Calcul infinitésimal Exemples

$x^{3} y^{2} - y e^{2 x y} = - 1$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (x^{3} y^{2} - y e^{2 x y}) = \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{3} y^{2} - y e^{2 x y}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{3} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- y e^{2 x y}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- y e^{2 x y}]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [x^{3} y^{2}]$ .

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Étape 2.2.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = y^{2}$ .

$x^{3} \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- y e^{2 x y}]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = y$ .

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Étape 2.2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $y$ .

$x^{3} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- y e^{2 x y}]$

Étape 2.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$x^{3} (2 u_{1} \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- y e^{2 x y}]$

Étape 2.2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $y$ .

$x^{3} (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- y e^{2 x y}]$

Étape 2.2.3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$x^{3} (2 y y') + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- y e^{2 x y}]$

Étape 2.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$x^{3} (2 y y') + y^{2} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- y e^{2 x y}]$

Étape 2.2.5

Déplacez $2$ à gauche de $x^{3}$ .

$2 \cdot x^{3} y y' + y^{2} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- y e^{2 x y}]$

Étape 2.2.6

Déplacez $3$ à gauche de $y^{2}$ .

$2 x^{3} y y' + 3 y^{2} x^{2} + \frac{d}{d x} [- y e^{2 x y}]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- y e^{2 x y}]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- y e^{2 x y}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [y e^{2 x y}]$ .

$2 x^{3} y y' + 3 y^{2} x^{2} - \frac{d}{d x} [y e^{2 x y}]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = y$ et $g (x) = e^{2 x y}$ .

$2 x^{3} y y' + 3 y^{2} x^{2} - (y \frac{d}{d x} [e^{2 x y}] + e^{2 x y} \frac{d}{d x} [y])$

Étape 2.3.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = 2 x y$ .

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Étape 2.3.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $2 x y$ .

$2 x^{3} y y' + 3 y^{2} x^{2} - (y (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [2 x y]) + e^{2 x y} \frac{d}{d x} [y])$

Étape 2.3.3.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ est $a^{u_{2}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$2 x^{3} y y' + 3 y^{2} x^{2} - (y (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [2 x y]) + e^{2 x y} \frac{d}{d x} [y])$

Étape 2.3.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $2 x y$ .

$2 x^{3} y y' + 3 y^{2} x^{2} - (y (e^{2 x y} \frac{d}{d x} [2 x y]) + e^{2 x y} \frac{d}{d x} [y])$

Étape 2.3.4

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x y$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x y]$ .

$2 x^{3} y y' + 3 y^{2} x^{2} - (y (e^{2 x y} (2 \frac{d}{d x} [x y])) + e^{2 x y} \frac{d}{d x} [y])$

Étape 2.3.5

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = y$ .

$2 x^{3} y y' + 3 y^{2} x^{2} - (y (e^{2 x y} (2 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]))) + e^{2 x y} \frac{d}{d x} [y])$

Étape 2.3.6

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$2 x^{3} y y' + 3 y^{2} x^{2} - (y (e^{2 x y} (2 (x y' + y \frac{d}{d x} [x]))) + e^{2 x y} \frac{d}{d x} [y])$

Étape 2.3.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 x^{3} y y' + 3 y^{2} x^{2} - (y (e^{2 x y} (2 (x y' + y \cdot 1))) + e^{2 x y} \frac{d}{d x} [y])$

Étape 2.3.8

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$2 x^{3} y y' + 3 y^{2} x^{2} - (y (e^{2 x y} (2 (x y' + y \cdot 1))) + e^{2 x y} y')$

Étape 2.3.9

Multipliez $y$ par $1$ .

$2 x^{3} y y' + 3 y^{2} x^{2} - (y (e^{2 x y} (2 (x y' + y))) + e^{2 x y} y')$

Étape 2.4

Simplifiez

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Étape 2.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 x^{3} y y' + 3 y^{2} x^{2} - (y (e^{2 x y} (2 (x y') + 2 y)) + e^{2 x y} y')$

Étape 2.4.2

Appliquez la propriété distributive.

$2 x^{3} y y' + 3 y^{2} x^{2} - (y (e^{2 x y} (2 (x y')) + e^{2 x y} (2 y)) + e^{2 x y} y')$

Étape 2.4.3

Appliquez la propriété distributive.

$2 x^{3} y y' + 3 y^{2} x^{2} - (y (e^{2 x y} (2 (x y'))) + y (e^{2 x y} (2 y)) + e^{2 x y} y')$

Étape 2.4.4

Appliquez la propriété distributive.

$2 x^{3} y y' + 3 y^{2} x^{2} - (y (e^{2 x y} (2 (x y')))) - (y (e^{2 x y} (2 y))) - (e^{2 x y} y')$

Étape 2.4.5

Associez des termes.

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Étape 2.4.5.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$2 x^{3} y y' + 3 y^{2} x^{2} - 2 (y (e^{2 x y} (x y'))) - (y (e^{2 x y} (2 y))) - (e^{2 x y} y')$

Étape 2.4.5.2

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$2 x^{3} y y' + 3 y^{2} x^{2} - 2 y (e^{2 x y} (x y')) - (y^{1} y (e^{2 x y} \cdot (2))) - (e^{2 x y} y')$

Étape 2.4.5.3

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$2 x^{3} y y' + 3 y^{2} x^{2} - 2 y (e^{2 x y} (x y')) - (y^{1} y^{1} (e^{2 x y} \cdot (2))) - (e^{2 x y} y')$

Étape 2.4.5.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2 x^{3} y y' + 3 y^{2} x^{2} - 2 y (e^{2 x y} (x y')) - (y^{1 + 1} (e^{2 x y} \cdot (2))) - (e^{2 x y} y')$

Étape 2.4.5.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$2 x^{3} y y' + 3 y^{2} x^{2} - 2 y (e^{2 x y} (x y')) - (y^{2} (e^{2 x y} \cdot (2))) - (e^{2 x y} y')$

Étape 2.4.5.6

Déplacez $2$ à gauche de $e^{2 x y}$ .

$2 x^{3} y y' + 3 y^{2} x^{2} - 2 y (e^{2 x y} (x y')) - (y^{2} (2 \cdot e^{2 x y})) - (e^{2 x y} y')$

Étape 2.4.5.7

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$2 x^{3} y y' + 3 y^{2} x^{2} - 2 y (e^{2 x y} (x y')) - 2 y^{2} e^{2 x y} - e^{2 x y} y'$

Étape 2.4.6

Remettez les termes dans l’ordre.

$2 x^{3} y y' + 3 x^{2} y^{2} - 2 e^{2 x y} x y y' - 2 e^{2 x y} y^{2} - e^{2 x y} y'$

Étape 2.4.7

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $2 x^{3} y y' + 3 x^{2} y^{2} - 2 e^{2 x y} x y y' - 2 e^{2 x y} y^{2} - e^{2 x y} y'$ .

$2 x^{3} y y' + 3 x^{2} y^{2} - 2 x y e^{2 x y} y' - 2 y^{2} e^{2 x y} - e^{2 x y} y'$

Étape 3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$2 x^{3} y y' + 3 x^{2} y^{2} - 2 x y e^{2 x y} y' - 2 y^{2} e^{2 x y} - e^{2 x y} y' = 0$

Étape 5

Résolvez $y'$ .

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Étape 5.1

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $2 x^{3} y y' + 3 x^{2} y^{2} - 2 x y e^{2 x y} y' - 2 y^{2} e^{2 x y} - e^{2 x y} y'$ .

$2 x^{3} y y' + 3 x^{2} y^{2} - 2 x y y' e^{2 x y} - 2 y^{2} e^{2 x y} - y' e^{2 x y} = 0$

Étape 5.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y'$ du côté droit de l’équation.

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Étape 5.2.1

Soustrayez $3 x^{2} y^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$2 x^{3} y y' - 2 x y y' e^{2 x y} - 2 y^{2} e^{2 x y} - y' e^{2 x y} = - 3 x^{2} y^{2}$

Étape 5.2.2

Ajoutez $2 y^{2} e^{2 x y}$ aux deux côtés de l’équation.

$2 x^{3} y y' - 2 x y y' e^{2 x y} - y' e^{2 x y} = - 3 x^{2} y^{2} + 2 y^{2} e^{2 x y}$

Étape 5.3

Factorisez $y'$ à partir de $2 x^{3} y y' - 2 x y y' e^{2 x y} - y' e^{2 x y}$ .

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Étape 5.3.1

Factorisez $y'$ à partir de $2 x^{3} y y'$ .

$y' (2 x^{3} y) - 2 x y y' e^{2 x y} - y' e^{2 x y} = - 3 x^{2} y^{2} + 2 y^{2} e^{2 x y}$

Étape 5.3.2

Factorisez $y'$ à partir de $- 2 x y y' e^{2 x y}$ .

$y' (2 x^{3} y) + y' (- 2 x y e^{2 x y}) - y' e^{2 x y} = - 3 x^{2} y^{2} + 2 y^{2} e^{2 x y}$

Étape 5.3.3

Factorisez $y'$ à partir de $- y' e^{2 x y}$ .

$y' (2 x^{3} y) + y' (- 2 x y e^{2 x y}) + y' (- 1 e^{2 x y}) = - 3 x^{2} y^{2} + 2 y^{2} e^{2 x y}$

Étape 5.3.4

Factorisez $y'$ à partir de $y' (2 x^{3} y) + y' (- 2 x y e^{2 x y})$ .

$y' (2 x^{3} y - 2 x y e^{2 x y}) + y' (- 1 e^{2 x y}) = - 3 x^{2} y^{2} + 2 y^{2} e^{2 x y}$

Étape 5.3.5

Factorisez $y'$ à partir de $y' (2 x^{3} y - 2 x y e^{2 x y}) + y' (- 1 e^{2 x y})$ .

$y' (2 x^{3} y - 2 x y e^{2 x y} - 1 e^{2 x y}) = - 3 x^{2} y^{2} + 2 y^{2} e^{2 x y}$

Étape 5.4

Réécrivez $- 1 e^{2 x y}$ comme $- e^{2 x y}$ .

$y' (2 x^{3} y - 2 x y e^{2 x y} - e^{2 x y}) = - 3 x^{2} y^{2} + 2 y^{2} e^{2 x y}$

Étape 5.5

Divisez chaque terme dans $y' (2 x^{3} y - 2 x y e^{2 x y} - e^{2 x y}) = - 3 x^{2} y^{2} + 2 y^{2} e^{2 x y}$ par $2 x^{3} y - 2 x y e^{2 x y} - e^{2 x y}$ et simplifiez.

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Étape 5.5.1

Divisez chaque terme dans $y' (2 x^{3} y - 2 x y e^{2 x y} - e^{2 x y}) = - 3 x^{2} y^{2} + 2 y^{2} e^{2 x y}$ par $2 x^{3} y - 2 x y e^{2 x y} - e^{2 x y}$ .

$\frac{y' (2 x^{3} y - 2 x y e^{2 x y} - e^{2 x y})}{2 x^{3} y - 2 x y e^{2 x y} - e^{2 x y}} = \frac{- 3 x^{2} y^{2}}{2 x^{3} y - 2 x y e^{2 x y} - e^{2 x y}} + \frac{2 y^{2} e^{2 x y}}{2 x^{3} y - 2 x y e^{2 x y} - e^{2 x y}}$

Étape 5.5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.5.2.1

Annulez le facteur commun de $2 x^{3} y - 2 x y e^{2 x y} - e^{2 x y}$ .

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Étape 5.5.2.1.1

Annulez le facteur commun.

Étape 5.5.2.1.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{- 3 x^{2} y^{2}}{2 x^{3} y - 2 x y e^{2 x y} - e^{2 x y}} + \frac{2 y^{2} e^{2 x y}}{2 x^{3} y - 2 x y e^{2 x y} - e^{2 x y}}$

Étape 5.5.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.5.3.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y' = \frac{- 3 x^{2} y^{2} + 2 y^{2} e^{2 x y}}{2 x^{3} y - 2 x y e^{2 x y} - e^{2 x y}}$

Étape 5.5.3.2

Factorisez $y^{2}$ à partir de $- 3 x^{2} y^{2} + 2 y^{2} e^{2 x y}$ .

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Étape 5.5.3.2.1

Factorisez $y^{2}$ à partir de $- 3 x^{2} y^{2}$ .

$y' = \frac{y^{2} (- 3 x^{2}) + 2 y^{2} e^{2 x y}}{2 x^{3} y - 2 x y e^{2 x y} - e^{2 x y}}$

Étape 5.5.3.2.2

Factorisez $y^{2}$ à partir de $2 y^{2} e^{2 x y}$ .

$y' = \frac{y^{2} (- 3 x^{2}) + y^{2} (2 e^{2 x y})}{2 x^{3} y - 2 x y e^{2 x y} - e^{2 x y}}$

Étape 5.5.3.2.3

Factorisez $y^{2}$ à partir de $y^{2} (- 3 x^{2}) + y^{2} (2 e^{2 x y})$ .

$y' = \frac{y^{2} (- 3 x^{2} + 2 e^{2 x y})}{2 x^{3} y - 2 x y e^{2 x y} - e^{2 x y}}$

Étape 5.5.3.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- 3 x^{2}$ .

$y' = \frac{y^{2} (- (3 x^{2}) + 2 e^{2 x y})}{2 x^{3} y - 2 x y e^{2 x y} - e^{2 x y}}$

Étape 5.5.3.4

Factorisez $- 1$ à partir de $2 e^{2 x y}$ .

$y' = \frac{y^{2} (- (3 x^{2}) - (- 2 e^{2 x y}))}{2 x^{3} y - 2 x y e^{2 x y} - e^{2 x y}}$

Étape 5.5.3.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- (3 x^{2}) - (- 2 e^{2 x y})$ .

$y' = \frac{y^{2} (- (3 x^{2} - 2 e^{2 x y}))}{2 x^{3} y - 2 x y e^{2 x y} - e^{2 x y}}$

Étape 5.5.3.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.5.3.6.1

Réécrivez $- (3 x^{2} - 2 e^{2 x y})$ comme $- 1 (3 x^{2} - 2 e^{2 x y})$ .

$y' = \frac{y^{2} (- 1 (3 x^{2} - 2 e^{2 x y}))}{2 x^{3} y - 2 x y e^{2 x y} - e^{2 x y}}$

Étape 5.5.3.6.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{y^{2} (3 x^{2} - 2 e^{2 x y})}{2 x^{3} y - 2 x y e^{2 x y} - e^{2 x y}}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y^{2} (3 x^{2} - 2 e^{2 x y})}{2 x^{3} y - 2 x y e^{2 x y} - e^{2 x y}}$