Calcul infinitésimal Exemples

$y^{3} + y^{2} - 5 y - x^{2} = - 4$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (y^{3} + y^{2} - 5 y - x^{2}) = \frac{d}{d x} (- 4)$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $y^{3} + y^{2} - 5 y - x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

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Étape 2.2.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = y$ .

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Étape 2.2.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $y$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Étape 2.2.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Étape 2.2.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $y$ .

$3 y^{2} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Étape 2.2.2

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$3 y^{2} y' + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

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Étape 2.3.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = y$ .

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Étape 2.3.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $y$ .

$3 y^{2} y' + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 5 y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Étape 2.3.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ est $n {u_{2}}^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$3 y^{2} y' + 2 u_{2} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 5 y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Étape 2.3.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $y$ .

$3 y^{2} y' + 2 y \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 5 y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Étape 2.3.2

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$3 y^{2} y' + 2 y y' + \frac{d}{d x} [- 5 y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Étape 2.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 5 y]$ .

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Étape 2.4.1

Comme $- 5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 5 y$ par rapport à $x$ est $- 5 \frac{d}{d x} [y]$ .

$3 y^{2} y' + 2 y y' - 5 \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Étape 2.4.2

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$3 y^{2} y' + 2 y y' - 5 y' + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Étape 2.5

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

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Étape 2.5.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 y^{2} y' + 2 y y' - 5 y' - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2.5.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$3 y^{2} y' + 2 y y' - 5 y' - (2 x)$

Étape 2.5.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$3 y^{2} y' + 2 y y' - 5 y' - 2 x$

Étape 2.6

Remettez les termes dans l’ordre.

$3 y^{2} y' + 2 y y' - 2 x - 5 y'$

Étape 3

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$3 y^{2} y' + 2 y y' - 2 x - 5 y' = 0$

Étape 5

Résolvez $y'$ .

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Étape 5.1

Ajoutez $2 x$ aux deux côtés de l’équation.

$3 y^{2} y' + 2 y y' - 5 y' = 2 x$

Étape 5.2

Factorisez $y'$ à partir de $3 y^{2} y' + 2 y y' - 5 y'$ .

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Étape 5.2.1

Factorisez $y'$ à partir de $3 y^{2} y'$ .

$y' (3 y^{2}) + 2 y y' - 5 y' = 2 x$

Étape 5.2.2

Factorisez $y'$ à partir de $2 y y'$ .

$y' (3 y^{2}) + y' (2 y) - 5 y' = 2 x$

Étape 5.2.3

Factorisez $y'$ à partir de $- 5 y'$ .

$y' (3 y^{2}) + y' (2 y) + y' \cdot - 5 = 2 x$

Étape 5.2.4

Factorisez $y'$ à partir de $y' (3 y^{2}) + y' (2 y)$ .

$y' (3 y^{2} + 2 y) + y' \cdot - 5 = 2 x$

Étape 5.2.5

Factorisez $y'$ à partir de $y' (3 y^{2} + 2 y) + y' \cdot - 5$ .

$y' (3 y^{2} + 2 y - 5) = 2 x$

Étape 5.3

Factorisez.

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Étape 5.3.1

Factorisez par regroupement.

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Étape 5.3.1.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 3 \cdot - 5 = - 15$ et dont la somme est $b = 2$ .

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Étape 5.3.1.1.1

Factorisez $2$ à partir de $2 y$ .

$y' (3 y^{2} + 2 (y) - 5) = 2 x$

Étape 5.3.1.1.2

Réécrivez $2$ comme $- 3$ plus $5$

$y' (3 y^{2} + (- 3 + 5) y - 5) = 2 x$

Étape 5.3.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y' (3 y^{2} - 3 y + 5 y - 5) = 2 x$

Étape 5.3.1.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 5.3.1.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$y' ((3 y^{2} - 3 y) + 5 y - 5) = 2 x$

Étape 5.3.1.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$y' (3 y (y - 1) + 5 (y - 1)) = 2 x$

Étape 5.3.1.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $y - 1$ .

$y' ((y - 1) (3 y + 5)) = 2 x$

Étape 5.3.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$y' (y - 1) (3 y + 5) = 2 x$

Étape 5.4

Divisez chaque terme dans $y' (y - 1) (3 y + 5) = 2 x$ par $(y - 1) (3 y + 5)$ et simplifiez.

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Étape 5.4.1

Divisez chaque terme dans $y' (y - 1) (3 y + 5) = 2 x$ par $(y - 1) (3 y + 5)$ .

$\frac{y' (y - 1) (3 y + 5)}{(y - 1) (3 y + 5)} = \frac{2 x}{(y - 1) (3 y + 5)}$

Étape 5.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.4.2.1

Annulez le facteur commun de $y - 1$ .

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Étape 5.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y' (y - 1) (3 y + 5)}{(y - 1) (3 y + 5)} = \frac{2 x}{(y - 1) (3 y + 5)}$

Étape 5.4.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y' (3 y + 5)}{3 y + 5} = \frac{2 x}{(y - 1) (3 y + 5)}$

Étape 5.4.2.2

Annulez le facteur commun de $3 y + 5$ .

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Étape 5.4.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y' (3 y + 5)}{3 y + 5} = \frac{2 x}{(y - 1) (3 y + 5)}$

Étape 5.4.2.2.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{2 x}{(y - 1) (3 y + 5)}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x}{(y - 1) (3 y + 5)}$