Calcul infinitésimal Exemples

$\sqrt{y} = 2 x^{4} y + \frac{5}{x^{2}}$

Étape 1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{y}$ comme $y^{\frac{1}{2}}$ .

$y^{\frac{1}{2}} = 2 x^{4} y + \frac{5}{x^{2}}$

Étape 2

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (y^{\frac{1}{2}}) = \frac{d}{d x} (2 x^{4} y + \frac{5}{x^{2}})$

Étape 3

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ et $g (x) = y$ .

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Étape 3.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [y]$

Étape 3.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [y]$

Étape 3.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y$ .

$\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [y]$

Étape 3.2

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

Étape 3.3

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

Étape 3.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{2} y^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

Étape 3.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.5.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{1}{2} y^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

Étape 3.5.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} y^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

Étape 3.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{2} y^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

Étape 3.7

Associez $\frac{1}{2}$ et $y^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{y^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [y]$

Étape 3.8

Placez $y^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [y]$

Étape 3.9

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$\frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}} y'$

Étape 3.10

Associez $\frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}$ et $y'$ .

$\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 4.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x^{4} y + \frac{5}{x^{2}}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x^{4} y] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{x^{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{4} y] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{x^{2}}]$

Étape 4.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x^{4} y]$ .

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Étape 4.2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x^{4} y$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x^{4} y]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{4} y] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{x^{2}}]$

Étape 4.2.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{4}$ et $g (x) = y$ .

$2 (x^{4} \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{4}]) + \frac{d}{d x} [\frac{5}{x^{2}}]$

Étape 4.2.3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$2 (x^{4} y' + y \frac{d}{d x} [x^{4}]) + \frac{d}{d x} [\frac{5}{x^{2}}]$

Étape 4.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$2 (x^{4} y' + y (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} [\frac{5}{x^{2}}]$

Étape 4.2.5

Déplacez $4$ à gauche de $y$ .

$2 (x^{4} y' + 4 y x^{3}) + \frac{d}{d x} [\frac{5}{x^{2}}]$

Étape 4.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{5}{x^{2}}]$ .

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Étape 4.3.1

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{5}{x^{2}}$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$2 (x^{4} y' + 4 y x^{3}) + 5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$

Étape 4.3.2

Réécrivez $\frac{1}{x^{2}}$ comme ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$2 (x^{4} y' + 4 y x^{3}) + 5 \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}]$

Étape 4.3.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = x^{2}$ .

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Étape 4.3.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2}$ .

$2 (x^{4} y' + 4 y x^{3}) + 5 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 4.3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$2 (x^{4} y' + 4 y x^{3}) + 5 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 4.3.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2}$ .

$2 (x^{4} y' + 4 y x^{3}) + 5 (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 4.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 (x^{4} y' + 4 y x^{3}) + 5 (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x))$

Étape 4.3.5

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{- 2}$ .

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Étape 4.3.5.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 (x^{4} y' + 4 y x^{3}) + 5 (- x^{2 \cdot - 2} (2 x))$

Étape 4.3.5.2

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$2 (x^{4} y' + 4 y x^{3}) + 5 (- x^{- 4} (2 x))$

Étape 4.3.6

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$2 (x^{4} y' + 4 y x^{3}) + 5 (- 2 x^{- 4} x)$

Étape 4.3.7

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$2 (x^{4} y' + 4 y x^{3}) + 5 (- 2 (x^{1} x^{- 4}))$

Étape 4.3.8

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2 (x^{4} y' + 4 y x^{3}) + 5 (- 2 x^{1 - 4})$

Étape 4.3.9

Soustrayez $4$ de $1$ .

$2 (x^{4} y' + 4 y x^{3}) + 5 (- 2 x^{- 3})$

Étape 4.3.10

Multipliez $- 2$ par $5$ .

$2 (x^{4} y' + 4 y x^{3}) - 10 x^{- 3}$

Étape 4.4

Simplifiez

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Étape 4.4.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 (x^{4} y' + 4 y x^{3}) - 10 \frac{1}{x^{3}}$

Étape 4.4.2

Appliquez la propriété distributive.

$2 (x^{4} y') + 2 (4 y x^{3}) - 10 \frac{1}{x^{3}}$

Étape 4.4.3

Associez des termes.

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Étape 4.4.3.1

Multipliez $4$ par $2$ .

$2 x^{4} y' + 8 (y x^{3}) - 10 \frac{1}{x^{3}}$

Étape 4.4.3.2

Associez $- 10$ et $\frac{1}{x^{3}}$ .

$2 x^{4} y' + 8 y x^{3} + \frac{- 10}{x^{3}}$

Étape 4.4.3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$2 x^{4} y' + 8 y x^{3} - \frac{10}{x^{3}}$

Étape 4.4.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$2 x^{4} y' + 8 x^{3} y - \frac{10}{x^{3}}$

Étape 5

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} = 2 x^{4} y' + 8 x^{3} y - \frac{10}{x^{3}}$

Étape 6

Résolvez $y'$ .

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Étape 6.1

Multipliez les deux côtés par $2 y^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}}) = (2 x^{4} y' + 8 x^{3} y - \frac{10}{x^{3}}) (2 y^{\frac{1}{2}})$

Étape 6.2

Simplifiez

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Étape 6.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.2.1.1

Simplifiez $\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}})$ .

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Étape 6.2.1.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$2 \frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}} = (2 x^{4} y' + 8 x^{3} y - \frac{10}{x^{3}}) (2 y^{\frac{1}{2}})$

Étape 6.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}} = (2 x^{4} y' + 8 x^{3} y - \frac{10}{x^{3}}) (2 y^{\frac{1}{2}})$

Étape 6.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y'}{y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}} = (2 x^{4} y' + 8 x^{3} y - \frac{10}{x^{3}}) (2 y^{\frac{1}{2}})$

Étape 6.2.1.1.3

Annulez le facteur commun de $y^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 6.2.1.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y'}{y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}} = (2 x^{4} y' + 8 x^{3} y - \frac{10}{x^{3}}) (2 y^{\frac{1}{2}})$

Étape 6.2.1.1.3.2

Réécrivez l’expression.

$y' = (2 x^{4} y' + 8 x^{3} y - \frac{10}{x^{3}}) (2 y^{\frac{1}{2}})$

Étape 6.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.2.2.1

Simplifiez $(2 x^{4} y' + 8 x^{3} y - \frac{10}{x^{3}}) (2 y^{\frac{1}{2}})$ .

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Étape 6.2.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$y' = 2 x^{4} y' (2 y^{\frac{1}{2}}) + 8 x^{3} y (2 y^{\frac{1}{2}}) - \frac{10}{x^{3}} (2 y^{\frac{1}{2}})$

Étape 6.2.2.1.2

Simplifiez

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Étape 6.2.2.1.2.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$y' = 4 x^{4} y' y^{\frac{1}{2}} + 8 x^{3} y (2 y^{\frac{1}{2}}) - \frac{10}{x^{3}} (2 y^{\frac{1}{2}})$

Étape 6.2.2.1.2.2

Multipliez $y$ par $y^{\frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.2.2.1.2.2.1

Déplacez $y^{\frac{1}{2}}$ .

$y' = 4 x^{4} y' y^{\frac{1}{2}} + 8 x^{3} (y^{\frac{1}{2}} y) \cdot 2 - \frac{10}{x^{3}} (2 y^{\frac{1}{2}})$

Étape 6.2.2.1.2.2.2

Multipliez $y^{\frac{1}{2}}$ par $y$ .

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Étape 6.2.2.1.2.2.2.1

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$y' = 4 x^{4} y' y^{\frac{1}{2}} + 8 x^{3} (y^{\frac{1}{2}} y^{1}) \cdot 2 - \frac{10}{x^{3}} (2 y^{\frac{1}{2}})$

Étape 6.2.2.1.2.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y' = 4 x^{4} y' y^{\frac{1}{2}} + 8 x^{3} y^{\frac{1}{2} + 1} \cdot 2 - \frac{10}{x^{3}} (2 y^{\frac{1}{2}})$

Étape 6.2.2.1.2.2.3

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$y' = 4 x^{4} y' y^{\frac{1}{2}} + 8 x^{3} y^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}} \cdot 2 - \frac{10}{x^{3}} (2 y^{\frac{1}{2}})$

Étape 6.2.2.1.2.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y' = 4 x^{4} y' y^{\frac{1}{2}} + 8 x^{3} y^{\frac{1 + 2}{2}} \cdot 2 - \frac{10}{x^{3}} (2 y^{\frac{1}{2}})$

Étape 6.2.2.1.2.2.5

Additionnez $1$ et $2$ .

$y' = 4 x^{4} y' y^{\frac{1}{2}} + 8 x^{3} y^{\frac{3}{2}} \cdot 2 - \frac{10}{x^{3}} (2 y^{\frac{1}{2}})$

Étape 6.2.2.1.2.3

Multipliez $- \frac{10}{x^{3}} (2 y^{\frac{1}{2}})$ .

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Étape 6.2.2.1.2.3.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$y' = 4 x^{4} y' y^{\frac{1}{2}} + 8 x^{3} y^{\frac{3}{2}} \cdot 2 - 2 \frac{10}{x^{3}} y^{\frac{1}{2}}$

Étape 6.2.2.1.2.3.2

Associez $- 2$ et $\frac{10}{x^{3}}$ .

$y' = 4 x^{4} y' y^{\frac{1}{2}} + 8 x^{3} y^{\frac{3}{2}} \cdot 2 + \frac{- 2 \cdot 10}{x^{3}} y^{\frac{1}{2}}$

Étape 6.2.2.1.2.3.3

Multipliez $- 2$ par $10$ .

$y' = 4 x^{4} y' y^{\frac{1}{2}} + 8 x^{3} y^{\frac{3}{2}} \cdot 2 + \frac{- 20}{x^{3}} y^{\frac{1}{2}}$

Étape 6.2.2.1.2.3.4

Associez $\frac{- 20}{x^{3}}$ et $y^{\frac{1}{2}}$ .

$y' = 4 x^{4} y' y^{\frac{1}{2}} + 8 x^{3} y^{\frac{3}{2}} \cdot 2 + \frac{- 20 y^{\frac{1}{2}}}{x^{3}}$

Étape 6.2.2.1.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.2.1.3.1

Multipliez $2$ par $8$ .

$y' = 4 x^{4} y' y^{\frac{1}{2}} + 16 x^{3} y^{\frac{3}{2}} + \frac{- 20 y^{\frac{1}{2}}}{x^{3}}$

Étape 6.2.2.1.3.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = 4 x^{4} y' y^{\frac{1}{2}} + 16 x^{3} y^{\frac{3}{2}} - \frac{20 y^{\frac{1}{2}}}{x^{3}}$

Étape 6.2.2.1.4

Déplacez $x^{4}$ .

$y' = 4 y' x^{4} y^{\frac{1}{2}} + 16 x^{3} y^{\frac{3}{2}} - \frac{20 y^{\frac{1}{2}}}{x^{3}}$

Étape 6.3

Résolvez $y'$ .

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Étape 6.3.1

Soustrayez $4 y' x^{4} y^{\frac{1}{2}}$ des deux côtés de l’équation.

$y' - 4 y' x^{4} y^{\frac{1}{2}} = 16 x^{3} y^{\frac{3}{2}} - \frac{20 y^{\frac{1}{2}}}{x^{3}}$

Étape 6.3.2

Déterminez un facteur commun $y^{\frac{1}{2}}$ présent dans chaque terme.

${({y'}^{\frac{1}{2}})}^{2} - 4 {(y' x y^{\frac{1}{2}})}^{9} - 16 {(x y^{\frac{1}{2}})}^{9} + \frac{20 y^{\frac{1}{2}}}{x^{3}}$

Étape 6.3.3

Remplacez $y^{\frac{1}{2}}$ par $u$ .

${({y'}^{\frac{1}{2}})}^{2} - 4 {(y' x u)}^{9} - 16 {(x (u))}^{9} + \frac{20 (u)}{x^{3}} = 0$

Étape 6.3.4

Remplacez $u$ par $y'$ .

${({y'}^{\frac{1}{2}})}^{2} - 4 {(y' x y^{\frac{1}{2}})}^{9} - 16 {(x (y^{\frac{1}{2}}))}^{9} + \frac{20 (y^{\frac{1}{2}})}{x^{3}} = 0$

Étape 6.3.5

Factorisez $y'$ à partir de $y' - 4 y' x^{4} y^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 6.3.5.1

Élevez $y'$ à la puissance $1$ .

$y' - 4 y' x^{4} y^{\frac{1}{2}} = 16 x^{3} y^{\frac{3}{2}} - \frac{20 y^{\frac{1}{2}}}{x^{3}}$

Étape 6.3.5.2

Factorisez $y'$ à partir de ${y'}^{1}$ .

$y' \cdot 1 - 4 y' x^{4} y^{\frac{1}{2}} = 16 x^{3} y^{\frac{3}{2}} - \frac{20 y^{\frac{1}{2}}}{x^{3}}$

Étape 6.3.5.3

Factorisez $y'$ à partir de $- 4 y' x^{4} y^{\frac{1}{2}}$ .

$y' \cdot 1 + y' (- 4 x^{4} y^{\frac{1}{2}}) = 16 x^{3} y^{\frac{3}{2}} - \frac{20 y^{\frac{1}{2}}}{x^{3}}$

Étape 6.3.5.4

Factorisez $y'$ à partir de $y' \cdot 1 + y' (- 4 x^{4} y^{\frac{1}{2}})$ .

$y' (1 - 4 x^{4} y^{\frac{1}{2}}) = 16 x^{3} y^{\frac{3}{2}} - \frac{20 y^{\frac{1}{2}}}{x^{3}}$

Étape 6.3.6

Divisez chaque terme dans $y' (1 - 4 x^{4} y^{\frac{1}{2}}) = 16 x^{3} y^{\frac{3}{2}} - \frac{20 y^{\frac{1}{2}}}{x^{3}}$ par $1 - 4 x^{4} y^{\frac{1}{2}}$ et simplifiez.

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Étape 6.3.6.1

Divisez chaque terme dans $y' (1 - 4 x^{4} y^{\frac{1}{2}}) = 16 x^{3} y^{\frac{3}{2}} - \frac{20 y^{\frac{1}{2}}}{x^{3}}$ par $1 - 4 x^{4} y^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{y' (1 - 4 x^{4} y^{\frac{1}{2}})}{1 - 4 x^{4} y^{\frac{1}{2}}} = \frac{16 x^{3} y^{\frac{3}{2}}}{1 - 4 x^{4} y^{\frac{1}{2}}} + \frac{- \frac{20 y^{\frac{1}{2}}}{x^{3}}}{1 - 4 x^{4} y^{\frac{1}{2}}}$

Étape 6.3.6.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.3.6.2.1

Annulez le facteur commun.

Étape 6.3.6.2.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{16 x^{3} y^{\frac{3}{2}}}{1 - 4 x^{4} y^{\frac{1}{2}}} + \frac{- \frac{20 y^{\frac{1}{2}}}{x^{3}}}{1 - 4 x^{4} y^{\frac{1}{2}}}$

Étape 6.3.6.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.3.6.3.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y' = \frac{16 x^{3} y^{\frac{3}{2}} - \frac{20 y^{\frac{1}{2}}}{x^{3}}}{1 - 4 x^{4} y^{\frac{1}{2}}}$

Étape 6.3.6.3.2

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $x^{3}$ .

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Étape 6.3.6.3.2.1

Multipliez $\frac{16 x^{3} y^{\frac{3}{2}} - \frac{20 y^{\frac{1}{2}}}{x^{3}}}{1 - 4 x^{4} y^{\frac{1}{2}}}$ par $\frac{x^{3}}{x^{3}}$ .

$y' = \frac{x^{3}}{x^{3}} \cdot \frac{16 x^{3} y^{\frac{3}{2}} - \frac{20 y^{\frac{1}{2}}}{x^{3}}}{1 - 4 x^{4} y^{\frac{1}{2}}}$

Étape 6.3.6.3.2.2

Associez.

$y' = \frac{x^{3} (16 x^{3} y^{\frac{3}{2}} - \frac{20 y^{\frac{1}{2}}}{x^{3}})}{x^{3} (1 - 4 x^{4} y^{\frac{1}{2}})}$

Étape 6.3.6.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$y' = \frac{x^{3} (16 x^{3} y^{\frac{3}{2}}) + x^{3} (- \frac{20 y^{\frac{1}{2}}}{x^{3}})}{x^{3} \cdot 1 + x^{3} (- 4 x^{4} y^{\frac{1}{2}})}$

Étape 6.3.6.3.4

Annulez le facteur commun de $x^{3}$ .

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Étape 6.3.6.3.4.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{20 y^{\frac{1}{2}}}{x^{3}}$ dans le numérateur.

$y' = \frac{x^{3} (16 x^{3} y^{\frac{3}{2}}) + x^{3} \frac{- 20 y^{\frac{1}{2}}}{x^{3}}}{x^{3} \cdot 1 + x^{3} (- 4 x^{4} y^{\frac{1}{2}})}$

Étape 6.3.6.3.4.2

Annulez le facteur commun.

$y' = \frac{x^{3} (16 x^{3} y^{\frac{3}{2}}) + x^{3} \frac{- 20 y^{\frac{1}{2}}}{x^{3}}}{x^{3} \cdot 1 + x^{3} (- 4 x^{4} y^{\frac{1}{2}})}$

Étape 6.3.6.3.4.3

Réécrivez l’expression.

$y' = \frac{x^{3} (16 x^{3} y^{\frac{3}{2}}) - 20 y^{\frac{1}{2}}}{x^{3} \cdot 1 + x^{3} (- 4 x^{4} y^{\frac{1}{2}})}$

Étape 6.3.6.3.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.3.6.3.5.1

Factorisez $4 y^{\frac{1}{2}}$ à partir de $x^{3} (16 x^{3} y^{\frac{3}{2}}) - 20 y^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 6.3.6.3.5.1.1

Remettez l’expression dans l’ordre.

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Étape 6.3.6.3.5.1.1.1

Déplacez les parenthèses.

$y' = \frac{x^{3} (16 x^{3}) y^{\frac{3}{2}} - 20 y^{\frac{1}{2}}}{x^{3} \cdot 1 + x^{3} (- 4 x^{4} y^{\frac{1}{2}})}$

Étape 6.3.6.3.5.1.1.2

Remettez dans l’ordre $x^{3}$ et $16$ .

$y' = \frac{16 \cdot x^{3} x^{3} y^{\frac{3}{2}} - 20 y^{\frac{1}{2}}}{x^{3} \cdot 1 + x^{3} (- 4 x^{4} y^{\frac{1}{2}})}$

Étape 6.3.6.3.5.1.2

Factorisez $4 y^{\frac{1}{2}}$ à partir de $16 \cdot x^{3} x^{3} y^{\frac{3}{2}}$ .

$y' = \frac{4 y^{\frac{1}{2}} (4 \cdot x^{3} x^{3} y^{\frac{2}{2}}) - 20 y^{\frac{1}{2}}}{x^{3} \cdot 1 + x^{3} (- 4 x^{4} y^{\frac{1}{2}})}$

Étape 6.3.6.3.5.1.3

Factorisez $4 y^{\frac{1}{2}}$ à partir de $- 20 y^{\frac{1}{2}}$ .

$y' = \frac{4 y^{\frac{1}{2}} (4 \cdot x^{3} x^{3} y^{\frac{2}{2}}) + 4 y^{\frac{1}{2}} (- 5)}{x^{3} \cdot 1 + x^{3} (- 4 x^{4} y^{\frac{1}{2}})}$

Étape 6.3.6.3.5.1.4

Factorisez $4 y^{\frac{1}{2}}$ à partir de $4 y^{\frac{1}{2}} (4 \cdot x^{3} x^{3} y^{\frac{2}{2}}) + 4 y^{\frac{1}{2}} (- 5)$ .

$y' = \frac{4 y^{\frac{1}{2}} (4 \cdot x^{3} x^{3} y^{\frac{2}{2}} - 5)}{x^{3} \cdot 1 + x^{3} (- 4 x^{4} y^{\frac{1}{2}})}$

Étape 6.3.6.3.5.2

Multipliez $x^{3}$ par $x^{3}$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.3.6.3.5.2.1

Déplacez $x^{3}$ .

$y' = \frac{4 y^{\frac{1}{2}} (4 \cdot (x^{3} x^{3}) y^{\frac{2}{2}} - 5)}{x^{3} \cdot 1 + x^{3} (- 4 x^{4} y^{\frac{1}{2}})}$

Étape 6.3.6.3.5.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y' = \frac{4 y^{\frac{1}{2}} (4 \cdot x^{3 + 3} y^{\frac{2}{2}} - 5)}{x^{3} \cdot 1 + x^{3} (- 4 x^{4} y^{\frac{1}{2}})}$

Étape 6.3.6.3.5.2.3

Additionnez $3$ et $3$ .

$y' = \frac{4 y^{\frac{1}{2}} (4 \cdot x^{6} y^{\frac{2}{2}} - 5)}{x^{3} \cdot 1 + x^{3} (- 4 x^{4} y^{\frac{1}{2}})}$

Étape 6.3.6.3.5.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.3.6.3.5.3.1

Divisez $2$ par $2$ .

$y' = \frac{4 y^{\frac{1}{2}} (4 x^{6} y^{1} - 5)}{x^{3} \cdot 1 + x^{3} (- 4 x^{4} y^{\frac{1}{2}})}$

Étape 6.3.6.3.5.3.2

Simplifiez

$y' = \frac{4 y^{\frac{1}{2}} (4 x^{6} y - 5)}{x^{3} \cdot 1 + x^{3} (- 4 x^{4} y^{\frac{1}{2}})}$

Étape 6.3.6.3.6

Factorisez $x^{3}$ à partir de $x^{3} \cdot 1 + x^{3} (- 4 x^{4} y^{\frac{1}{2}})$ .

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Étape 6.3.6.3.6.1

Factorisez $x^{3}$ à partir de $x^{3} \cdot 1$ .

$y' = \frac{4 y^{\frac{1}{2}} (4 x^{6} y - 5)}{x^{3} (1) + x^{3} (- 4 x^{4} y^{\frac{1}{2}})}$

Étape 6.3.6.3.6.2

Factorisez $x^{3}$ à partir de $x^{3} (1) + x^{3} (- 4 x^{4} y^{\frac{1}{2}})$ .

$y' = \frac{4 y^{\frac{1}{2}} (4 x^{6} y - 5)}{x^{3} (1 - 4 x^{4} y^{\frac{1}{2}})}$

Étape 7

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 y^{\frac{1}{2}} (4 x^{6} y - 5)}{x^{3} (1 - 4 x^{4} y^{\frac{1}{2}})}$