^{2}$ .

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Étape 2.3.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $y^{2}$ .

$12 x^{2} + \frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y]$

Étape 2.3.1.2

La dérivée de $\ln (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $\frac{1}{u_{1}}$ .

$12 x^{2} + \frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y]$

Étape 2.3.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $y^{2}$ .

$12 x^{2} + \frac{1}{y^{2}} \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = y$ .

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Étape 2.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $y$ .

$12 x^{2} + \frac{1}{y^{2}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [2 y]$

Étape 2.3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ est $n {u_{2}}^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$12 x^{2} + \frac{1}{y^{2}} (2 u_{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [2 y]$

Étape 2.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $y$ .

$12 x^{2} + \frac{1}{y^{2}} (2 y \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [2 y]$

Étape 2.3.3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$12 x^{2} + \frac{1}{y^{2}} (2 y y') + \frac{d}{d x} [2 y]$

Étape 2.3.4

Associez $2$ et $\frac{1}{y^{2}}$ .

$12 x^{2} + \frac{2}{y^{2}} (y y') + \frac{d}{d x} [2 y]$

Étape 2.3.5

Associez $y$ et $\frac{2}{y^{2}}$ .

$12 x^{2} + \frac{y \cdot 2}{y^{2}} y' + \frac{d}{d x} [2 y]$

Étape 2.3.6

Associez $\frac{y \cdot 2}{y^{2}}$ et $y'$ .

$12 x^{2} + \frac{y \cdot 2 y'}{y^{2}} + \frac{d}{d x} [2 y]$

Étape 2.3.7

Déplacez $2$ à gauche de $y$ .

$12 x^{2} + \frac{2 \cdot y y'}{y^{2}} + \frac{d}{d x} [2 y]$

Étape 2.3.8

Annulez le facteur commun à $y$ et $y^{2}$ .

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Étape 2.3.8.1

Factorisez $y$ à partir de $2 y y'$ .

$12 x^{2} + \frac{y (2 y')}{y^{2}} + \frac{d}{d x} [2 y]$

Étape 2.3.8.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.3.8.2.1

Factorisez $y$ à partir de $y^{2}$ .

$12 x^{2} + \frac{y (2 y')}{y \cdot y} + \frac{d}{d x} [2 y]$

Étape 2.3.8.2.2

Annulez le facteur commun.

$12 x^{2} + \frac{y (2 y')}{y \cdot y} + \frac{d}{d x} [2 y]$

Étape 2.3.8.2.3

Réécrivez l’expression.

$12 x^{2} + \frac{2 y'}{y} + \frac{d}{d x} [2 y]$

Étape 2.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 y]$ .

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Étape 2.4.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 y$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [y]$ .

$12 x^{2} + \frac{2 y'}{y} + 2 \frac{d}{d x} [y]$

Étape 2.4.2

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$12 x^{2} + \frac{2 y'}{y} + 2 y'$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Étape 3.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$2$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$12 x^{2} + \frac{2 y'}{y} + 2 y' = 2$

Étape 5

Résolvez $y'$ .

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Étape 5.1

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 5.1.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$1, y, 1, 1$

Étape 5.1.2

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$y$

Étape 5.2

Multiplier chaque terme dans $12 x^{2} + \frac{2 y'}{y} + 2 y' = 2$ par $y$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 5.2.1

Multipliez chaque terme dans $12 x^{2} + \frac{2 y'}{y} + 2 y' = 2$ par $y$ .

$12 x^{2} y + \frac{2 y'}{y} y + 2 y' y = 2 y$

Étape 5.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.2.1

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 5.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$12 x^{2} y + \frac{2 y'}{y} y + 2 y' y = 2 y$

Étape 5.2.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$12 x^{2} y + 2 y' + 2 y' y = 2 y$

Étape 5.3

Résolvez l’équation.

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Étape 5.3.1

Soustrayez $12 x^{2} y$ des deux côtés de l’équation.

$2 y' + 2 y' y = 2 y - 12 x^{2} y$

Étape 5.3.2

Factorisez $2 y'$ à partir de $2 y' + 2 y' y$ .

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Étape 5.3.2.1

Factorisez $2 y'$ à partir de $2 y'$ .

$2 y' \cdot 1 + 2 y' y = 2 y - 12 x^{2} y$

Étape 5.3.2.2

Factorisez $2 y'$ à partir de $2 y' y$ .

$2 y' \cdot 1 + 2 y' y = 2 y - 12 x^{2} y$

Étape 5.3.2.3

Factorisez $2 y'$ à partir de $2 y' \cdot 1 + 2 y' y$ .

$2 y' (1 + y) = 2 y - 12 x^{2} y$

Étape 5.3.3

Divisez chaque terme dans $2 y' (1 + y) = 2 y - 12 x^{2} y$ par $2 (1 + y)$ et simplifiez.

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Étape 5.3.3.1

Divisez chaque terme dans $2 y' (1 + y) = 2 y - 12 x^{2} y$ par $2 (1 + y)$ .

$\frac{2 y' (1 + y)}{2 (1 + y)} = \frac{2 y}{2 (1 + y)} + \frac{- 12 x^{2} y}{2 (1 + y)}$

Étape 5.3.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.3.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.3.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 y' (1 + y)}{2 (1 + y)} = \frac{2 y}{2 (1 + y)} + \frac{- 12 x^{2} y}{2 (1 + y)}$

Étape 5.3.3.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y' (1 + y)}{1 + y} = \frac{2 y}{2 (1 + y)} + \frac{- 12 x^{2} y}{2 (1 + y)}$

Étape 5.3.3.2.2

Annulez le facteur commun de $1 + y$ .

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Étape 5.3.3.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y' (1 + y)}{1 + y} = \frac{2 y}{2 (1 + y)} + \frac{- 12 x^{2} y}{2 (1 + y)}$

Étape 5.3.3.2.2.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{2 y}{2 (1 + y)} + \frac{- 12 x^{2} y}{2 (1 + y)}$

Étape 5.3.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.3.3.1.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.3.3.3.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$y' = \frac{2 y}{2 (1 + y)} + \frac{- 12 x^{2} y}{2 (1 + y)}$

Étape 5.3.3.3.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$y' = \frac{y}{1 + y} + \frac{- 12 x^{2} y}{2 (1 + y)}$

Étape 5.3.3.3.1.2

Annulez le facteur commun à $- 12$ et $2$ .

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Étape 5.3.3.3.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $- 12 x^{2} y$ .

$y' = \frac{y}{1 + y} + \frac{2 (- 6 x^{2} y)}{2 (1 + y)}$

Étape 5.3.3.3.1.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.3.3.3.1.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$y' = \frac{y}{1 + y} + \frac{2 (- 6 x^{2} y)}{2 (1 + y)}$

Étape 5.3.3.3.1.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$y' = \frac{y}{1 + y} + \frac{- 6 x^{2} y}{1 + y}$

Étape 5.3.3.3.1.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = \frac{y}{1 + y} - \frac{6 x^{2} y}{1 + y}$

Étape 5.3.3.3.2

Simplifiez les termes.

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Étape 5.3.3.3.2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y' = \frac{y - 6 x^{2} y}{1 + y}$

Étape 5.3.3.3.2.2

Factorisez $y$ à partir de $y - 6 x^{2} y$ .

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Étape 5.3.3.3.2.2.1

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$y' = \frac{y^{1} - 6 x^{2} y}{1 + y}$

Étape 5.3.3.3.2.2.2

Factorisez $y$ à partir de $y^{1}$ .

$y' = \frac{y \cdot 1 - 6 x^{2} y}{1 + y}$

Étape 5.3.3.3.2.2.3

Factorisez $y$ à partir de $- 6 x^{2} y$ .

$y' = \frac{y \cdot 1 + y (- 6 x^{2})}{1 + y}$

Étape 5.3.3.3.2.2.4

Factorisez $y$ à partir de $y \cdot 1 + y (- 6 x^{2})$ .

$y' = \frac{y (1 - 6 x^{2})}{1 + y}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (1 - 6 x^{2})}{1 + y}$