Calcul infinitésimal Exemples

$\cot (x y) + x y = 0$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (\cot (x y) + x y) = \frac{d}{d x} (0)$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\cot (x y) + x y$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\cot (x y)] + \frac{d}{d x} [x y]$ .

$\frac{d}{d x} [\cot (x y)] + \frac{d}{d x} [x y]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\cot (x y)]$ .

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Étape 2.2.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \cot (x)$ et $g (x) = x y$ .

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Étape 2.2.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x y$ .

$\frac{d}{d u} [\cot (u)] \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [x y]$

Étape 2.2.1.2

La dérivée de $\cot (u)$ par rapport à $u$ est $- \csc^{2} (u)$ .

$- \csc^{2} (u) \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [x y]$

Étape 2.2.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x y$ .

$- \csc^{2} (x y) \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [x y]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = y$ .

$- \csc^{2} (x y) (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [x y]$

Étape 2.2.3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$- \csc^{2} (x y) (x y' + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [x y]$

Étape 2.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- \csc^{2} (x y) (x y' + y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [x y]$

Étape 2.2.5

Multipliez $y$ par $1$ .

$- \csc^{2} (x y) (x y' + y) + \frac{d}{d x} [x y]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [x y]$ .

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Étape 2.3.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = y$ .

$- \csc^{2} (x y) (x y' + y) + x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.3.2

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$- \csc^{2} (x y) (x y' + y) + x y' + y \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- \csc^{2} (x y) (x y' + y) + x y' + y \cdot 1$

Étape 2.3.4

Multipliez $y$ par $1$ .

$- \csc^{2} (x y) (x y' + y) + x y' + y$

Étape 2.4

Simplifiez

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Étape 2.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$- \csc^{2} (x y) (x y') - \csc^{2} (x y) y + x y' + y$

Étape 2.4.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$- x \csc^{2} (x y) y' - y \csc^{2} (x y) + x y' + y$

Étape 3

Comme $0$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $0$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$- x \csc^{2} (x y) y' - y \csc^{2} (x y) + x y' + y = 0$

Étape 5

Résolvez $y'$ .

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Étape 5.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.1.1

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $- x \csc^{2} (x y) y' - y \csc^{2} (x y) + x y' + y$ .

$- x y' \csc^{2} (x y) - y \csc^{2} (x y) + x y' + y = 0$

Étape 5.2

Simplifiez $- x y' \csc^{2} (x y) - y \csc^{2} (x y) + x y' + y$ .

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Étape 5.2.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.2.1.1

Déplacez $x y'$ .

$- x y' \csc^{2} (x y) + x y' - y \csc^{2} (x y) + y = 0$

Étape 5.2.1.2

Remettez dans l’ordre $- x y' \csc^{2} (x y)$ et $x y'$ .

$x y' - x y' \csc^{2} (x y) - y \csc^{2} (x y) + y = 0$

Étape 5.2.2

Factorisez $- x y'$ à partir de $x y'$ .

$- x y' \cdot - 1 - x y' \csc^{2} (x y) - y \csc^{2} (x y) + y = 0$

Étape 5.2.3

Factorisez $- x y'$ à partir de $- x y' \csc^{2} (x y)$ .

$- x y' \cdot - 1 - x y' \csc^{2} (x y) - y \csc^{2} (x y) + y = 0$

Étape 5.2.4

Factorisez $- x y'$ à partir de $- x y' \cdot - 1 - x y' \csc^{2} (x y)$ .

$- x y' (- 1 + \csc^{2} (x y)) - y \csc^{2} (x y) + y = 0$

Étape 5.2.5

Réorganisez les termes.

$- x y' (\csc^{2} (x y) - 1) - y \csc^{2} (x y) + y = 0$

Étape 5.2.6

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$- x y' \cot^{2} (x y) - y \csc^{2} (x y) + y = 0$

Étape 5.2.7

Remettez dans l’ordre $- y \csc^{2} (x y)$ et $y$ .

$- x y' \cot^{2} (x y) + y - y \csc^{2} (x y) = 0$

Étape 5.2.8

Réécrivez $y$ comme $1 y$ .

$- x y' \cot^{2} (x y) + 1 y - y \csc^{2} (x y) = 0$

Étape 5.2.9

Factorisez $- y$ à partir de $1 y$ .

$- x y' \cot^{2} (x y) - y (- 1) - y \csc^{2} (x y) = 0$

Étape 5.2.10

Factorisez $- y$ à partir de $- y \csc^{2} (x y)$ .

$- x y' \cot^{2} (x y) - y (- 1) - y (\csc^{2} (x y)) = 0$

Étape 5.2.11

Factorisez $- y$ à partir de $- y (- 1) - y (\csc^{2} (x y))$ .

$- x y' \cot^{2} (x y) - y (- 1 + \csc^{2} (x y)) = 0$

Étape 5.2.12

Réorganisez les termes.

$- x y' \cot^{2} (x y) - y (\csc^{2} (x y) - 1) = 0$

Étape 5.2.13

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$- x y' \cot^{2} (x y) - y \cot^{2} (x y) = 0$

Étape 5.3

Ajoutez $y \cot^{2} (x y)$ aux deux côtés de l’équation.

$- x y' \cot^{2} (x y) = y \cot^{2} (x y)$

Étape 5.4

Divisez chaque terme dans $- x y' \cot^{2} (x y) = y \cot^{2} (x y)$ par $- x \cot^{2} (x y)$ et simplifiez.

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Étape 5.4.1

Divisez chaque terme dans $- x y' \cot^{2} (x y) = y \cot^{2} (x y)$ par $- x \cot^{2} (x y)$ .

$\frac{- x y' \cot^{2} (x y)}{- x \cot^{2} (x y)} = \frac{y \cot^{2} (x y)}{- x \cot^{2} (x y)}$

Étape 5.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.4.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x y' \cot^{2} (x y)}{x \cot^{2} (x y)} = \frac{y \cot^{2} (x y)}{- x \cot^{2} (x y)}$

Étape 5.4.2.2

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 5.4.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x y' \cot^{2} (x y)}{x \cot^{2} (x y)} = \frac{y \cot^{2} (x y)}{- x \cot^{2} (x y)}$

Étape 5.4.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y' \cot^{2} (x y)}{\cot^{2} (x y)} = \frac{y \cot^{2} (x y)}{- x \cot^{2} (x y)}$

Étape 5.4.2.3

Annulez le facteur commun de $\cot^{2} (x y)$ .

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Étape 5.4.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y' \cot^{2} (x y)}{\cot^{2} (x y)} = \frac{y \cot^{2} (x y)}{- x \cot^{2} (x y)}$

Étape 5.4.2.3.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{y \cot^{2} (x y)}{- x \cot^{2} (x y)}$

Étape 5.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.4.3.1

Annulez le facteur commun de $\cot^{2} (x y)$ .

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Étape 5.4.3.1.1

Annulez le facteur commun.

$y' = \frac{y \cot^{2} (x y)}{- x \cot^{2} (x y)}$

Étape 5.4.3.1.2

Réécrivez l’expression.

$y' = \frac{y}{- x}$

Étape 5.4.3.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{y}{x}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y}{x}$