Calcul infinitésimal Exemples

$x = 2 \ln (y^{2} - 3)$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (x) = \frac{d}{d x} (2 \ln (y^{2} - 3))$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 \ln (y^{2} - 3)$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [\ln (y^{2} - 3)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\ln (y^{2} - 3)]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = y^{2} - 3$ .

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Étape 3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $y^{2} - 3$ .

$2 (\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [y^{2} - 3])$

Étape 3.2.2

La dérivée de $\ln (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $\frac{1}{u_{1}}$ .

$2 (\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [y^{2} - 3])$

Étape 3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $y^{2} - 3$ .

$2 (\frac{1}{y^{2} - 3} \frac{d}{d x} [y^{2} - 3])$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle de la somme.

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Étape 3.3.1

Associez $\frac{1}{y^{2} - 3}$ et $2$ .

$\frac{2}{y^{2} - 3} \frac{d}{d x} [y^{2} - 3]$

Étape 3.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $y^{2} - 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{2}{y^{2} - 3} (\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3])$

Étape 3.4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = y$ .

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Étape 3.4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $y$ .

$\frac{2}{y^{2} - 3} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 3])$

Étape 3.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ est $n {u_{2}}^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{2}{y^{2} - 3} (2 u_{2} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 3])$

Étape 3.4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $y$ .

$\frac{2}{y^{2} - 3} (2 y \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 3])$

Étape 3.5

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$\frac{2}{y^{2} - 3} (2 y y' + \frac{d}{d x} [- 3])$

Étape 3.6

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{2}{y^{2} - 3} (2 y y' + 0)$

Étape 3.7

Associez les fractions.

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Étape 3.7.1

Additionnez $2 y y'$ et $0$ .

$\frac{2}{y^{2} - 3} (2 y y')$

Étape 3.7.2

Associez $2$ et $\frac{2}{y^{2} - 3}$ .

$\frac{2 \cdot 2}{y^{2} - 3} (y y')$

Étape 3.7.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{4}{y^{2} - 3} (y y')$

Étape 3.7.4

Associez $y$ et $\frac{4}{y^{2} - 3}$ .

$\frac{y \cdot 4}{y^{2} - 3} y'$

Étape 3.7.5

Associez $\frac{y \cdot 4}{y^{2} - 3}$ et $y'$ .

$\frac{y \cdot 4 y'}{y^{2} - 3}$

Étape 3.7.6

Déplacez $4$ à gauche de $y$ .

$\frac{4 y y'}{y^{2} - 3}$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$1 = \frac{4 y y'}{y^{2} - 3}$

Étape 5

Résolvez $y'$ .

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Étape 5.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{4 y y'}{y^{2} - 3} = 1$ .

$\frac{4 y y'}{y^{2} - 3} = 1$

Étape 5.2

Multipliez les deux côtés par $y^{2} - 3$ .

$\frac{4 y y'}{y^{2} - 3} (y^{2} - 3) = 1 (y^{2} - 3)$

Étape 5.3

Simplifiez

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Étape 5.3.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.1.1

Annulez le facteur commun de $y^{2} - 3$ .

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Étape 5.3.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 y y'}{y^{2} - 3} (y^{2} - 3) = 1 (y^{2} - 3)$

Étape 5.3.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$4 y y' = 1 (y^{2} - 3)$

Étape 5.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.2.1

Multipliez $y^{2} - 3$ par $1$ .

$4 y y' = y^{2} - 3$

Étape 5.4

Divisez chaque terme dans $4 y y' = y^{2} - 3$ par $4 y$ et simplifiez.

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Étape 5.4.1

Divisez chaque terme dans $4 y y' = y^{2} - 3$ par $4 y$ .

$\frac{4 y y'}{4 y} = \frac{y^{2}}{4 y} + \frac{- 3}{4 y}$

Étape 5.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.4.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 5.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 y y'}{4 y} = \frac{y^{2}}{4 y} + \frac{- 3}{4 y}$

Étape 5.4.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y y'}{y} = \frac{y^{2}}{4 y} + \frac{- 3}{4 y}$

Étape 5.4.2.2

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 5.4.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y y'}{y} = \frac{y^{2}}{4 y} + \frac{- 3}{4 y}$

Étape 5.4.2.2.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{y^{2}}{4 y} + \frac{- 3}{4 y}$

Étape 5.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.4.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.4.3.1.1

Annulez le facteur commun à $y^{2}$ et $y$ .

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Étape 5.4.3.1.1.1

Factorisez $y$ à partir de $y^{2}$ .

$y' = \frac{y \cdot y}{4 y} + \frac{- 3}{4 y}$

Étape 5.4.3.1.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.4.3.1.1.2.1

Factorisez $y$ à partir de $4 y$ .

$y' = \frac{y \cdot y}{y \cdot 4} + \frac{- 3}{4 y}$

Étape 5.4.3.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$y' = \frac{y \cdot y}{y \cdot 4} + \frac{- 3}{4 y}$

Étape 5.4.3.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$y' = \frac{y}{4} + \frac{- 3}{4 y}$

Étape 5.4.3.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = \frac{y}{4} - \frac{3}{4 y}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{4} - \frac{3}{4 y}$