Calcul infinitésimal Exemples

$2 x^{2} y - \frac{3}{y} = 0$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (2 x^{2} y - \frac{3}{y}) = \frac{d}{d x} (0)$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x^{2} y - \frac{3}{y}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{y}]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{y}]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x^{2} y]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x^{2} y$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x^{2} y]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{y}]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = y$ .

$2 (x^{2} \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{y}]$

Étape 2.2.3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$2 (x^{2} y' + y \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{y}]$

Étape 2.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 (x^{2} y' + y (2 x)) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{y}]$

Étape 2.2.5

Déplacez $2$ à gauche de $y$ .

$2 (x^{2} y' + 2 y x) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{y}]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \frac{3}{y}]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{3}{y}$ par rapport à $x$ est $- 3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{y}]$ .

$2 (x^{2} y' + 2 y x) - 3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{y}]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = 1$ et $g (x) = y$ .

$2 (x^{2} y' + 2 y x) - 3 \frac{y \frac{d}{d x} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Étape 2.3.3

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$2 (x^{2} y' + 2 y x) - 3 \frac{y \cdot 0 - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Étape 2.3.4

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$2 (x^{2} y' + 2 y x) - 3 \frac{y \cdot 0 - 1 \cdot 1 y'}{y^{2}}$

Étape 2.3.5

Multipliez $y$ par $0$ .

$2 (x^{2} y' + 2 y x) - 3 \frac{0 - 1 \cdot 1 y'}{y^{2}}$

Étape 2.3.6

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$2 (x^{2} y' + 2 y x) - 3 \frac{0 - y'}{y^{2}}$

Étape 2.3.7

Soustrayez $y'$ de $0$ .

$2 (x^{2} y' + 2 y x) - 3 \frac{- y'}{y^{2}}$

Étape 2.3.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$2 (x^{2} y' + 2 y x) - 3 (- \frac{y'}{y^{2}})$

Étape 2.3.9

Multipliez $- 1$ par $- 3$ .

$2 (x^{2} y' + 2 y x) + 3 \frac{y'}{y^{2}}$

Étape 2.3.10

Associez $3$ et $\frac{y'}{y^{2}}$ .

$2 (x^{2} y' + 2 y x) + \frac{3 y'}{y^{2}}$

Étape 2.4

Simplifiez

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Étape 2.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 (x^{2} y') + 2 (2 y x) + \frac{3 y'}{y^{2}}$

Étape 2.4.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$2 x^{2} y' + 4 y x + \frac{3 y'}{y^{2}}$

Étape 2.4.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$2 x^{2} y' + 4 x y + \frac{3 y'}{y^{2}}$

Étape 3

Comme $0$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $0$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$2 x^{2} y' + 4 x y + \frac{3 y'}{y^{2}} = 0$

Étape 5

Résolvez $y'$ .

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Étape 5.1

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 5.1.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$1, 1, y^{2}, 1$

Étape 5.1.2

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$y^{2}$

Étape 5.2

Multiplier chaque terme dans $2 x^{2} y' + 4 x y + \frac{3 y'}{y^{2}} = 0$ par $y^{2}$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 5.2.1

Multipliez chaque terme dans $2 x^{2} y' + 4 x y + \frac{3 y'}{y^{2}} = 0$ par $y^{2}$ .

$2 x^{2} y' y^{2} + 4 x y \cdot y^{2} + \frac{3 y'}{y^{2}} y^{2} = 0 y^{2}$

Étape 5.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.2.1.1

Multipliez $y$ par $y^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.2.2.1.1.1

Déplacez $y^{2}$ .

$2 x^{2} y' y^{2} + 4 x (y^{2} y) + \frac{3 y'}{y^{2}} y^{2} = 0 y^{2}$

Étape 5.2.2.1.1.2

Multipliez $y^{2}$ par $y$ .

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Étape 5.2.2.1.1.2.1

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$2 x^{2} y' y^{2} + 4 x (y^{2} y^{1}) + \frac{3 y'}{y^{2}} y^{2} = 0 y^{2}$

Étape 5.2.2.1.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2 x^{2} y' y^{2} + 4 x y^{2 + 1} + \frac{3 y'}{y^{2}} y^{2} = 0 y^{2}$

Étape 5.2.2.1.1.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$2 x^{2} y' y^{2} + 4 x y^{3} + \frac{3 y'}{y^{2}} y^{2} = 0 y^{2}$

Étape 5.2.2.1.2

Annulez le facteur commun de $y^{2}$ .

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Étape 5.2.2.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$2 x^{2} y' y^{2} + 4 x y^{3} + \frac{3 y'}{y^{2}} y^{2} = 0 y^{2}$

Étape 5.2.2.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$2 x^{2} y' y^{2} + 4 x y^{3} + 3 y' = 0 y^{2}$

Étape 5.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.2.3.1

Multipliez $0$ par $y^{2}$ .

$2 x^{2} y' y^{2} + 4 x y^{3} + 3 y' = 0$

Étape 5.3

Résolvez l’équation.

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Étape 5.3.1

Soustrayez $4 x y^{3}$ des deux côtés de l’équation.

$2 x^{2} y' y^{2} + 3 y' = - 4 x y^{3}$

Étape 5.3.2

Factorisez $y'$ à partir de $2 x^{2} y' y^{2} + 3 y'$ .

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Étape 5.3.2.1

Factorisez $y'$ à partir de $2 x^{2} y' y^{2}$ .

$y' (2 x^{2} y^{2}) + 3 y' = - 4 x y^{3}$

Étape 5.3.2.2

Factorisez $y'$ à partir de $3 y'$ .

$y' (2 x^{2} y^{2}) + y' \cdot 3 = - 4 x y^{3}$

Étape 5.3.2.3

Factorisez $y'$ à partir de $y' (2 x^{2} y^{2}) + y' \cdot 3$ .

$y' (2 x^{2} y^{2} + 3) = - 4 x y^{3}$

Étape 5.3.3

Divisez chaque terme dans $y' (2 x^{2} y^{2} + 3) = - 4 x y^{3}$ par $2 x^{2} y^{2} + 3$ et simplifiez.

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Étape 5.3.3.1

Divisez chaque terme dans $y' (2 x^{2} y^{2} + 3) = - 4 x y^{3}$ par $2 x^{2} y^{2} + 3$ .

$\frac{y' (2 x^{2} y^{2} + 3)}{2 x^{2} y^{2} + 3} = \frac{- 4 x y^{3}}{2 x^{2} y^{2} + 3}$

Étape 5.3.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.3.2.1

Annulez le facteur commun de $2 x^{2} y^{2} + 3$ .

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Étape 5.3.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y' (2 x^{2} y^{2} + 3)}{2 x^{2} y^{2} + 3} = \frac{- 4 x y^{3}}{2 x^{2} y^{2} + 3}$

Étape 5.3.3.2.1.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{- 4 x y^{3}}{2 x^{2} y^{2} + 3}$

Étape 5.3.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.3.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{4 x y^{3}}{2 x^{2} y^{2} + 3}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{4 x y^{3}}{2 x^{2} y^{2} + 3}$