Calcul infinitésimal Exemples

${(x^{2} - y^{2})}^{3} = 3 a^{4} x^{2}$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d a} ({(x^{2} - y^{2})}^{3}) = \frac{d}{d a} (3 a^{4} x^{2})$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Utilisez le théorème du binôme.

$\frac{d}{d a} [{(x^{2})}^{3} + 3 {(x^{2})}^{2} (- y^{2}) + 3 x^{2} {(- y^{2})}^{2} + {(- y^{2})}^{3}]$

Étape 2.2

Différenciez.

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Étape 2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{3}$ .

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Étape 2.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d a} [x^{2 \cdot 3} + 3 {(x^{2})}^{2} (- y^{2}) + 3 x^{2} {(- y^{2})}^{2} + {(- y^{2})}^{3}]$

Étape 2.2.1.1.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{d}{d a} [x^{6} + 3 {(x^{2})}^{2} (- y^{2}) + 3 x^{2} {(- y^{2})}^{2} + {(- y^{2})}^{3}]$

Étape 2.2.1.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{d}{d a} [x^{6} + 3 \cdot - 1 {(x^{2})}^{2} y^{2} + 3 x^{2} {(- y^{2})}^{2} + {(- y^{2})}^{3}]$

Étape 2.2.1.3

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\frac{d}{d a} [x^{6} - 3 {(x^{2})}^{2} y^{2} + 3 x^{2} {(- y^{2})}^{2} + {(- y^{2})}^{3}]$

Étape 2.2.1.4

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{2}$ .

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Étape 2.2.1.4.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d a} [x^{6} - 3 x^{2 \cdot 2} y^{2} + 3 x^{2} {(- y^{2})}^{2} + {(- y^{2})}^{3}]$

Étape 2.2.1.4.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{d}{d a} [x^{6} - 3 x^{4} y^{2} + 3 x^{2} {(- y^{2})}^{2} + {(- y^{2})}^{3}]$

Étape 2.2.1.5

Appliquez la règle de produit à $- y^{2}$ .

$\frac{d}{d a} [x^{6} - 3 x^{4} y^{2} + 3 x^{2} ({(- 1)}^{2} {(y^{2})}^{2}) + {(- y^{2})}^{3}]$

Étape 2.2.1.6

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{d}{d a} [x^{6} - 3 x^{4} y^{2} + 3 \cdot {(- 1)}^{2} x^{2} {(y^{2})}^{2} + {(- y^{2})}^{3}]$

Étape 2.2.1.7

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$\frac{d}{d a} [x^{6} - 3 x^{4} y^{2} + 3 \cdot 1 x^{2} {(y^{2})}^{2} + {(- y^{2})}^{3}]$

Étape 2.2.1.8

Multipliez $3$ par $1$ .

$\frac{d}{d a} [x^{6} - 3 x^{4} y^{2} + 3 x^{2} {(y^{2})}^{2} + {(- y^{2})}^{3}]$

Étape 2.2.1.9

Multipliez les exposants dans ${(y^{2})}^{2}$ .

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Étape 2.2.1.9.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d a} [x^{6} - 3 x^{4} y^{2} + 3 x^{2} y^{2 \cdot 2} + {(- y^{2})}^{3}]$

Étape 2.2.1.9.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{d}{d a} [x^{6} - 3 x^{4} y^{2} + 3 x^{2} y^{4} + {(- y^{2})}^{3}]$

Étape 2.2.1.10

Appliquez la règle de produit à $- y^{2}$ .

$\frac{d}{d a} [x^{6} - 3 x^{4} y^{2} + 3 x^{2} y^{4} + {(- 1)}^{3} {(y^{2})}^{3}]$

Étape 2.2.1.11

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$\frac{d}{d a} [x^{6} - 3 x^{4} y^{2} + 3 x^{2} y^{4} - {(y^{2})}^{3}]$

Étape 2.2.1.12

Multipliez les exposants dans ${(y^{2})}^{3}$ .

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Étape 2.2.1.12.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d a} [x^{6} - 3 x^{4} y^{2} + 3 x^{2} y^{4} - y^{2 \cdot 3}]$

Étape 2.2.1.12.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{d}{d a} [x^{6} - 3 x^{4} y^{2} + 3 x^{2} y^{4} - y^{6}]$

Étape 2.2.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{6} - 3 x^{4} y^{2} + 3 x^{2} y^{4} - y^{6}$ par rapport à $a$ est $\frac{d}{d a} [x^{6}] + \frac{d}{d a} [- 3 x^{4} y^{2}] + \frac{d}{d a} [3 x^{2} y^{4}] + \frac{d}{d a} [- y^{6}]$ .

$\frac{d}{d a} [x^{6}] + \frac{d}{d a} [- 3 x^{4} y^{2}] + \frac{d}{d a} [3 x^{2} y^{4}] + \frac{d}{d a} [- y^{6}]$

Étape 2.2.3

Comme $x^{6}$ est constant par rapport à $a$ , la dérivée de $x^{6}$ par rapport à $a$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d a} [- 3 x^{4} y^{2}] + \frac{d}{d a} [3 x^{2} y^{4}] + \frac{d}{d a} [- y^{6}]$

Étape 2.2.4

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d a} [- 3 x^{4} y^{2}]$ .

$\frac{d}{d a} [- 3 x^{4} y^{2}] + \frac{d}{d a} [3 x^{2} y^{4}] + \frac{d}{d a} [- y^{6}]$

Étape 2.2.5

Comme $- 3 x^{4}$ est constant par rapport à $a$ , la dérivée de $- 3 x^{4} y^{2}$ par rapport à $a$ est $- 3 x^{4} \frac{d}{d a} [y^{2}]$ .

$- 3 x^{4} \frac{d}{d a} [y^{2}] + \frac{d}{d a} [3 x^{2} y^{4}] + \frac{d}{d a} [- y^{6}]$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d a} [f (g (a))]$ est $f' (g (a)) g' (a)$ où $f (a) = a^{2}$ et $g (a) = y$ .

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Étape 2.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $y$ .

$- 3 x^{4} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d a} [y]) + \frac{d}{d a} [3 x^{2} y^{4}] + \frac{d}{d a} [- y^{6}]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- 3 x^{4} (2 u_{1} \frac{d}{d a} [y]) + \frac{d}{d a} [3 x^{2} y^{4}] + \frac{d}{d a} [- y^{6}]$

Étape 2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $y$ .

$- 3 x^{4} (2 y \frac{d}{d a} [y]) + \frac{d}{d a} [3 x^{2} y^{4}] + \frac{d}{d a} [- y^{6}]$

Étape 2.4

Multipliez $2$ par $- 3$ .

$- 6 x^{4} (y \frac{d}{d a} [y]) + \frac{d}{d a} [3 x^{2} y^{4}] + \frac{d}{d a} [- y^{6}]$

Étape 2.5

Réécrivez $\frac{d}{d a} [y]$ comme $y'$ .

$- 6 x^{4} y y' + \frac{d}{d a} [3 x^{2} y^{4}] + \frac{d}{d a} [- y^{6}]$

Étape 2.6

Comme $3 x^{2}$ est constant par rapport à $a$ , la dérivée de $3 x^{2} y^{4}$ par rapport à $a$ est $3 x^{2} \frac{d}{d a} [y^{4}]$ .

$- 6 x^{4} y y' + 3 x^{2} \frac{d}{d a} [y^{4}] + \frac{d}{d a} [- y^{6}]$

Étape 2.7

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d a} [f (g (a))]$ est $f' (g (a)) g' (a)$ où $f (a) = a^{4}$ et $g (a) = y$ .

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Étape 2.7.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $y$ .

$- 6 x^{4} y y' + 3 x^{2} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{4}] \frac{d}{d a} [y]) + \frac{d}{d a} [- y^{6}]$

Étape 2.7.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ est $n {u_{2}}^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$- 6 x^{4} y y' + 3 x^{2} (4 {u_{2}}^{3} \frac{d}{d a} [y]) + \frac{d}{d a} [- y^{6}]$

Étape 2.7.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $y$ .

$- 6 x^{4} y y' + 3 x^{2} (4 y^{3} \frac{d}{d a} [y]) + \frac{d}{d a} [- y^{6}]$

Étape 2.8

Multipliez $4$ par $3$ .

$- 6 x^{4} y y' + 12 x^{2} (y^{3} \frac{d}{d a} [y]) + \frac{d}{d a} [- y^{6}]$

Étape 2.9

Réécrivez $\frac{d}{d a} [y]$ comme $y'$ .

$- 6 x^{4} y y' + 12 x^{2} y^{3} y' + \frac{d}{d a} [- y^{6}]$

Étape 2.10

Comme $- 1$ est constant par rapport à $a$ , la dérivée de $- y^{6}$ par rapport à $a$ est $- \frac{d}{d a} [y^{6}]$ .

$- 6 x^{4} y y' + 12 x^{2} y^{3} y' - \frac{d}{d a} [y^{6}]$

Étape 2.11

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d a} [f (g (a))]$ est $f' (g (a)) g' (a)$ où $f (a) = a^{6}$ et $g (a) = y$ .

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Étape 2.11.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{3}$ comme $y$ .

$- 6 x^{4} y y' + 12 x^{2} y^{3} y' - (\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{6}] \frac{d}{d a} [y])$

Étape 2.11.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{n}]$ est $n {u_{3}}^{n - 1}$ où $n = 6$ .

$- 6 x^{4} y y' + 12 x^{2} y^{3} y' - (6 {u_{3}}^{5} \frac{d}{d a} [y])$

Étape 2.11.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{3}$ par $y$ .

$- 6 x^{4} y y' + 12 x^{2} y^{3} y' - (6 y^{5} \frac{d}{d a} [y])$

Étape 2.12

Multipliez $6$ par $- 1$ .

$- 6 x^{4} y y' + 12 x^{2} y^{3} y' - 6 (y^{5} \frac{d}{d a} [y])$

Étape 2.13

Réécrivez $\frac{d}{d a} [y]$ comme $y'$ .

$- 6 x^{4} y y' + 12 x^{2} y^{3} y' - 6 y^{5} y'$

Étape 2.14

Remettez les termes dans l’ordre.

$- 6 x^{4} y y' + 12 y^{3} x^{2} y' - 6 y^{5} y'$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Comme $3 x^{2}$ est constant par rapport à $a$ , la dérivée de $3 a^{4} x^{2}$ par rapport à $a$ est $3 x^{2} \frac{d}{d a} [a^{4}]$ .

$3 x^{2} \frac{d}{d a} [a^{4}]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d a} [a^{n}]$ est $n a^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$3 x^{2} (4 a^{3})$

Étape 3.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.3.1

Multipliez $4$ par $3$ .

$12 x^{2} a^{3}$

Étape 3.3.2

Réorganisez les facteurs de $12 x^{2} a^{3}$ .

$12 a^{3} x^{2}$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$- 6 x^{4} y y' + 12 y^{3} x^{2} y' - 6 y^{5} y' = 12 a^{3} x^{2}$

Étape 5

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d a}$ .

$\frac{d y}{d a} = 12 a^{3} x^{2}$