Calcul infinitésimal Exemples

$2 x^{3} - 5 x y^{2} = \cos (x y)$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (2 x^{3} - 5 x y^{2}) = \frac{d}{d x} (\cos (x y))$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x^{3} - 5 x y^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x y^{2}]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x^{3}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x y^{2}]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 5 x y^{2}]$

Étape 2.2.3

Multipliez $3$ par $2$ .

$6 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 5 x y^{2}]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 5 x y^{2}]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $- 5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 5 x y^{2}$ par rapport à $x$ est $- 5 \frac{d}{d x} [x y^{2}]$ .

$6 x^{2} - 5 \frac{d}{d x} [x y^{2}]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = y^{2}$ .

$6 x^{2} - 5 (x \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.3.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = y$ .

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Étape 2.3.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $y$ .

$6 x^{2} - 5 (x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$6 x^{2} - 5 (x (2 u \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.3.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y$ .

$6 x^{2} - 5 (x (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.3.4

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$6 x^{2} - 5 (x (2 y y') + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$6 x^{2} - 5 (x (2 y y') + y^{2} \cdot 1)$

Étape 2.3.6

Déplacez $2$ à gauche de $x$ .

$6 x^{2} - 5 (2 \cdot x y y' + y^{2} \cdot 1)$

Étape 2.3.7

Multipliez $y^{2}$ par $1$ .

$6 x^{2} - 5 (2 x y y' + y^{2})$

Étape 2.4

Simplifiez

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Étape 2.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$6 x^{2} - 5 (2 x y y') - 5 y^{2}$

Étape 2.4.2

Multipliez $2$ par $- 5$ .

$6 x^{2} - 10 x y y' - 5 y^{2}$

Étape 2.4.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$6 x^{2} - 5 y^{2} - 10 x y y'$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \cos (x)$ et $g (x) = x y$ .

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Étape 3.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x y$ .

$\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [x y]$

Étape 3.1.2

La dérivée de $\cos (u)$ par rapport à $u$ est $- \sin (u)$ .

$- \sin (u) \frac{d}{d x} [x y]$

Étape 3.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x y$ .

$- \sin (x y) \frac{d}{d x} [x y]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = y$ .

$- \sin (x y) (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$- \sin (x y) (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- \sin (x y) (x y' + y \cdot 1)$

Étape 3.5

Multipliez $y$ par $1$ .

$- \sin (x y) (x y' + y)$

Étape 3.6

Simplifiez

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Étape 3.6.1

Appliquez la propriété distributive.

$- \sin (x y) (x y') - \sin (x y) y$

Étape 3.6.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$- x \sin (x y) y' - y \sin (x y)$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$6 x^{2} - 5 y^{2} - 10 x y y' = - x \sin (x y) y' - y \sin (x y)$

Étape 5

Résolvez $y'$ .

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Étape 5.1

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.1.1

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $- x \sin (x y) y' - y \sin (x y)$ .

$6 x^{2} - 5 y^{2} - 10 x y y' = - x y' \sin (x y) - y \sin (x y)$

Étape 5.2

Ajoutez $x y' \sin (x y)$ aux deux côtés de l’équation.

$6 x^{2} - 5 y^{2} - 10 x y y' + x y' \sin (x y) = - y \sin (x y)$

Étape 5.3

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y'$ du côté droit de l’équation.

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Étape 5.3.1

Soustrayez $6 x^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$- 5 y^{2} - 10 x y y' + x y' \sin (x y) = - y \sin (x y) - 6 x^{2}$

Étape 5.3.2

Ajoutez $5 y^{2}$ aux deux côtés de l’équation.

$- 10 x y y' + x y' \sin (x y) = - y \sin (x y) - 6 x^{2} + 5 y^{2}$

Étape 5.4

Factorisez $x y'$ à partir de $- 10 x y y' + x y' \sin (x y)$ .

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Étape 5.4.1

Factorisez $x y'$ à partir de $- 10 x y y'$ .

$x y' (- 10 y) + x y' \sin (x y) = - y \sin (x y) - 6 x^{2} + 5 y^{2}$

Étape 5.4.2

Factorisez $x y'$ à partir de $x y' \sin (x y)$ .

$x y' (- 10 y) + x y' \sin (x y) = - y \sin (x y) - 6 x^{2} + 5 y^{2}$

Étape 5.4.3

Factorisez $x y'$ à partir de $x y' (- 10 y) + x y' \sin (x y)$ .

$x y' (- 10 y + \sin (x y)) = - y \sin (x y) - 6 x^{2} + 5 y^{2}$

Étape 5.5

Divisez chaque terme dans $x y' (- 10 y + \sin (x y)) = - y \sin (x y) - 6 x^{2} + 5 y^{2}$ par $x (- 10 y + \sin (x y))$ et simplifiez.

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Étape 5.5.1

Divisez chaque terme dans $x y' (- 10 y + \sin (x y)) = - y \sin (x y) - 6 x^{2} + 5 y^{2}$ par $x (- 10 y + \sin (x y))$ .

$\frac{x y' (- 10 y + \sin (x y))}{x (- 10 y + \sin (x y))} = \frac{- y \sin (x y)}{x (- 10 y + \sin (x y))} + \frac{- 6 x^{2}}{x (- 10 y + \sin (x y))} + \frac{5 y^{2}}{x (- 10 y + \sin (x y))}$

Étape 5.5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.5.2.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 5.5.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x y' (- 10 y + \sin (x y))}{x (- 10 y + \sin (x y))} = \frac{- y \sin (x y)}{x (- 10 y + \sin (x y))} + \frac{- 6 x^{2}}{x (- 10 y + \sin (x y))} + \frac{5 y^{2}}{x (- 10 y + \sin (x y))}$

Étape 5.5.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y' (- 10 y + \sin (x y))}{- 10 y + \sin (x y)} = \frac{- y \sin (x y)}{x (- 10 y + \sin (x y))} + \frac{- 6 x^{2}}{x (- 10 y + \sin (x y))} + \frac{5 y^{2}}{x (- 10 y + \sin (x y))}$

Étape 5.5.2.2

Annulez le facteur commun de $- 10 y + \sin (x y)$ .

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Étape 5.5.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y' (- 10 y + \sin (x y))}{- 10 y + \sin (x y)} = \frac{- y \sin (x y)}{x (- 10 y + \sin (x y))} + \frac{- 6 x^{2}}{x (- 10 y + \sin (x y))} + \frac{5 y^{2}}{x (- 10 y + \sin (x y))}$

Étape 5.5.2.2.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{- y \sin (x y)}{x (- 10 y + \sin (x y))} + \frac{- 6 x^{2}}{x (- 10 y + \sin (x y))} + \frac{5 y^{2}}{x (- 10 y + \sin (x y))}$

Étape 5.5.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.5.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.5.3.1.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{y \sin (x y)}{x (- 10 y + \sin (x y))} + \frac{- 6 x^{2}}{x (- 10 y + \sin (x y))} + \frac{5 y^{2}}{x (- 10 y + \sin (x y))}$

Étape 5.5.3.1.2

Annulez le facteur commun à $x^{2}$ et $x$ .

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Étape 5.5.3.1.2.1

Factorisez $x$ à partir de $- 6 x^{2}$ .

$y' = - \frac{y \sin (x y)}{x (- 10 y + \sin (x y))} + \frac{x (- 6 x)}{x (- 10 y + \sin (x y))} + \frac{5 y^{2}}{x (- 10 y + \sin (x y))}$

Étape 5.5.3.1.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.5.3.1.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$y' = - \frac{y \sin (x y)}{x (- 10 y + \sin (x y))} + \frac{x (- 6 x)}{x (- 10 y + \sin (x y))} + \frac{5 y^{2}}{x (- 10 y + \sin (x y))}$

Étape 5.5.3.1.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$y' = - \frac{y \sin (x y)}{x (- 10 y + \sin (x y))} + \frac{- 6 x}{- 10 y + \sin (x y)} + \frac{5 y^{2}}{x (- 10 y + \sin (x y))}$

Étape 5.5.3.1.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{y \sin (x y)}{x (- 10 y + \sin (x y))} - \frac{6 x}{- 10 y + \sin (x y)} + \frac{5 y^{2}}{x (- 10 y + \sin (x y))}$

Étape 5.5.3.2

Pour écrire $- \frac{6 x}{- 10 y + \sin (x y)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x}{x}$ .

$y' = - \frac{y \sin (x y)}{x (- 10 y + \sin (x y))} - \frac{6 x}{- 10 y + \sin (x y)} \cdot \frac{x}{x} + \frac{5 y^{2}}{x (- 10 y + \sin (x y))}$

Étape 5.5.3.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $x (- 10 y + \sin (x y))$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 5.5.3.3.1

Multipliez $\frac{6 x}{- 10 y + \sin (x y)}$ par $\frac{x}{x}$ .

$y' = - \frac{y \sin (x y)}{x (- 10 y + \sin (x y))} - \frac{6 x \cdot x}{(- 10 y + \sin (x y)) x} + \frac{5 y^{2}}{x (- 10 y + \sin (x y))}$

Étape 5.5.3.3.2

Réorganisez les facteurs de $(- 10 y + \sin (x y)) x$ .

$y' = - \frac{y \sin (x y)}{x (- 10 y + \sin (x y))} - \frac{6 x \cdot x}{x (- 10 y + \sin (x y))} + \frac{5 y^{2}}{x (- 10 y + \sin (x y))}$

Étape 5.5.3.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y' = \frac{- y \sin (x y) - 6 x \cdot x}{x (- 10 y + \sin (x y))} + \frac{5 y^{2}}{x (- 10 y + \sin (x y))}$

Étape 5.5.3.5

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.5.3.5.1

Déplacez $x$ .

$y' = \frac{- y \sin (x y) - 6 (x \cdot x)}{x (- 10 y + \sin (x y))} + \frac{5 y^{2}}{x (- 10 y + \sin (x y))}$

Étape 5.5.3.5.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$y' = \frac{- y \sin (x y) - 6 x^{2}}{x (- 10 y + \sin (x y))} + \frac{5 y^{2}}{x (- 10 y + \sin (x y))}$

Étape 5.5.3.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y' = \frac{- y \sin (x y) - 6 x^{2} + 5 y^{2}}{x (- 10 y + \sin (x y))}$

Étape 5.5.3.7

Factorisez $- 1$ à partir de $- y \sin (x y)$ .

$y' = \frac{- (y \sin (x y)) - 6 x^{2} + 5 y^{2}}{x (- 10 y + \sin (x y))}$

Étape 5.5.3.8

Factorisez $- 1$ à partir de $- 6 x^{2}$ .

$y' = \frac{- (y \sin (x y)) - (6 x^{2}) + 5 y^{2}}{x (- 10 y + \sin (x y))}$

Étape 5.5.3.9

Factorisez $- 1$ à partir de $- (y \sin (x y)) - (6 x^{2})$ .

$y' = \frac{- (y \sin (x y) + 6 x^{2}) + 5 y^{2}}{x (- 10 y + \sin (x y))}$

Étape 5.5.3.10

Factorisez $- 1$ à partir de $5 y^{2}$ .

$y' = \frac{- (y \sin (x y) + 6 x^{2}) - (- 5 y^{2})}{x (- 10 y + \sin (x y))}$

Étape 5.5.3.11

Factorisez $- 1$ à partir de $- (y \sin (x y) + 6 x^{2}) - (- 5 y^{2})$ .

$y' = \frac{- (y \sin (x y) + 6 x^{2} - 5 y^{2})}{x (- 10 y + \sin (x y))}$

Étape 5.5.3.12

Réécrivez $- (y \sin (x y) + 6 x^{2} - 5 y^{2})$ comme $- 1 (y \sin (x y) + 6 x^{2} - 5 y^{2})$ .

$y' = \frac{- 1 (y \sin (x y) + 6 x^{2} - 5 y^{2})}{x (- 10 y + \sin (x y))}$

Étape 5.5.3.13

Factorisez $- 1$ à partir de $- 10 y$ .

$y' = \frac{- 1 (y \sin (x y) + 6 x^{2} - 5 y^{2})}{x (- (10 y) + \sin (x y))}$

Étape 5.5.3.14

Factorisez $- 1$ à partir de $\sin (x y)$ .

$y' = \frac{- 1 (y \sin (x y) + 6 x^{2} - 5 y^{2})}{x (- (10 y) - 1 (- \sin (x y)))}$

Étape 5.5.3.15

Factorisez $- 1$ à partir de $- (10 y) - 1 (- \sin (x y))$ .

$y' = \frac{- 1 (y \sin (x y) + 6 x^{2} - 5 y^{2})}{x (- (10 y - \sin (x y)))}$

Étape 5.5.3.16

Réécrivez $- (10 y - \sin (x y))$ comme $- 1 (10 y - \sin (x y))$ .

$y' = \frac{- 1 (y \sin (x y) + 6 x^{2} - 5 y^{2})}{x (- 1 (10 y - \sin (x y)))}$

Étape 5.5.3.17

Annulez le facteur commun.

$y' = \frac{- 1 (y \sin (x y) + 6 x^{2} - 5 y^{2})}{x (- 1 (10 y - \sin (x y)))}$

Étape 5.5.3.18

Réécrivez l’expression.

$y' = \frac{y \sin (x y) + 6 x^{2} - 5 y^{2}}{x (10 y - \sin (x y))}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \sin (x y) + 6 x^{2} - 5 y^{2}}{x (10 y - \sin (x y))}$