Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{y}{y - x} = x^{2} - 1$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (\frac{y}{y - x}) = \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = y$ et $g (x) = y - x$ .

$\frac{(y - x) \frac{d}{d x} [y] - y \frac{d}{d x} [y - x]}{{(y - x)}^{2}}$

Étape 2.2

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$\frac{(y - x) y' - y \frac{d}{d x} [y - x]}{{(y - x)}^{2}}$

Étape 2.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $y - x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{(y - x) y' - y (\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x])}{{(y - x)}^{2}}$

Étape 2.4

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$\frac{(y - x) y' - y (y' + \frac{d}{d x} [- x])}{{(y - x)}^{2}}$

Étape 2.5

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(y - x) y' - y (y' - \frac{d}{d x} [x])}{{(y - x)}^{2}}$

Étape 2.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{(y - x) y' - y (y' - 1 \cdot 1)}{{(y - x)}^{2}}$

Étape 2.7

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{(y - x) y' - y (y' - 1)}{{(y - x)}^{2}}$

Étape 2.8

Simplifiez

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Étape 2.8.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{y y' - x y' - y (y' - 1)}{{(y - x)}^{2}}$

Étape 2.8.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{y y' - x y' - y y' - y \cdot - 1}{{(y - x)}^{2}}$

Étape 2.8.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.8.3.1

Associez les termes opposés dans $y y' - x y' - y y' - y \cdot - 1$ .

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Étape 2.8.3.1.1

Soustrayez $y y'$ de $y y'$ .

$\frac{- x y' + 0 - y \cdot - 1}{{(y - x)}^{2}}$

Étape 2.8.3.1.2

Additionnez $- x y'$ et $0$ .

$\frac{- x y' - y \cdot - 1}{{(y - x)}^{2}}$

Étape 2.8.3.2

Multipliez $- y \cdot - 1$ .

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Étape 2.8.3.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{- x y' + 1 y}{{(y - x)}^{2}}$

Étape 2.8.3.2.2

Multipliez $y$ par $1$ .

$\frac{- x y' + y}{{(y - x)}^{2}}$

Étape 2.8.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{- x y' + y}{{(- x + y)}^{2}}$

Étape 2.8.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- x y'$ .

$\frac{- (x y') + y}{{(- x + y)}^{2}}$

Étape 2.8.6

Factorisez $- 1$ à partir de $y$ .

$\frac{- (x y') - 1 (- y)}{{(- x + y)}^{2}}$

Étape 2.8.7

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x y') - 1 (- y)$ .

$\frac{- (x y' - y)}{{(- x + y)}^{2}}$

Étape 2.8.8

Réécrivez $- (x y' - y)$ comme $- 1 (x y' - y)$ .

$\frac{- 1 (x y' - y)}{{(- x + y)}^{2}}$

Étape 2.8.9

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{x y' - y}{{(- x + y)}^{2}}$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 3.3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$2 x + 0$

Étape 3.4

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$2 x$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$- \frac{x y' - y}{{(- x + y)}^{2}} = 2 x$

Étape 5

Résolvez $y'$ .

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Étape 5.1

Divisez chaque terme dans $- \frac{x y' - y}{{(- x + y)}^{2}} = 2 x$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 5.1.1

Divisez chaque terme dans $- \frac{x y' - y}{{(- x + y)}^{2}} = 2 x$ par $- 1$ .

$\frac{- \frac{x y' - y}{{(- x + y)}^{2}}}{- 1} = \frac{2 x}{- 1}$

Étape 5.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.1.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{\frac{x y' - y}{{(- x + y)}^{2}}}{1} = \frac{2 x}{- 1}$

Étape 5.1.2.2

Divisez $\frac{x y' - y}{{(- x + y)}^{2}}$ par $1$ .

$\frac{x y' - y}{{(- x + y)}^{2}} = \frac{2 x}{- 1}$

Étape 5.1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.1.3.1

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{2 x}{- 1}$ .

$\frac{x y' - y}{{(- x + y)}^{2}} = - 1 \cdot (2 x)$

Étape 5.1.3.2

Réécrivez $- 1 \cdot (2 x)$ comme $- (2 x)$ .

$\frac{x y' - y}{{(- x + y)}^{2}} = - (2 x)$

Étape 5.1.3.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{x y' - y}{{(- x + y)}^{2}} = - 2 x$

Étape 5.2

Multipliez les deux côtés par ${(- x + y)}^{2}$ .

$\frac{x y' - y}{{(- x + y)}^{2}} {(- x + y)}^{2} = - 2 x {(- x + y)}^{2}$

Étape 5.3

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.1

Simplifiez $\frac{x y' - y}{{(- x + y)}^{2}} {(- x + y)}^{2}$ .

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Étape 5.3.1.1

Annulez le facteur commun de ${(- x + y)}^{2}$ .

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Étape 5.3.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x y' - y}{{(- x + y)}^{2}} {(- x + y)}^{2} = - 2 x {(- x + y)}^{2}$

Étape 5.3.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$x y' - y = - 2 x {(- x + y)}^{2}$

Étape 5.3.1.2

Remettez dans l’ordre $x$ et $y'$ .

$y' x - y = - 2 x {(- x + y)}^{2}$

Étape 5.4

Résolvez $y'$ .

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Étape 5.4.1

Simplifiez $- 2 x {(- x + y)}^{2}$ .

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Étape 5.4.1.1

Réécrivez.

$y' x - y = 0 + 0 - 2 x {(- x + y)}^{2}$

Étape 5.4.1.2

Réécrivez ${(- x + y)}^{2}$ comme $(- x + y) (- x + y)$ .

$y' x - y = - 2 x ((- x + y) (- x + y))$

Étape 5.4.1.3

Développez $(- x + y) (- x + y)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 5.4.1.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$y' x - y = - 2 x (- x (- x + y) + y (- x + y))$

Étape 5.4.1.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$y' x - y = - 2 x (- x (- x) - x y + y (- x + y))$

Étape 5.4.1.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$y' x - y = - 2 x (- x (- x) - x y + y (- x) + y \cdot y)$

Étape 5.4.1.4

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 5.4.1.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.4.1.4.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$y' x - y = - 2 x (- 1 \cdot - 1 x \cdot x - x y + y (- x) + y \cdot y)$

Étape 5.4.1.4.1.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.4.1.4.1.2.1

Déplacez $x$ .

$y' x - y = - 2 x (- 1 \cdot - 1 (x \cdot x) - x y + y (- x) + y \cdot y)$

Étape 5.4.1.4.1.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$y' x - y = - 2 x (- 1 \cdot - 1 x^{2} - x y + y (- x) + y \cdot y)$

Étape 5.4.1.4.1.3

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$y' x - y = - 2 x (1 x^{2} - x y + y (- x) + y \cdot y)$

Étape 5.4.1.4.1.4

Multipliez $x^{2}$ par $1$ .

$y' x - y = - 2 x (x^{2} - x y + y (- x) + y \cdot y)$

Étape 5.4.1.4.1.5

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$y' x - y = - 2 x (x^{2} - x y - y x + y \cdot y)$

Étape 5.4.1.4.1.6

Multipliez $y$ par $y$ .

$y' x - y = - 2 x (x^{2} - x y - y x + y^{2})$

Étape 5.4.1.4.2

Soustrayez $y x$ de $- x y$ .

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Étape 5.4.1.4.2.1

Déplacez $y$ .

$y' x - y = - 2 x (x^{2} - x y - x y + y^{2})$

Étape 5.4.1.4.2.2

Soustrayez $x y$ de $- x y$ .

$y' x - y = - 2 x (x^{2} - 2 x y + y^{2})$

Étape 5.4.1.5

Appliquez la propriété distributive.

$y' x - y = - 2 x \cdot x^{2} - 2 x (- 2 x y) - 2 x y^{2}$

Étape 5.4.1.6

Simplifiez

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Étape 5.4.1.6.1

Multipliez $x$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.4.1.6.1.1

Déplacez $x^{2}$ .

$y' x - y = - 2 (x^{2} x) - 2 x (- 2 x y) - 2 x y^{2}$

Étape 5.4.1.6.1.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ .

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Étape 5.4.1.6.1.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$y' x - y = - 2 (x^{2} x^{1}) - 2 x (- 2 x y) - 2 x y^{2}$

Étape 5.4.1.6.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y' x - y = - 2 x^{2 + 1} - 2 x (- 2 x y) - 2 x y^{2}$

Étape 5.4.1.6.1.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$y' x - y = - 2 x^{3} - 2 x (- 2 x y) - 2 x y^{2}$

Étape 5.4.1.6.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.4.1.6.2.1

Déplacez $x$ .

$y' x - y = - 2 x^{3} - 2 (x \cdot x) (- 2 y) - 2 x y^{2}$

Étape 5.4.1.6.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$y' x - y = - 2 x^{3} - 2 x^{2} (- 2 y) - 2 x y^{2}$

Étape 5.4.1.7

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.4.1.7.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$y' x - y = - 2 x^{3} - 2 \cdot - 2 x^{2} y - 2 x y^{2}$

Étape 5.4.1.7.2

Multipliez $- 2$ par $- 2$ .

$y' x - y = - 2 x^{3} + 4 x^{2} y - 2 x y^{2}$

Étape 5.4.2

Ajoutez $y$ aux deux côtés de l’équation.

$y' x = - 2 x^{3} + 4 x^{2} y - 2 x y^{2} + y$

Étape 5.4.3

Divisez chaque terme dans $y' x = - 2 x^{3} + 4 x^{2} y - 2 x y^{2} + y$ par $x$ et simplifiez.

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Étape 5.4.3.1

Divisez chaque terme dans $y' x = - 2 x^{3} + 4 x^{2} y - 2 x y^{2} + y$ par $x$ .

$\frac{y' x}{x} = \frac{- 2 x^{3}}{x} + \frac{4 x^{2} y}{x} + \frac{- 2 x y^{2}}{x} + \frac{y}{x}$

Étape 5.4.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.4.3.2.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 5.4.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y' x}{x} = \frac{- 2 x^{3}}{x} + \frac{4 x^{2} y}{x} + \frac{- 2 x y^{2}}{x} + \frac{y}{x}$

Étape 5.4.3.2.1.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{- 2 x^{3}}{x} + \frac{4 x^{2} y}{x} + \frac{- 2 x y^{2}}{x} + \frac{y}{x}$

Étape 5.4.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.4.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.4.3.3.1.1

Annulez le facteur commun à $x^{3}$ et $x$ .

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Étape 5.4.3.3.1.1.1

Factorisez $x$ à partir de $- 2 x^{3}$ .

$y' = \frac{x (- 2 x^{2})}{x} + \frac{4 x^{2} y}{x} + \frac{- 2 x y^{2}}{x} + \frac{y}{x}$

Étape 5.4.3.3.1.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.4.3.3.1.1.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$y' = \frac{x (- 2 x^{2})}{x^{1}} + \frac{4 x^{2} y}{x} + \frac{- 2 x y^{2}}{x} + \frac{y}{x}$

Étape 5.4.3.3.1.1.2.2

Factorisez $x$ à partir de $x^{1}$ .

$y' = \frac{x (- 2 x^{2})}{x \cdot 1} + \frac{4 x^{2} y}{x} + \frac{- 2 x y^{2}}{x} + \frac{y}{x}$

Étape 5.4.3.3.1.1.2.3

Annulez le facteur commun.

$y' = \frac{x (- 2 x^{2})}{x \cdot 1} + \frac{4 x^{2} y}{x} + \frac{- 2 x y^{2}}{x} + \frac{y}{x}$

Étape 5.4.3.3.1.1.2.4

Réécrivez l’expression.

$y' = \frac{- 2 x^{2}}{1} + \frac{4 x^{2} y}{x} + \frac{- 2 x y^{2}}{x} + \frac{y}{x}$

Étape 5.4.3.3.1.1.2.5

Divisez $- 2 x^{2}$ par $1$ .

$y' = - 2 x^{2} + \frac{4 x^{2} y}{x} + \frac{- 2 x y^{2}}{x} + \frac{y}{x}$

Étape 5.4.3.3.1.2

Annulez le facteur commun à $x^{2}$ et $x$ .

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Étape 5.4.3.3.1.2.1

Factorisez $x$ à partir de $4 x^{2} y$ .

$y' = - 2 x^{2} + \frac{x (4 x y)}{x} + \frac{- 2 x y^{2}}{x} + \frac{y}{x}$

Étape 5.4.3.3.1.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.4.3.3.1.2.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$y' = - 2 x^{2} + \frac{x (4 x y)}{x^{1}} + \frac{- 2 x y^{2}}{x} + \frac{y}{x}$

Étape 5.4.3.3.1.2.2.2

Factorisez $x$ à partir de $x^{1}$ .

$y' = - 2 x^{2} + \frac{x (4 x y)}{x \cdot 1} + \frac{- 2 x y^{2}}{x} + \frac{y}{x}$

Étape 5.4.3.3.1.2.2.3

Annulez le facteur commun.

$y' = - 2 x^{2} + \frac{x (4 x y)}{x \cdot 1} + \frac{- 2 x y^{2}}{x} + \frac{y}{x}$

Étape 5.4.3.3.1.2.2.4

Réécrivez l’expression.

$y' = - 2 x^{2} + \frac{4 x y}{1} + \frac{- 2 x y^{2}}{x} + \frac{y}{x}$

Étape 5.4.3.3.1.2.2.5

Divisez $4 x y$ par $1$ .

$y' = - 2 x^{2} + 4 x y + \frac{- 2 x y^{2}}{x} + \frac{y}{x}$

Étape 5.4.3.3.1.3

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 5.4.3.3.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$y' = - 2 x^{2} + 4 x y + \frac{- 2 x y^{2}}{x} + \frac{y}{x}$

Étape 5.4.3.3.1.3.2

Divisez $- 2 y^{2}$ par $1$ .

$y' = - 2 x^{2} + 4 x y - 2 y^{2} + \frac{y}{x}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - 2 x^{2} + 4 x y - 2 y^{2} + \frac{y}{x}$