Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{x^{5}}{20} + \frac{x^{4}}{6} - \frac{x^{3}}{2}$

Étape 1

Écrivez $\frac{x^{5}}{20} + \frac{x^{4}}{6} - \frac{x^{3}}{2}$ comme une fonction.

$f (x) = \frac{x^{5}}{20} + \frac{x^{4}}{6} - \frac{x^{3}}{2}$

Étape 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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Étape 2.1

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 2.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{x^{5}}{20} + \frac{x^{4}}{6} - \frac{x^{3}}{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\frac{x^{5}}{20}] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{4}}{6}] + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{3}}{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{5}}{20}] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{4}}{6}] + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{3}}{2}]$

Étape 2.1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{x^{5}}{20}]$ .

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Étape 2.1.1.2.1

Comme $\frac{1}{20}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{x^{5}}{20}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{20} \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$\frac{1}{20} \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{4}}{6}] + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{3}}{2}]$

Étape 2.1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 5$ .

$\frac{1}{20} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [\frac{x^{4}}{6}] + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{3}}{2}]$

Étape 2.1.1.2.3

Associez $5$ et $\frac{1}{20}$ .

$\frac{5}{20} x^{4} + \frac{d}{d x} [\frac{x^{4}}{6}] + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{3}}{2}]$

Étape 2.1.1.2.4

Associez $\frac{5}{20}$ et $x^{4}$ .

$\frac{5 x^{4}}{20} + \frac{d}{d x} [\frac{x^{4}}{6}] + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{3}}{2}]$

Étape 2.1.1.2.5

Annulez le facteur commun à $5$ et $20$ .

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Étape 2.1.1.2.5.1

Factorisez $5$ à partir de $5 x^{4}$ .

$\frac{5 (x^{4})}{20} + \frac{d}{d x} [\frac{x^{4}}{6}] + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{3}}{2}]$

Étape 2.1.1.2.5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.1.1.2.5.2.1

Factorisez $5$ à partir de $20$ .

$\frac{5 x^{4}}{5 \cdot 4} + \frac{d}{d x} [\frac{x^{4}}{6}] + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{3}}{2}]$

Étape 2.1.1.2.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{5 x^{4}}{5 \cdot 4} + \frac{d}{d x} [\frac{x^{4}}{6}] + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{3}}{2}]$

Étape 2.1.1.2.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{x^{4}}{4} + \frac{d}{d x} [\frac{x^{4}}{6}] + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{3}}{2}]$

Étape 2.1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{x^{4}}{6}]$ .

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Étape 2.1.1.3.1

Comme $\frac{1}{6}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{x^{4}}{6}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{6} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{x^{4}}{4} + \frac{1}{6} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{3}}{2}]$

Étape 2.1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$\frac{x^{4}}{4} + \frac{1}{6} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{3}}{2}]$

Étape 2.1.1.3.3

Associez $4$ et $\frac{1}{6}$ .

$\frac{x^{4}}{4} + \frac{4}{6} x^{3} + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{3}}{2}]$

Étape 2.1.1.3.4

Associez $\frac{4}{6}$ et $x^{3}$ .

$\frac{x^{4}}{4} + \frac{4 x^{3}}{6} + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{3}}{2}]$

Étape 2.1.1.3.5

Annulez le facteur commun à $4$ et $6$ .

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Étape 2.1.1.3.5.1

Factorisez $2$ à partir de $4 x^{3}$ .

$\frac{x^{4}}{4} + \frac{2 (2 x^{3})}{6} + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{3}}{2}]$

Étape 2.1.1.3.5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.1.1.3.5.2.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$\frac{x^{4}}{4} + \frac{2 (2 x^{3})}{2 (3)} + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{3}}{2}]$

Étape 2.1.1.3.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{x^{4}}{4} + \frac{2 (2 x^{3})}{2 \cdot 3} + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{3}}{2}]$

Étape 2.1.1.3.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{x^{4}}{4} + \frac{2 x^{3}}{3} + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{3}}{2}]$

Étape 2.1.1.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \frac{x^{3}}{2}]$ .

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Étape 2.1.1.4.1

Comme $- \frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{x^{3}}{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{x^{4}}{4} + \frac{2 x^{3}}{3} - \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 2.1.1.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$\frac{x^{4}}{4} + \frac{2 x^{3}}{3} - \frac{1}{2} (3 x^{2})$

Étape 2.1.1.4.3

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\frac{x^{4}}{4} + \frac{2 x^{3}}{3} - 3 (\frac{1}{2}) x^{2}$

Étape 2.1.1.4.4

Associez $- 3$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{x^{4}}{4} + \frac{2 x^{3}}{3} + \frac{- 3}{2} x^{2}$

Étape 2.1.1.4.5

Associez $\frac{- 3}{2}$ et $x^{2}$ .

$\frac{x^{4}}{4} + \frac{2 x^{3}}{3} + \frac{- 3 x^{2}}{2}$

Étape 2.1.1.4.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (x) = \frac{x^{4}}{4} + \frac{2 x^{3}}{3} - \frac{3 x^{2}}{2}$

Étape 2.1.2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{x^{4}}{4} + \frac{2 x^{3}}{3} - \frac{3 x^{2}}{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\frac{x^{4}}{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{2 x^{3}}{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3 x^{2}}{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{4}}{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{2 x^{3}}{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3 x^{2}}{2}]$

Étape 2.1.2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{x^{4}}{4}]$ .

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Étape 2.1.2.2.1

Comme $\frac{1}{4}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{x^{4}}{4}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{2 x^{3}}{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3 x^{2}}{2}]$

Étape 2.1.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$\frac{1}{4} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [\frac{2 x^{3}}{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3 x^{2}}{2}]$

Étape 2.1.2.2.3

Associez $4$ et $\frac{1}{4}$ .

$\frac{4}{4} x^{3} + \frac{d}{d x} [\frac{2 x^{3}}{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3 x^{2}}{2}]$

Étape 2.1.2.2.4

Associez $\frac{4}{4}$ et $x^{3}$ .

$\frac{4 x^{3}}{4} + \frac{d}{d x} [\frac{2 x^{3}}{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3 x^{2}}{2}]$

Étape 2.1.2.2.5

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 2.1.2.2.5.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 x^{3}}{4} + \frac{d}{d x} [\frac{2 x^{3}}{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3 x^{2}}{2}]$

Étape 2.1.2.2.5.2

Divisez $x^{3}$ par $1$ .

$x^{3} + \frac{d}{d x} [\frac{2 x^{3}}{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3 x^{2}}{2}]$

Étape 2.1.2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{2 x^{3}}{3}]$ .

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Étape 2.1.2.3.1

Comme $\frac{2}{3}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{2 x^{3}}{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$x^{3} + \frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3 x^{2}}{2}]$

Étape 2.1.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$x^{3} + \frac{2}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- \frac{3 x^{2}}{2}]$

Étape 2.1.2.3.3

Associez $3$ et $\frac{2}{3}$ .

$x^{3} + \frac{3 \cdot 2}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{3 x^{2}}{2}]$

Étape 2.1.2.3.4

Multipliez $3$ par $2$ .

$x^{3} + \frac{6}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{3 x^{2}}{2}]$

Étape 2.1.2.3.5

Associez $\frac{6}{3}$ et $x^{2}$ .

$x^{3} + \frac{6 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- \frac{3 x^{2}}{2}]$

Étape 2.1.2.3.6

Annulez le facteur commun à $6$ et $3$ .

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Étape 2.1.2.3.6.1

Factorisez $3$ à partir de $6 x^{2}$ .

$x^{3} + \frac{3 (2 x^{2})}{3} + \frac{d}{d x} [- \frac{3 x^{2}}{2}]$

Étape 2.1.2.3.6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.1.2.3.6.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$x^{3} + \frac{3 (2 x^{2})}{3 (1)} + \frac{d}{d x} [- \frac{3 x^{2}}{2}]$

Étape 2.1.2.3.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$x^{3} + \frac{3 (2 x^{2})}{3 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- \frac{3 x^{2}}{2}]$

Étape 2.1.2.3.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$x^{3} + \frac{2 x^{2}}{1} + \frac{d}{d x} [- \frac{3 x^{2}}{2}]$

Étape 2.1.2.3.6.2.4

Divisez $2 x^{2}$ par $1$ .

$x^{3} + 2 x^{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{3 x^{2}}{2}]$

Étape 2.1.2.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \frac{3 x^{2}}{2}]$ .

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Étape 2.1.2.4.1

Comme $- \frac{3}{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{3 x^{2}}{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$x^{3} + 2 x^{2} - \frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2.1.2.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$x^{3} + 2 x^{2} - \frac{3}{2} (2 x)$

Étape 2.1.2.4.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$x^{3} + 2 x^{2} - 2 (\frac{3}{2}) x$

Étape 2.1.2.4.4

Associez $- 2$ et $\frac{3}{2}$ .

$x^{3} + 2 x^{2} + \frac{- 2 \cdot 3}{2} x$

Étape 2.1.2.4.5

Multipliez $- 2$ par $3$ .

$x^{3} + 2 x^{2} + \frac{- 6}{2} x$

Étape 2.1.2.4.6

Associez $\frac{- 6}{2}$ et $x$ .

$x^{3} + 2 x^{2} + \frac{- 6 x}{2}$

Étape 2.1.2.4.7

Annulez le facteur commun à $- 6$ et $2$ .

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Étape 2.1.2.4.7.1

Factorisez $2$ à partir de $- 6 x$ .

$x^{3} + 2 x^{2} + \frac{2 (- 3 x)}{2}$

Étape 2.1.2.4.7.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.1.2.4.7.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$x^{3} + 2 x^{2} + \frac{2 (- 3 x)}{2 (1)}$

Étape 2.1.2.4.7.2.2

Annulez le facteur commun.

$x^{3} + 2 x^{2} + \frac{2 (- 3 x)}{2 \cdot 1}$

Étape 2.1.2.4.7.2.3

Réécrivez l’expression.

$x^{3} + 2 x^{2} + \frac{- 3 x}{1}$

Étape 2.1.2.4.7.2.4

Divisez $- 3 x$ par $1$ .

$f'' (x) = x^{3} + 2 x^{2} - 3 x$

Étape 2.1.3

La dérivée seconde de $f (x)$ par rapport à $x$ est $x^{3} + 2 x^{2} - 3 x$ .

$x^{3} + 2 x^{2} - 3 x$

Étape 2.2

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ puis résolvez l’équation $x^{3} + 2 x^{2} - 3 x = 0$ .

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Étape 2.2.1

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ .

$x^{3} + 2 x^{2} - 3 x = 0$

Étape 2.2.2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.2.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{3} + 2 x^{2} - 3 x$ .

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Étape 2.2.2.1.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{3}$ .

$x \cdot x^{2} + 2 x^{2} - 3 x = 0$

Étape 2.2.2.1.2

Factorisez $x$ à partir de $2 x^{2}$ .

$x \cdot x^{2} + x (2 x) - 3 x = 0$

Étape 2.2.2.1.3

Factorisez $x$ à partir de $- 3 x$ .

$x \cdot x^{2} + x (2 x) + x \cdot - 3 = 0$

Étape 2.2.2.1.4

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot x^{2} + x (2 x)$ .

$x (x^{2} + 2 x) + x \cdot - 3 = 0$

Étape 2.2.2.1.5

Factorisez $x$ à partir de $x (x^{2} + 2 x) + x \cdot - 3$ .

$x (x^{2} + 2 x - 3) = 0$

Étape 2.2.2.2

Factorisez.

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Étape 2.2.2.2.1

Factorisez $x^{2} + 2 x - 3$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 2.2.2.2.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 3$ et dont la somme est $2$ .

$- 1, 3$

Étape 2.2.2.2.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$x ((x - 1) (x + 3)) = 0$

Étape 2.2.2.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$x (x - 1) (x + 3) = 0$

Étape 2.2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$x - 1 = 0$

$x + 3 = 0$

Étape 2.2.4

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 2.2.5

Définissez $x - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.2.5.1

Définissez $x - 1$ égal à $0$ .

$x - 1 = 0$

Étape 2.2.5.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 1$

Étape 2.2.6

Définissez $x + 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.2.6.1

Définissez $x + 3$ égal à $0$ .

$x + 3 = 0$

Étape 2.2.6.2

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 3$

Étape 2.2.7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $x (x - 1) (x + 3) = 0$ vraie.

$x = 0, 1, - 3$

Étape 3

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \in ℝ}$

Étape 4

Créez des intervalles autour des valeurs $x$ où la dérivée seconde est nulle ou indéfinie.

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, 0) \cup (0, 1) \cup (1, \infty)$

Étape 5

Remplacez tout nombre du premier intervalle $(- \infty, - 3)$ dans la dérivée seconde et évaluez afin de déterminer la concavité.

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Étape 5.1

Remplacez la variable $x$ par $- 6$ dans l’expression.

$f'' (- 6) = {(- 6)}^{3} + 2 {(- 6)}^{2} - 3 \cdot - 6$

Étape 5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1.1

Élevez $- 6$ à la puissance $3$ .

$f'' (- 6) = - 216 + 2 {(- 6)}^{2} - 3 \cdot - 6$

Étape 5.2.1.2

Élevez $- 6$ à la puissance $2$ .

$f'' (- 6) = - 216 + 2 \cdot 36 - 3 \cdot - 6$

Étape 5.2.1.3

Multipliez $2$ par $36$ .

$f'' (- 6) = - 216 + 72 - 3 \cdot - 6$

Étape 5.2.1.4

Multipliez $- 3$ par $- 6$ .

$f'' (- 6) = - 216 + 72 + 18$

Étape 5.2.2

Simplifiez en ajoutant des nombres.

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Étape 5.2.2.1

Additionnez $- 216$ et $72$ .

$f'' (- 6) = - 144 + 18$

Étape 5.2.2.2

Additionnez $- 144$ et $18$ .

$f'' (- 6) = - 126$

Étape 5.2.3

La réponse finale est $- 126$ .

$- 126$

Étape 5.3

Le graphe est concave vers le bas sur l’intervalle $(- \infty, - 3)$ car $f'' (- 6)$ est négatif.

Concave vers le bas sur $(- \infty, - 3)$ car $f'' (x)$ est négatif

Étape 6

Remplacez tout nombre du premier intervalle $(- 3, 0)$ dans la dérivée seconde et évaluez afin de déterminer la concavité.

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Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $- 2$ dans l’expression.

$f'' (- 2) = {(- 2)}^{3} + 2 {(- 2)}^{2} - 3 \cdot - 2$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.1.1

Élevez $- 2$ à la puissance $3$ .

$f'' (- 2) = - 8 + 2 {(- 2)}^{2} - 3 \cdot - 2$

Étape 6.2.1.2

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$f'' (- 2) = - 8 + 2 \cdot 4 - 3 \cdot - 2$

Étape 6.2.1.3

Multipliez $2$ par $4$ .

$f'' (- 2) = - 8 + 8 - 3 \cdot - 2$

Étape 6.2.1.4

Multipliez $- 3$ par $- 2$ .

$f'' (- 2) = - 8 + 8 + 6$

Étape 6.2.2

Simplifiez en ajoutant des nombres.

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Étape 6.2.2.1

Additionnez $- 8$ et $8$ .

$f'' (- 2) = 0 + 6$

Étape 6.2.2.2

Additionnez $0$ et $6$ .

$f'' (- 2) = 6$

Étape 6.2.3

La réponse finale est $6$ .

$6$

Étape 6.3

Le graphe est concave vers le haut sur l’intervalle $(- 3, 0)$ car $f'' (- 2)$ est positif.

Concave vers le haut sur $(- 3, 0)$ car $f'' (x)$ est positif

Étape 7

Remplacez tout nombre du premier intervalle $(0, 1)$ dans la dérivée seconde et évaluez afin de déterminer la concavité.

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Étape 7.1

Remplacez la variable $x$ par $0.5$ dans l’expression.

$f'' (0.5) = {(0.5)}^{3} + 2 {(0.5)}^{2} - 3 \cdot 0.5$

Étape 7.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 7.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.2.1.1

Élevez $0.5$ à la puissance $3$ .

$f'' (0.5) = 0.125 + 2 {(0.5)}^{2} - 3 \cdot 0.5$

Étape 7.2.1.2

Élevez $0.5$ à la puissance $2$ .

$f'' (0.5) = 0.125 + 2 \cdot 0.25 - 3 \cdot 0.5$

Étape 7.2.1.3

Multipliez $2$ par $0.25$ .

$f'' (0.5) = 0.125 + 0.5 - 3 \cdot 0.5$

Étape 7.2.1.4

Multipliez $- 3$ par $0.5$ .

$f'' (0.5) = 0.125 + 0.5 - 1.5$

Étape 7.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 7.2.2.1

Additionnez $0.125$ et $0.5$ .

$f'' (0.5) = 0.625 - 1.5$

Étape 7.2.2.2

Soustrayez $1.5$ de $0.625$ .

$f'' (0.5) = - 0.875$

Étape 7.2.3

La réponse finale est $- 0.875$ .

$- 0.875$

Étape 7.3

Le graphe est concave vers le bas sur l’intervalle $(0, 1)$ car $f'' (0.5)$ est négatif.

Concave vers le bas sur $(0, 1)$ car $f'' (x)$ est négatif

Étape 8

Remplacez tout nombre du premier intervalle $(1, \infty)$ dans la dérivée seconde et évaluez afin de déterminer la concavité.

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Étape 8.1

Remplacez la variable $x$ par $4$ dans l’expression.

$f'' (4) = {(4)}^{3} + 2 {(4)}^{2} - 3 \cdot 4$

Étape 8.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 8.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 8.2.1.1

Élevez $4$ à la puissance $3$ .

$f'' (4) = 64 + 2 {(4)}^{2} - 3 \cdot 4$

Étape 8.2.1.2

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$f'' (4) = 64 + 2 \cdot 16 - 3 \cdot 4$

Étape 8.2.1.3

Multipliez $2$ par $16$ .

$f'' (4) = 64 + 32 - 3 \cdot 4$

Étape 8.2.1.4

Multipliez $- 3$ par $4$ .

$f'' (4) = 64 + 32 - 12$

Étape 8.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 8.2.2.1

Additionnez $64$ et $32$ .

$f'' (4) = 96 - 12$

Étape 8.2.2.2

Soustrayez $12$ de $96$ .

$f'' (4) = 84$

Étape 8.2.3

La réponse finale est $84$ .

$84$

Étape 8.3

Le graphe est concave vers le haut sur l’intervalle $(1, \infty)$ car $f'' (4)$ est positif.

Concave vers le haut sur $(1, \infty)$ car $f'' (x)$ est positif

Étape 9

Le graphe est concave vers le bas lorsque la dérivée seconde est négative et concave vers le haut lorsque la dérivée seconde est positive.

Concave vers le bas sur $(- \infty, - 3)$ car $f'' (x)$ est négatif

Concave vers le haut sur $(- 3, 0)$ car $f'' (x)$ est positif

Concave vers le bas sur $(0, 1)$ car $f'' (x)$ est négatif

Concave vers le haut sur $(1, \infty)$ car $f'' (x)$ est positif

Étape 10