Calcul infinitésimal Exemples

$x^{2} + x y - y^{3} = x y^{2}$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (x^{2} + x y - y^{3}) = \frac{d}{d x} (x y^{2})$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Différenciez.

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Étape 2.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + x y - y^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$

Étape 2.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [x y]$ .

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Étape 2.2.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = y$ .

$2 x + x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$

Étape 2.2.2

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$2 x + x y' + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$

Étape 2.2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 x + x y' + y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$

Étape 2.2.4

Multipliez $y$ par $1$ .

$2 x + x y' + y + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- y^{3}]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- y^{3}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$2 x + x y' + y - \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = y$ .

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Étape 2.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $y$ .

$2 x + x y' + y - (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y])$

Étape 2.3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$2 x + x y' + y - (3 u^{2} \frac{d}{d x} [y])$

Étape 2.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y$ .

$2 x + x y' + y - (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y])$

Étape 2.3.3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$2 x + x y' + y - (3 y^{2} y')$

Étape 2.3.4

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$2 x + x y' + y - 3 y^{2} y'$

Étape 2.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$x y' - 3 y^{2} y' + 2 x + y$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = y^{2}$ .

$x \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = y$ .

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Étape 3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $y$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$x (2 u \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y$ .

$x (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 3.3

Déplacez $2$ à gauche de $x$ .

$2 \cdot x y \frac{d}{d x} [y] + y^{2} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 3.4

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$2 x y y' + y^{2} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 x y y' + y^{2} \cdot 1$

Étape 3.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.6.1

Multipliez $y^{2}$ par $1$ .

$2 x y y' + y^{2}$

Étape 3.6.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$y^{2} + 2 x y y'$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$x y' - 3 y^{2} y' + 2 x + y = y^{2} + 2 x y y'$

Étape 5

Résolvez $y'$ .

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Étape 5.1

Soustrayez $2 x y y'$ des deux côtés de l’équation.

$x y' - 3 y^{2} y' + 2 x + y - 2 x y y' = y^{2}$

Étape 5.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y'$ du côté droit de l’équation.

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Étape 5.2.1

Soustrayez $2 x$ des deux côtés de l’équation.

$x y' - 3 y^{2} y' + y - 2 x y y' = y^{2} - 2 x$

Étape 5.2.2

Soustrayez $y$ des deux côtés de l’équation.

$x y' - 3 y^{2} y' - 2 x y y' = y^{2} - 2 x - y$

Étape 5.3

Factorisez $y'$ à partir de $x y' - 3 y^{2} y' - 2 x y y'$ .

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Étape 5.3.1

Factorisez $y'$ à partir de $x y'$ .

$y' x - 3 y^{2} y' - 2 x y y' = y^{2} - 2 x - y$

Étape 5.3.2

Factorisez $y'$ à partir de $- 3 y^{2} y'$ .

$y' (x) + y' (- 3 y^{2}) - 2 x y y' = y^{2} - 2 x - y$

Étape 5.3.3

Factorisez $y'$ à partir de $- 2 x y y'$ .

$y' (x) + y' (- 3 y^{2}) + y' (- 2 x y) = y^{2} - 2 x - y$

Étape 5.3.4

Factorisez $y'$ à partir de $y' (x) + y' (- 3 y^{2})$ .

$y' (x - 3 y^{2}) + y' (- 2 x y) = y^{2} - 2 x - y$

Étape 5.3.5

Factorisez $y'$ à partir de $y' (x - 3 y^{2}) + y' (- 2 x y)$ .

$y' (x - 3 y^{2} - 2 x y) = y^{2} - 2 x - y$

Étape 5.4

Divisez chaque terme dans $y' (x - 3 y^{2} - 2 x y) = y^{2} - 2 x - y$ par $x - 3 y^{2} - 2 x y$ et simplifiez.

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Étape 5.4.1

Divisez chaque terme dans $y' (x - 3 y^{2} - 2 x y) = y^{2} - 2 x - y$ par $x - 3 y^{2} - 2 x y$ .

$\frac{y' (x - 3 y^{2} - 2 x y)}{x - 3 y^{2} - 2 x y} = \frac{y^{2}}{x - 3 y^{2} - 2 x y} + \frac{- 2 x}{x - 3 y^{2} - 2 x y} + \frac{- y}{x - 3 y^{2} - 2 x y}$

Étape 5.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.4.2.1

Annulez le facteur commun de $x - 3 y^{2} - 2 x y$ .

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Étape 5.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y' (x - 3 y^{2} - 2 x y)}{x - 3 y^{2} - 2 x y} = \frac{y^{2}}{x - 3 y^{2} - 2 x y} + \frac{- 2 x}{x - 3 y^{2} - 2 x y} + \frac{- y}{x - 3 y^{2} - 2 x y}$

Étape 5.4.2.1.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{y^{2}}{x - 3 y^{2} - 2 x y} + \frac{- 2 x}{x - 3 y^{2} - 2 x y} + \frac{- y}{x - 3 y^{2} - 2 x y}$

Étape 5.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.4.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.4.3.1.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = \frac{y^{2}}{x - 3 y^{2} - 2 x y} - \frac{2 x}{x - 3 y^{2} - 2 x y} + \frac{- y}{x - 3 y^{2} - 2 x y}$

Étape 5.4.3.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = \frac{y^{2}}{x - 3 y^{2} - 2 x y} - \frac{2 x}{x - 3 y^{2} - 2 x y} - \frac{y}{x - 3 y^{2} - 2 x y}$

Étape 5.4.3.2

Associez en une fraction.

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Étape 5.4.3.2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y' = \frac{y^{2} - 2 x}{x - 3 y^{2} - 2 x y} - \frac{y}{x - 3 y^{2} - 2 x y}$

Étape 5.4.3.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y' = \frac{y^{2} - 2 x - y}{x - 3 y^{2} - 2 x y}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} - 2 x - y}{x - 3 y^{2} - 2 x y}$