Calcul infinitésimal Exemples

$3 x + \ln (y) = x^{2} y^{5}$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (3 x + \ln (y)) = \frac{d}{d x} (x^{2} y^{5})$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x + \ln (y)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [\ln (y)]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [\ln (y)]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\ln (y)]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\ln (y)]$

Étape 2.2.3

Multipliez $3$ par $1$ .

$3 + \frac{d}{d x} [\ln (y)]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [\ln (y)]$ .

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Étape 2.3.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = y$ .

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Étape 2.3.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $y$ .

$3 + \frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [y]$

Étape 2.3.1.2

La dérivée de $\ln (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u}$ .

$3 + \frac{1}{u} \frac{d}{d x} [y]$

Étape 2.3.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y$ .

$3 + \frac{1}{y} \frac{d}{d x} [y]$

Étape 2.3.2

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$3 + \frac{1}{y} y'$

Étape 2.3.3

Associez $\frac{1}{y}$ et $y'$ .

$3 + \frac{y'}{y}$

Étape 2.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{y'}{y} + 3$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = y^{5}$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [y^{5}] + y^{5} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{5}$ et $g (x) = y$ .

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Étape 3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $y$ .

$x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{5}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{5} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 5$ .

$x^{2} (5 u^{4} \frac{d}{d x} [y]) + y^{5} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y$ .

$x^{2} (5 y^{4} \frac{d}{d x} [y]) + y^{5} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 3.3

Déplacez $5$ à gauche de $x^{2}$ .

$5 \cdot x^{2} y^{4} \frac{d}{d x} [y] + y^{5} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 3.4

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$5 x^{2} y^{4} y' + y^{5} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$5 x^{2} y^{4} y' + y^{5} (2 x)$

Étape 3.6

Remettez dans l’ordre.

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Étape 3.6.1

Déplacez $2$ à gauche de $y^{5}$ .

$5 x^{2} y^{4} y' + 2 \cdot y^{5} x$

Étape 3.6.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$5 y^{4} x^{2} y' + 2 y^{5} x$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$\frac{y'}{y} + 3 = 5 y^{4} x^{2} y' + 2 y^{5} x$

Étape 5

Résolvez $y'$ .

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Étape 5.1

Soustrayez $5 y^{4} x^{2} y'$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{y'}{y} + 3 - 5 y^{4} x^{2} y' = 2 y^{5} x$

Étape 5.2

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 5.2.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$y, 1, 1, 1$

Étape 5.2.2

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$y$

Étape 5.3

Multiplier chaque terme dans $\frac{y'}{y} + 3 - 5 y^{4} x^{2} y' = 2 y^{5} x$ par $y$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 5.3.1

Multipliez chaque terme dans $\frac{y'}{y} + 3 - 5 y^{4} x^{2} y' = 2 y^{5} x$ par $y$ .

$\frac{y'}{y} y + 3 y - 5 y^{4} x^{2} y' y = 2 y^{5} x y$

Étape 5.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.2.1.1

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 5.3.2.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y'}{y} y + 3 y - 5 y^{4} x^{2} y' y = 2 y^{5} x y$

Étape 5.3.2.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$y' + 3 y - 5 y^{4} x^{2} y' y = 2 y^{5} x y$

Étape 5.3.2.1.2

Multipliez $y^{4}$ par $y$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.3.2.1.2.1

Déplacez $y$ .

$y' + 3 y - 5 (y \cdot y^{4}) x^{2} y' = 2 y^{5} x y$

Étape 5.3.2.1.2.2

Multipliez $y$ par $y^{4}$ .

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Étape 5.3.2.1.2.2.1

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$y' + 3 y - 5 (y^{1} y^{4}) x^{2} y' = 2 y^{5} x y$

Étape 5.3.2.1.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y' + 3 y - 5 y^{1 + 4} x^{2} y' = 2 y^{5} x y$

Étape 5.3.2.1.2.3

Additionnez $1$ et $4$ .

$y' + 3 y - 5 y^{5} x^{2} y' = 2 y^{5} x y$

Étape 5.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.3.1

Multipliez $y^{5}$ par $y$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.3.3.1.1

Déplacez $y$ .

$y' + 3 y - 5 y^{5} x^{2} y' = 2 (y \cdot y^{5}) x$

Étape 5.3.3.1.2

Multipliez $y$ par $y^{5}$ .

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Étape 5.3.3.1.2.1

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$y' + 3 y - 5 y^{5} x^{2} y' = 2 (y^{1} y^{5}) x$

Étape 5.3.3.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y' + 3 y - 5 y^{5} x^{2} y' = 2 y^{1 + 5} x$

Étape 5.3.3.1.3

Additionnez $1$ et $5$ .

$y' + 3 y - 5 y^{5} x^{2} y' = 2 y^{6} x$

Étape 5.4

Résolvez l’équation.

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Étape 5.4.1

Soustrayez $3 y$ des deux côtés de l’équation.

$y' - 5 y^{5} x^{2} y' = 2 y^{6} x - 3 y$

Étape 5.4.2

Factorisez $y'$ à partir de $y' - 5 y^{5} x^{2} y'$ .

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Étape 5.4.2.1

Factorisez $y'$ à partir de ${y'}^{1}$ .

$y' \cdot 1 - 5 y^{5} x^{2} y' = 2 y^{6} x - 3 y$

Étape 5.4.2.2

Factorisez $y'$ à partir de $- 5 y^{5} x^{2} y'$ .

$y' \cdot 1 + y' (- 5 y^{5} x^{2}) = 2 y^{6} x - 3 y$

Étape 5.4.2.3

Factorisez $y'$ à partir de $y' \cdot 1 + y' (- 5 y^{5} x^{2})$ .

$y' (1 - 5 y^{5} x^{2}) = 2 y^{6} x - 3 y$

Étape 5.4.3

Divisez chaque terme dans $y' (1 - 5 y^{5} x^{2}) = 2 y^{6} x - 3 y$ par $1 - 5 y^{5} x^{2}$ et simplifiez.

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Étape 5.4.3.1

Divisez chaque terme dans $y' (1 - 5 y^{5} x^{2}) = 2 y^{6} x - 3 y$ par $1 - 5 y^{5} x^{2}$ .

$\frac{y' (1 - 5 y^{5} x^{2})}{1 - 5 y^{5} x^{2}} = \frac{2 y^{6} x}{1 - 5 y^{5} x^{2}} + \frac{- 3 y}{1 - 5 y^{5} x^{2}}$

Étape 5.4.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.4.3.2.1

Annulez le facteur commun de $1 - 5 y^{5} x^{2}$ .

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Étape 5.4.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y' (1 - 5 y^{5} x^{2})}{1 - 5 y^{5} x^{2}} = \frac{2 y^{6} x}{1 - 5 y^{5} x^{2}} + \frac{- 3 y}{1 - 5 y^{5} x^{2}}$

Étape 5.4.3.2.1.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{2 y^{6} x}{1 - 5 y^{5} x^{2}} + \frac{- 3 y}{1 - 5 y^{5} x^{2}}$

Étape 5.4.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.4.3.3.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y' = \frac{2 y^{6} x - 3 y}{1 - 5 y^{5} x^{2}}$

Étape 5.4.3.3.2

Factorisez $y$ à partir de $2 y^{6} x - 3 y$ .

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Étape 5.4.3.3.2.1

Factorisez $y$ à partir de $2 y^{6} x$ .

$y' = \frac{y (2 y^{5} x) - 3 y}{1 - 5 y^{5} x^{2}}$

Étape 5.4.3.3.2.2

Factorisez $y$ à partir de $- 3 y$ .

$y' = \frac{y (2 y^{5} x) + y \cdot - 3}{1 - 5 y^{5} x^{2}}$

Étape 5.4.3.3.2.3

Factorisez $y$ à partir de $y (2 y^{5} x) + y \cdot - 3$ .

$y' = \frac{y (2 y^{5} x - 3)}{1 - 5 y^{5} x^{2}}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (2 y^{5} x - 3)}{1 - 5 y^{5} x^{2}}$