Calcul infinitésimal Exemples

$6 \sin (x) + \cos (y) = \sin (x) \cos (y)$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (6 \sin (x) + \cos (y)) = \frac{d}{d x} (\sin (x) \cos (y))$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $6 \sin (x) + \cos (y)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [6 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (y)]$ .

$\frac{d}{d x} [6 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (y)]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [6 \sin (x)]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6 \sin (x)$ par rapport à $x$ est $6 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$6 \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (y)]$

Étape 2.2.2

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$6 \cos (x) + \frac{d}{d x} [\cos (y)]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [\cos (y)]$ .

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Étape 2.3.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \cos (x)$ et $g (x) = y$ .

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Étape 2.3.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $y$ .

$6 \cos (x) + \frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [y]$

Étape 2.3.1.2

La dérivée de $\cos (u)$ par rapport à $u$ est $- \sin (u)$ .

$6 \cos (x) - \sin (u) \frac{d}{d x} [y]$

Étape 2.3.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y$ .

$6 \cos (x) - \sin (y) \frac{d}{d x} [y]$

Étape 2.3.2

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$6 \cos (x) - \sin (y) y'$

Étape 2.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$- \sin (y) y' + 6 \cos (x)$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = \cos (y)$ .

$\sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (y)] + \cos (y) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \cos (x)$ et $g (x) = y$ .

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Étape 3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $y$ .

$\sin (x) (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [y]) + \cos (y) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Étape 3.2.2

La dérivée de $\cos (u)$ par rapport à $u$ est $- \sin (u)$ .

$\sin (x) (- \sin (u) \frac{d}{d x} [y]) + \cos (y) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Étape 3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y$ .

$\sin (x) (- \sin (y) \frac{d}{d x} [y]) + \cos (y) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Étape 3.3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$\sin (x) (- \sin (y) y') + \cos (y) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Étape 3.4

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$\sin (x) (- \sin (y) y') + \cos (y) \cos (x)$

Étape 3.5

Remettez les termes dans l’ordre.

$- \sin (x) \sin (y) y' + \cos (x) \cos (y)$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$- \sin (y) y' + 6 \cos (x) = - \sin (x) \sin (y) y' + \cos (x) \cos (y)$

Étape 5

Résolvez $y'$ .

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Étape 5.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.1.1

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $- \sin (y) y' + 6 \cos (x)$ .

$- y' \sin (y) + 6 \cos (x) = - \sin (x) \sin (y) y' + \cos (x) \cos (y)$

Étape 5.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.2.1

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $- \sin (x) \sin (y) y' + \cos (x) \cos (y)$ .

$- y' \sin (y) + 6 \cos (x) = - y' \sin (x) \sin (y) + \cos (x) \cos (y)$

Étape 5.3

Ajoutez $y' \sin (x) \sin (y)$ aux deux côtés de l’équation.

$- y' \sin (y) + 6 \cos (x) + y' \sin (x) \sin (y) = \cos (x) \cos (y)$

Étape 5.4

Soustrayez $6 \cos (x)$ des deux côtés de l’équation.

$- y' \sin (y) + y' \sin (x) \sin (y) = \cos (x) \cos (y) - 6 \cos (x)$

Étape 5.5

Factorisez $y' \sin (y)$ à partir de $- y' \sin (y) + y' \sin (x) \sin (y)$ .

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Étape 5.5.1

Factorisez $y' \sin (y)$ à partir de $- y' \sin (y)$ .

$y' \sin (y) \cdot - 1 + y' \sin (x) \sin (y) = \cos (x) \cos (y) - 6 \cos (x)$

Étape 5.5.2

Factorisez $y' \sin (y)$ à partir de $y' \sin (x) \sin (y)$ .

$y' \sin (y) \cdot - 1 + y' \sin (y) \sin (x) = \cos (x) \cos (y) - 6 \cos (x)$

Étape 5.5.3

Factorisez $y' \sin (y)$ à partir de $y' \sin (y) \cdot - 1 + y' \sin (y) \sin (x)$ .

$y' \sin (y) (- 1 + \sin (x)) = \cos (x) \cos (y) - 6 \cos (x)$

Étape 5.6

Divisez chaque terme dans $y' \sin (y) (- 1 + \sin (x)) = \cos (x) \cos (y) - 6 \cos (x)$ par $\sin (y) (- 1 + \sin (x))$ et simplifiez.

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Étape 5.6.1

Divisez chaque terme dans $y' \sin (y) (- 1 + \sin (x)) = \cos (x) \cos (y) - 6 \cos (x)$ par $\sin (y) (- 1 + \sin (x))$ .

$\frac{y' \sin (y) (- 1 + \sin (x))}{\sin (y) (- 1 + \sin (x))} = \frac{\cos (x) \cos (y)}{\sin (y) (- 1 + \sin (x))} + \frac{- 6 \cos (x)}{\sin (y) (- 1 + \sin (x))}$

Étape 5.6.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.6.2.1

Annulez le facteur commun de $\sin (y)$ .

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Étape 5.6.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y' \sin (y) (- 1 + \sin (x))}{\sin (y) (- 1 + \sin (x))} = \frac{\cos (x) \cos (y)}{\sin (y) (- 1 + \sin (x))} + \frac{- 6 \cos (x)}{\sin (y) (- 1 + \sin (x))}$

Étape 5.6.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y' (- 1 + \sin (x))}{- 1 + \sin (x)} = \frac{\cos (x) \cos (y)}{\sin (y) (- 1 + \sin (x))} + \frac{- 6 \cos (x)}{\sin (y) (- 1 + \sin (x))}$

Étape 5.6.2.2

Annulez le facteur commun de $- 1 + \sin (x)$ .

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Étape 5.6.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y' (- 1 + \sin (x))}{- 1 + \sin (x)} = \frac{\cos (x) \cos (y)}{\sin (y) (- 1 + \sin (x))} + \frac{- 6 \cos (x)}{\sin (y) (- 1 + \sin (x))}$

Étape 5.6.2.2.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{\cos (x) \cos (y)}{\sin (y) (- 1 + \sin (x))} + \frac{- 6 \cos (x)}{\sin (y) (- 1 + \sin (x))}$

Étape 5.6.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.6.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.6.3.1.1

Séparez les fractions.

$y' = \frac{\cos (y)}{- 1 + \sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (y)} + \frac{- 6 \cos (x)}{\sin (y) (- 1 + \sin (x))}$

Étape 5.6.3.1.2

Réécrivez $\frac{\cos (x)}{\sin (y)}$ comme un produit.

$y' = \frac{\cos (y)}{- 1 + \sin (x)} (\cos (x) \frac{1}{\sin (y)}) + \frac{- 6 \cos (x)}{\sin (y) (- 1 + \sin (x))}$

Étape 5.6.3.1.3

Écrivez $\cos (x)$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$y' = \frac{\cos (y)}{- 1 + \sin (x)} (\frac{\cos (x)}{1} \cdot \frac{1}{\sin (y)}) + \frac{- 6 \cos (x)}{\sin (y) (- 1 + \sin (x))}$

Étape 5.6.3.1.4

Simplifiez

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Étape 5.6.3.1.4.1

Divisez $\cos (x)$ par $1$ .

$y' = \frac{\cos (y)}{- 1 + \sin (x)} (\cos (x) \frac{1}{\sin (y)}) + \frac{- 6 \cos (x)}{\sin (y) (- 1 + \sin (x))}$

Étape 5.6.3.1.4.2

Convertissez de $\frac{1}{\sin (y)}$ à $\csc (y)$ .

$y' = \frac{\cos (y)}{- 1 + \sin (x)} (\cos (x) \csc (y)) + \frac{- 6 \cos (x)}{\sin (y) (- 1 + \sin (x))}$

Étape 5.6.3.1.5

Multipliez $\frac{\cos (y)}{- 1 + \sin (x)} (\cos (x) \csc (y))$ .

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Étape 5.6.3.1.5.1

Associez $\cos (x)$ et $\frac{\cos (y)}{- 1 + \sin (x)}$ .

$y' = \frac{\cos (x) \cos (y)}{- 1 + \sin (x)} \csc (y) + \frac{- 6 \cos (x)}{\sin (y) (- 1 + \sin (x))}$

Étape 5.6.3.1.5.2

Associez $\frac{\cos (x) \cos (y)}{- 1 + \sin (x)}$ et $\csc (y)$ .

$y' = \frac{\cos (x) \cos (y) \csc (y)}{- 1 + \sin (x)} + \frac{- 6 \cos (x)}{\sin (y) (- 1 + \sin (x))}$

Étape 5.6.3.1.6

Séparez les fractions.

$y' = \frac{\cos (x) \cos (y) \csc (y)}{- 1 + \sin (x)} + \frac{- 6}{- 1 + \sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (y)}$

Étape 5.6.3.1.7

Réécrivez $\frac{\cos (x)}{\sin (y)}$ comme un produit.

$y' = \frac{\cos (x) \cos (y) \csc (y)}{- 1 + \sin (x)} + \frac{- 6}{- 1 + \sin (x)} (\cos (x) \frac{1}{\sin (y)})$

Étape 5.6.3.1.8

Écrivez $\cos (x)$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$y' = \frac{\cos (x) \cos (y) \csc (y)}{- 1 + \sin (x)} + \frac{- 6}{- 1 + \sin (x)} (\frac{\cos (x)}{1} \cdot \frac{1}{\sin (y)})$

Étape 5.6.3.1.9

Simplifiez

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Étape 5.6.3.1.9.1

Divisez $\cos (x)$ par $1$ .

$y' = \frac{\cos (x) \cos (y) \csc (y)}{- 1 + \sin (x)} + \frac{- 6}{- 1 + \sin (x)} (\cos (x) \frac{1}{\sin (y)})$

Étape 5.6.3.1.9.2

Convertissez de $\frac{1}{\sin (y)}$ à $\csc (y)$ .

$y' = \frac{\cos (x) \cos (y) \csc (y)}{- 1 + \sin (x)} + \frac{- 6}{- 1 + \sin (x)} (\cos (x) \csc (y))$

Étape 5.6.3.1.10

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = \frac{\cos (x) \cos (y) \csc (y)}{- 1 + \sin (x)} - \frac{6}{- 1 + \sin (x)} (\cos (x) \csc (y))$

Étape 5.6.3.1.11

Multipliez $- \frac{6}{- 1 + \sin (x)} (\cos (x) \csc (y))$ .

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Étape 5.6.3.1.11.1

Associez $\cos (x)$ et $\frac{6}{- 1 + \sin (x)}$ .

$y' = \frac{\cos (x) \cos (y) \csc (y)}{- 1 + \sin (x)} - \frac{\cos (x) \cdot 6}{- 1 + \sin (x)} \csc (y)$

Étape 5.6.3.1.11.2

Associez $\csc (y)$ et $\frac{\cos (x) \cdot 6}{- 1 + \sin (x)}$ .

$y' = \frac{\cos (x) \cos (y) \csc (y)}{- 1 + \sin (x)} - \frac{\csc (y) (\cos (x) \cdot 6)}{- 1 + \sin (x)}$

Étape 5.6.3.1.12

Déplacez $6$ à gauche de $\csc (y) \cos (x)$ .

$y' = \frac{\cos (x) \cos (y) \csc (y)}{- 1 + \sin (x)} - \frac{6 \csc (y) \cos (x)}{- 1 + \sin (x)}$

Étape 5.6.3.2

Simplifiez les termes.

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Étape 5.6.3.2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y' = \frac{\cos (x) \cos (y) \csc (y) - 6 \csc (y) \cos (x)}{- 1 + \sin (x)}$

Étape 5.6.3.2.2

Factorisez $\cos (x) \csc (y)$ à partir de $\cos (x) \cos (y) \csc (y) - 6 \csc (y) \cos (x)$ .

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Étape 5.6.3.2.2.1

Factorisez $\cos (x) \csc (y)$ à partir de $\cos (x) \cos (y) \csc (y)$ .

$y' = \frac{\cos (x) \csc (y) (\cos (y)) - 6 \csc (y) \cos (x)}{- 1 + \sin (x)}$

Étape 5.6.3.2.2.2

Factorisez $\cos (x) \csc (y)$ à partir de $- 6 \csc (y) \cos (x)$ .

$y' = \frac{\cos (x) \csc (y) (\cos (y)) + \cos (x) \csc (y) (- 6)}{- 1 + \sin (x)}$

Étape 5.6.3.2.2.3

Factorisez $\cos (x) \csc (y)$ à partir de $\cos (x) \csc (y) (\cos (y)) + \cos (x) \csc (y) (- 6)$ .

$y' = \frac{\cos (x) \csc (y) (\cos (y) - 6)}{- 1 + \sin (x)}$

Étape 5.6.3.2.3

Réécrivez $- 1$ comme $- 1 (1)$ .

$y' = \frac{\cos (x) \csc (y) (\cos (y) - 6)}{- 1 (1) + \sin (x)}$

Étape 5.6.3.2.4

Factorisez $- 1$ à partir de $\sin (x)$ .

$y' = \frac{\cos (x) \csc (y) (\cos (y) - 6)}{- 1 (1) - 1 (- \sin (x))}$

Étape 5.6.3.2.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (1) - 1 (- \sin (x))$ .

$y' = \frac{\cos (x) \csc (y) (\cos (y) - 6)}{- 1 (1 - \sin (x))}$

Étape 5.6.3.2.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{\cos (x) \csc (y) (\cos (y) - 6)}{1 - \sin (x)}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{\cos (x) \csc (y) (\cos (y) - 6)}{1 - \sin (x)}$