Calcul infinitésimal Exemples

$x^{3} - y^{3} = 7$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (x^{3} - y^{3}) = \frac{d}{d x} (7)$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Différenciez.

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Étape 2.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de

$x^{3} - y^{3}$ par rapport à

$x$ est

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$

Étape 2.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est

$n x^{n - 1}$ où

$n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$

Étape 2.2

Évaluez

$\frac{d}{d x} [- y^{3}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme

$- 1$ est constant par rapport à

$x$ , la dérivée de

$- y^{3}$ par rapport à

$x$ est

$- \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$3 x^{2} - \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que

$\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est

$f' (g (x)) g' (x)$ où

$f (x) = x^{3}$ et

$g (x) = y$ .

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Étape 2.2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez

$u$ comme

$y$ .

$3 x^{2} - (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y])$

Étape 2.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que

$\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est

$n u^{n - 1}$ où

$n = 3$ .

$3 x^{2} - (3 u^{2} \frac{d}{d x} [y])$

Étape 2.2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de

$u$ par

$y$ .

$3 x^{2} - (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y])$

Étape 2.2.3

Réécrivez

$\frac{d}{d x} [y]$ comme

$y'$ .

$3 x^{2} - (3 y^{2} y')$

Étape 2.2.4

Multipliez

$3$ par

$- 1$ .

$3 x^{2} - 3 y^{2} y'$

Étape 3

Comme

$7$ est constant par rapport à

$x$ , la dérivée de

$7$ par rapport à

$x$ est

$0$ .

$0$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$3 x^{2} - 3 y^{2} y' = 0$

Étape 5

Résolvez

$y'$ .

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Étape 5.1

Soustrayez

$3 x^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$- 3 y^{2} y' = - 3 x^{2}$

Étape 5.2

Divisez chaque terme dans

$- 3 y^{2} y' = - 3 x^{2}$ par

$- 3 y^{2}$ et simplifiez.

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Étape 5.2.1

Divisez chaque terme dans

$- 3 y^{2} y' = - 3 x^{2}$ par

$- 3 y^{2}$ .

$\frac{- 3 y^{2} y'}{- 3 y^{2}} = \frac{- 3 x^{2}}{- 3 y^{2}}$

Étape 5.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.2.1

Annulez le facteur commun de

$- 3$ .

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Étape 5.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 3 y^{2} y'}{- 3 y^{2}} = \frac{- 3 x^{2}}{- 3 y^{2}}$

Étape 5.2.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y^{2} y'}{y^{2}} = \frac{- 3 x^{2}}{- 3 y^{2}}$

Étape 5.2.2.2

Annulez le facteur commun de

$y^{2}$ .

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Étape 5.2.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y^{2} y'}{y^{2}} = \frac{- 3 x^{2}}{- 3 y^{2}}$

Étape 5.2.2.2.2

Divisez

$y'$ par

$1$ .

$y' = \frac{- 3 x^{2}}{- 3 y^{2}}$

Étape 5.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.2.3.1

Annulez le facteur commun de

$- 3$ .

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Étape 5.2.3.1.1

Annulez le facteur commun.

$y' = \frac{- 3 x^{2}}{- 3 y^{2}}$

Étape 5.2.3.1.2

Réécrivez l’expression.

$y' = \frac{x^{2}}{y^{2}}$

Étape 6

Remplacez

$y'$ par

$\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2}}{y^{2}}$