Calcul infinitésimal Exemples

$\arctan (2 x^{2} y) = x + 3 x y^{2}$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (\arctan (2 x^{2} y)) = \frac{d}{d x} (x + 3 x y^{2})$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \arctan (x)$ et $g (x) = 2 x^{2} y$ .

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Étape 2.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $2 x^{2} y$ .

$\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [2 x^{2} y]$

Étape 2.1.2

La dérivée de $\arctan (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [2 x^{2} y]$

Étape 2.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x^{2} y$ .

$\frac{1}{1 + {(2 x^{2} y)}^{2}} \frac{d}{d x} [2 x^{2} y]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle multiple constante.

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Étape 2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{2} y$ .

$\frac{1}{1 + {(2 (x^{2} y))}^{2}} \frac{d}{d x} [2 x^{2} y]$

Étape 2.2.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.2.2.1

Appliquez la règle de produit à $2 (x^{2} y)$ .

$\frac{1}{1 + 2^{2} {(x^{2} y)}^{2}} \frac{d}{d x} [2 x^{2} y]$

Étape 2.2.2.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\frac{1}{1 + 4 {(x^{2} y)}^{2}} \frac{d}{d x} [2 x^{2} y]$

Étape 2.2.3

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x^{2} y$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x^{2} y]$ .

$\frac{1}{1 + 4 {(x^{2} y)}^{2}} (2 \frac{d}{d x} [x^{2} y])$

Étape 2.2.4

Associez $2$ et $\frac{1}{1 + 4 {(x^{2} y)}^{2}}$ .

$\frac{2}{1 + 4 {(x^{2} y)}^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} y]$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = y$ .

$\frac{2}{1 + 4 {(x^{2} y)}^{2}} (x^{2} \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 2.4

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$\frac{2}{1 + 4 {(x^{2} y)}^{2}} (x^{2} y' + y \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 2.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{2}{1 + 4 {(x^{2} y)}^{2}} (x^{2} y' + y (2 x))$

Étape 2.6

Déplacez $2$ à gauche de $y$ .

$\frac{2}{1 + 4 {(x^{2} y)}^{2}} (x^{2} y' + 2 \cdot y x)$

Étape 2.7

Simplifiez

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Étape 2.7.1

Appliquez la règle de produit à $x^{2} y$ .

$\frac{2}{1 + 4 ({(x^{2})}^{2} y^{2})} (x^{2} y' + 2 y x)$

Étape 2.7.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{2}$ .

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Étape 2.7.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2}{1 + 4 (x^{2 \cdot 2} y^{2})} (x^{2} y' + 2 y x)$

Étape 2.7.2.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{2}{1 + 4 (x^{4} y^{2})} (x^{2} y' + 2 y x)$

$\frac{2}{1 + 4 x^{4} y^{2}} (x^{2} y' + 2 y x)$

Étape 2.7.3

Réorganisez les facteurs de $\frac{2}{1 + 4 x^{4} y^{2}} (x^{2} y' + 2 y x)$ .

$(x^{2} y' + 2 y x) \frac{2}{1 + 4 x^{4} y^{2}}$

Étape 2.7.4

Multipliez $x^{2} y' + 2 y x$ par $\frac{2}{1 + 4 x^{4} y^{2}}$ .

$\frac{(x^{2} y' + 2 y x) \cdot 2}{1 + 4 x^{4} y^{2}}$

Étape 2.7.5

Factorisez $x$ à partir de $x^{2} y' + 2 y x$ .

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Étape 2.7.5.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2} y'$ .

$\frac{(x (x y') + 2 y x) \cdot 2}{1 + 4 x^{4} y^{2}}$

Étape 2.7.5.2

Factorisez $x$ à partir de $2 y x$ .

$\frac{(x (x y') + x (2 y)) \cdot 2}{1 + 4 x^{4} y^{2}}$

Étape 2.7.5.3

Factorisez $x$ à partir de $x (x y') + x (2 y)$ .

$\frac{x (x y' + 2 y) \cdot 2}{1 + 4 x^{4} y^{2}}$

Étape 2.7.6

Déplacez $2$ à gauche de $x (x y' + 2 y)$ .

$\frac{2 x (x y' + 2 y)}{1 + 4 x^{4} y^{2}}$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Différenciez.

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Étape 3.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 3 x y^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3 x y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3 x y^{2}]$

Étape 3.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [3 x y^{2}]$

Étape 3.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x y^{2}]$ .

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Étape 3.2.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x y^{2}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x y^{2}]$ .

$1 + 3 \frac{d}{d x} [x y^{2}]$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = y^{2}$ .

$1 + 3 (x \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.2.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = y$ .

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Étape 3.2.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $y$ .

$1 + 3 (x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$1 + 3 (x (2 u \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y$ .

$1 + 3 (x (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.2.4

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$1 + 3 (x (2 y y') + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.2.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + 3 (x (2 y y') + y^{2} \cdot 1)$

Étape 3.2.6

Déplacez $2$ à gauche de $x$ .

$1 + 3 (2 \cdot x y y' + y^{2} \cdot 1)$

Étape 3.2.7

Multipliez $y^{2}$ par $1$ .

$1 + 3 (2 x y y' + y^{2})$

Étape 3.3

Simplifiez

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Étape 3.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$1 + 3 (2 x y y') + 3 y^{2}$

Étape 3.3.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$1 + 6 x y y' + 3 y^{2}$

Étape 3.3.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$3 y^{2} + 6 x y y' + 1$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$\frac{2 x (x y' + 2 y)}{1 + 4 x^{4} y^{2}} = 3 y^{2} + 6 x y y' + 1$

Étape 5

Résolvez $y'$ .

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Étape 5.1

Multipliez les deux côtés par $1 + 4 x^{4} y^{2}$ .

$\frac{2 x (x y' + 2 y)}{1 + 4 x^{4} y^{2}} (1 + 4 x^{4} y^{2}) = (3 y^{2} + 6 x y y' + 1) (1 + 4 x^{4} y^{2})$

Étape 5.2

Simplifiez

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Étape 5.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.1.1

Simplifiez $\frac{2 x (x y' + 2 y)}{1 + 4 x^{4} y^{2}} (1 + 4 x^{4} y^{2})$ .

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Étape 5.2.1.1.1

Annulez le facteur commun de $1 + 4 x^{4} y^{2}$ .

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Étape 5.2.1.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x (x y' + 2 y)}{1 + 4 x^{4} y^{2}} (1 + 4 x^{4} y^{2}) = (3 y^{2} + 6 x y y' + 1) (1 + 4 x^{4} y^{2})$

Étape 5.2.1.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$2 x (x y' + 2 y) = (3 y^{2} + 6 x y y' + 1) (1 + 4 x^{4} y^{2})$

Étape 5.2.1.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$2 x (x y') + 2 x (2 y) = (3 y^{2} + 6 x y y' + 1) (1 + 4 x^{4} y^{2})$

Étape 5.2.1.1.3

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.2.1.1.3.1

Déplacez $x$ .

$2 (x \cdot x) y' + 2 x (2 y) = (3 y^{2} + 6 x y y' + 1) (1 + 4 x^{4} y^{2})$

Étape 5.2.1.1.3.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$2 x^{2} y' + 2 x (2 y) = (3 y^{2} + 6 x y y' + 1) (1 + 4 x^{4} y^{2})$

Étape 5.2.1.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$2 x^{2} y' + 2 \cdot 2 x y = (3 y^{2} + 6 x y y' + 1) (1 + 4 x^{4} y^{2})$

Étape 5.2.1.1.5

Multipliez $2$ par $2$ .

$2 x^{2} y' + 4 x y = (3 y^{2} + 6 x y y' + 1) (1 + 4 x^{4} y^{2})$

Étape 5.2.1.1.6

Déplacez $x^{2}$ .

$2 y' x^{2} + 4 x y = (3 y^{2} + 6 x y y' + 1) (1 + 4 x^{4} y^{2})$

Étape 5.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.2.2.1

Simplifiez $(3 y^{2} + 6 x y y' + 1) (1 + 4 x^{4} y^{2})$ .

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Étape 5.2.2.1.1

Développez $(3 y^{2} + 6 x y y' + 1) (1 + 4 x^{4} y^{2})$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$2 y' x^{2} + 4 x y = 3 y^{2} \cdot 1 + 3 y^{2} (4 x^{4} y^{2}) + 6 x y y' \cdot 1 + 6 x y y' (4 x^{4} y^{2}) + 1 \cdot 1 + 1 (4 x^{4} y^{2})$

Étape 5.2.2.1.2

Simplifiez les termes.

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Étape 5.2.2.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.2.1.2.1.1

Multipliez $3$ par $1$ .

$2 y' x^{2} + 4 x y = 3 y^{2} + 3 y^{2} (4 x^{4} y^{2}) + 6 x y y' \cdot 1 + 6 x y y' (4 x^{4} y^{2}) + 1 \cdot 1 + 1 (4 x^{4} y^{2})$

Étape 5.2.2.1.2.1.2

Multipliez $y^{2}$ par $y^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.2.2.1.2.1.2.1

Déplacez $y^{2}$ .

$2 y' x^{2} + 4 x y = 3 y^{2} + 3 (y^{2} y^{2}) (4 x^{4}) + 6 x y y' \cdot 1 + 6 x y y' (4 x^{4} y^{2}) + 1 \cdot 1 + 1 (4 x^{4} y^{2})$

Étape 5.2.2.1.2.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2 y' x^{2} + 4 x y = 3 y^{2} + 3 y^{2 + 2} (4 x^{4}) + 6 x y y' \cdot 1 + 6 x y y' (4 x^{4} y^{2}) + 1 \cdot 1 + 1 (4 x^{4} y^{2})$

Étape 5.2.2.1.2.1.2.3

Additionnez $2$ et $2$ .

$2 y' x^{2} + 4 x y = 3 y^{2} + 3 y^{4} (4 x^{4}) + 6 x y y' \cdot 1 + 6 x y y' (4 x^{4} y^{2}) + 1 \cdot 1 + 1 (4 x^{4} y^{2})$

Étape 5.2.2.1.2.1.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$2 y' x^{2} + 4 x y = 3 y^{2} + 3 \cdot 4 y^{4} x^{4} + 6 x y y' \cdot 1 + 6 x y y' (4 x^{4} y^{2}) + 1 \cdot 1 + 1 (4 x^{4} y^{2})$

Étape 5.2.2.1.2.1.4

Multipliez $3$ par $4$ .

$2 y' x^{2} + 4 x y = 3 y^{2} + 12 y^{4} x^{4} + 6 x y y' \cdot 1 + 6 x y y' (4 x^{4} y^{2}) + 1 \cdot 1 + 1 (4 x^{4} y^{2})$

Étape 5.2.2.1.2.1.5

Multipliez $6$ par $1$ .

$2 y' x^{2} + 4 x y = 3 y^{2} + 12 y^{4} x^{4} + 6 x y y' + 6 x y y' (4 x^{4} y^{2}) + 1 \cdot 1 + 1 (4 x^{4} y^{2})$

Étape 5.2.2.1.2.1.6

Multipliez $x$ par $x^{4}$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.2.2.1.2.1.6.1

Déplacez $x^{4}$ .

$2 y' x^{2} + 4 x y = 3 y^{2} + 12 y^{4} x^{4} + 6 x y y' + 6 (x^{4} x) y y' (4 y^{2}) + 1 \cdot 1 + 1 (4 x^{4} y^{2})$

Étape 5.2.2.1.2.1.6.2

Multipliez $x^{4}$ par $x$ .

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Étape 5.2.2.1.2.1.6.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$2 y' x^{2} + 4 x y = 3 y^{2} + 12 y^{4} x^{4} + 6 x y y' + 6 (x^{4} x^{1}) y y' (4 y^{2}) + 1 \cdot 1 + 1 (4 x^{4} y^{2})$

Étape 5.2.2.1.2.1.6.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2 y' x^{2} + 4 x y = 3 y^{2} + 12 y^{4} x^{4} + 6 x y y' + 6 x^{4 + 1} y y' (4 y^{2}) + 1 \cdot 1 + 1 (4 x^{4} y^{2})$

Étape 5.2.2.1.2.1.6.3

Additionnez $4$ et $1$ .

$2 y' x^{2} + 4 x y = 3 y^{2} + 12 y^{4} x^{4} + 6 x y y' + 6 x^{5} y y' (4 y^{2}) + 1 \cdot 1 + 1 (4 x^{4} y^{2})$

Étape 5.2.2.1.2.1.7

Multipliez $y$ par $y^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.2.2.1.2.1.7.1

Déplacez $y^{2}$ .

$2 y' x^{2} + 4 x y = 3 y^{2} + 12 y^{4} x^{4} + 6 x y y' + 6 x^{5} (y^{2} y) y' \cdot 4 + 1 \cdot 1 + 1 (4 x^{4} y^{2})$

Étape 5.2.2.1.2.1.7.2

Multipliez $y^{2}$ par $y$ .

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Étape 5.2.2.1.2.1.7.2.1

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$2 y' x^{2} + 4 x y = 3 y^{2} + 12 y^{4} x^{4} + 6 x y y' + 6 x^{5} (y^{2} y^{1}) y' \cdot 4 + 1 \cdot 1 + 1 (4 x^{4} y^{2})$

Étape 5.2.2.1.2.1.7.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2 y' x^{2} + 4 x y = 3 y^{2} + 12 y^{4} x^{4} + 6 x y y' + 6 x^{5} y^{2 + 1} y' \cdot 4 + 1 \cdot 1 + 1 (4 x^{4} y^{2})$

Étape 5.2.2.1.2.1.7.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$2 y' x^{2} + 4 x y = 3 y^{2} + 12 y^{4} x^{4} + 6 x y y' + 6 x^{5} y^{3} y' \cdot 4 + 1 \cdot 1 + 1 (4 x^{4} y^{2})$

Étape 5.2.2.1.2.1.8

Multipliez $4$ par $6$ .

$2 y' x^{2} + 4 x y = 3 y^{2} + 12 y^{4} x^{4} + 6 x y y' + 24 x^{5} y^{3} y' + 1 \cdot 1 + 1 (4 x^{4} y^{2})$

Étape 5.2.2.1.2.1.9

Multipliez $1$ par $1$ .

$2 y' x^{2} + 4 x y = 3 y^{2} + 12 y^{4} x^{4} + 6 x y y' + 24 x^{5} y^{3} y' + 1 + 1 (4 x^{4} y^{2})$

Étape 5.2.2.1.2.1.10

Multipliez $4 x^{4} y^{2}$ par $1$ .

$2 y' x^{2} + 4 x y = 3 y^{2} + 12 y^{4} x^{4} + 6 x y y' + 24 x^{5} y^{3} y' + 1 + 4 x^{4} y^{2}$

Étape 5.2.2.1.2.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.2.2.1.2.2.1

Déplacez $y^{4}$ .

$2 y' x^{2} + 4 x y = 3 y^{2} + 12 x^{4} y^{4} + 6 x y y' + 24 x^{5} y^{3} y' + 1 + 4 x^{4} y^{2}$

Étape 5.2.2.1.2.2.2

Déplacez $y$ .

$2 y' x^{2} + 4 x y = 3 y^{2} + 12 x^{4} y^{4} + 6 x y' y + 24 x^{5} y^{3} y' + 1 + 4 x^{4} y^{2}$

Étape 5.2.2.1.2.2.3

Déplacez $x$ .

$2 y' x^{2} + 4 x y = 3 y^{2} + 12 x^{4} y^{4} + 6 y' x y + 24 x^{5} y^{3} y' + 1 + 4 x^{4} y^{2}$

Étape 5.2.2.1.2.2.4

Déplacez $y^{3}$ .

$2 y' x^{2} + 4 x y = 3 y^{2} + 12 x^{4} y^{4} + 6 y' x y + 24 x^{5} y' y^{3} + 1 + 4 x^{4} y^{2}$

Étape 5.2.2.1.2.2.5

Déplacez $x^{5}$ .

$2 y' x^{2} + 4 x y = 3 y^{2} + 12 x^{4} y^{4} + 6 y' x y + 24 y' x^{5} y^{3} + 1 + 4 x^{4} y^{2}$

Étape 5.2.2.1.2.2.6

Déplacez $1$ .

$2 y' x^{2} + 4 x y = 3 y^{2} + 12 x^{4} y^{4} + 6 y' x y + 24 y' x^{5} y^{3} + 4 x^{4} y^{2} + 1$

Étape 5.2.2.1.2.2.7

Déplacez $3 y^{2}$ .

$2 y' x^{2} + 4 x y = 12 x^{4} y^{4} + 6 y' x y + 24 y' x^{5} y^{3} + 4 x^{4} y^{2} + 3 y^{2} + 1$

Étape 5.2.2.1.2.2.8

Déplacez $6 y' x y$ .

$2 y' x^{2} + 4 x y = 12 x^{4} y^{4} + 24 y' x^{5} y^{3} + 4 x^{4} y^{2} + 6 y' x y + 3 y^{2} + 1$

Étape 5.2.2.1.2.2.9

Remettez dans l’ordre $12 x^{4} y^{4}$ et $24 y' x^{5} y^{3}$ .

$2 y' x^{2} + 4 x y = 24 y' x^{5} y^{3} + 12 x^{4} y^{4} + 4 x^{4} y^{2} + 6 y' x y + 3 y^{2} + 1$

Étape 5.3

Résolvez $y'$ .

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Étape 5.3.1

Comme $y'$ est du côté droit de l’équation, inversez les côtés afin de le placer du côté gauche de l’équation.

$24 y' x^{5} y^{3} + 12 x^{4} y^{4} + 4 x^{4} y^{2} + 6 y' x y + 3 y^{2} + 1 = 2 y' x^{2} + 4 x y$

Étape 5.3.2

Soustrayez $2 y' x^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$24 y' x^{5} y^{3} + 12 x^{4} y^{4} + 4 x^{4} y^{2} + 6 y' x y + 3 y^{2} + 1 - 2 y' x^{2} = 4 x y$

Étape 5.3.3

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y'$ du côté droit de l’équation.

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Étape 5.3.3.1

Soustrayez $12 x^{4} y^{4}$ des deux côtés de l’équation.

$24 y' x^{5} y^{3} + 4 x^{4} y^{2} + 6 y' x y + 3 y^{2} + 1 - 2 y' x^{2} = 4 x y - 12 x^{4} y^{4}$

Étape 5.3.3.2

Soustrayez $4 x^{4} y^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$24 y' x^{5} y^{3} + 6 y' x y + 3 y^{2} + 1 - 2 y' x^{2} = 4 x y - 12 x^{4} y^{4} - 4 x^{4} y^{2}$

Étape 5.3.3.3

Soustrayez $3 y^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$24 y' x^{5} y^{3} + 6 y' x y + 1 - 2 y' x^{2} = 4 x y - 12 x^{4} y^{4} - 4 x^{4} y^{2} - 3 y^{2}$

Étape 5.3.3.4

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$24 y' x^{5} y^{3} + 6 y' x y - 2 y' x^{2} = 4 x y - 12 x^{4} y^{4} - 4 x^{4} y^{2} - 3 y^{2} - 1$

Étape 5.3.4

Factorisez $2 y' x$ à partir de $24 y' x^{5} y^{3} + 6 y' x y - 2 y' x^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.4.1

Factorisez $2 y' x$ à partir de $24 y' x^{5} y^{3}$ .

$2 y' x (12 x^{4} y^{3}) + 6 y' x y - 2 y' x^{2} = 4 x y - 12 x^{4} y^{4} - 4 x^{4} y^{2} - 3 y^{2} - 1$

Étape 5.3.4.2

Factorisez $2 y' x$ à partir de $6 y' x y$ .

$2 y' x (12 x^{4} y^{3}) + 2 y' x (3 y) - 2 y' x^{2} = 4 x y - 12 x^{4} y^{4} - 4 x^{4} y^{2} - 3 y^{2} - 1$

Étape 5.3.4.3

Factorisez $2 y' x$ à partir de $- 2 y' x^{2}$ .

$2 y' x (12 x^{4} y^{3}) + 2 y' x (3 y) + 2 y' x (- 1 x) = 4 x y - 12 x^{4} y^{4} - 4 x^{4} y^{2} - 3 y^{2} - 1$

Étape 5.3.4.4

Factorisez $2 y' x$ à partir de $2 y' x (12 x^{4} y^{3}) + 2 y' x (3 y)$ .

$2 y' x (12 x^{4} y^{3} + 3 y) + 2 y' x (- 1 x) = 4 x y - 12 x^{4} y^{4} - 4 x^{4} y^{2} - 3 y^{2} - 1$

Étape 5.3.4.5

Factorisez $2 y' x$ à partir de $2 y' x (12 x^{4} y^{3} + 3 y) + 2 y' x (- 1 x)$ .

$2 y' x (12 x^{4} y^{3} + 3 y - 1 x) = 4 x y - 12 x^{4} y^{4} - 4 x^{4} y^{2} - 3 y^{2} - 1$

Étape 5.3.5

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$2 y' x (12 x^{4} y^{3} + 3 y - x) = 4 x y - 12 x^{4} y^{4} - 4 x^{4} y^{2} - 3 y^{2} - 1$

Étape 5.3.6

Divisez chaque terme dans $2 y' x (12 x^{4} y^{3} + 3 y - x) = 4 x y - 12 x^{4} y^{4} - 4 x^{4} y^{2} - 3 y^{2} - 1$ par $2 x (12 x^{4} y^{3} + 3 y - x)$ et simplifiez.

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Étape 5.3.6.1

Divisez chaque terme dans $2 y' x (12 x^{4} y^{3} + 3 y - x) = 4 x y - 12 x^{4} y^{4} - 4 x^{4} y^{2} - 3 y^{2} - 1$ par $2 x (12 x^{4} y^{3} + 3 y - x)$ .

$\frac{2 y' x (12 x^{4} y^{3} + 3 y - x)}{2 x (12 x^{4} y^{3} + 3 y - x)} = \frac{4 x y}{2 x (12 x^{4} y^{3} + 3 y - x)} + \frac{- 12 x^{4} y^{4}}{2 x (12 x^{4} y^{3} + 3 y - x)} + \frac{- 4 x^{4} y^{2}}{2 x (12 x^{4} y^{3} + 3 y - x)} + \frac{- 3 y^{2}}{2 x (12 x^{4} y^{3} + 3 y - x)} + \frac{- 1}{2 x (12 x^{4} y^{3} + 3 y - x)}$

Étape 5.3.6.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.6.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.3.6.2.1.1

Annulez le facteur commun.

Étape 5.3.6.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y' x (12 x^{4} y^{3} + 3 y - x)}{x (12 x^{4} y^{3} + 3 y - x)} = \frac{4 x y}{2 x (12 x^{4} y^{3} + 3 y - x)} + \frac{- 12 x^{4} y^{4}}{2 x (12 x^{4} y^{3} + 3 y - x)} + \frac{- 4 x^{4} y^{2}}{2 x (12 x^{4} y^{3} + 3 y - x)} + \frac{- 3 y^{2}}{2 x (12 x^{4} y^{3} + 3 y - x)} + \frac{- 1}{2 x (12 x^{4} y^{3} + 3 y - x)}$

Étape 5.3.6.2.2

Annulez le facteur commun de $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.6.2.2.1

Annulez le facteur commun.

Étape 5.3.6.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y' (12 x^{4} y^{3} + 3 y - x)}{12 x^{4} y^{3} + 3 y - x} = \frac{4 x y}{2 x (12 x^{4} y^{3} + 3 y - x)} + \frac{- 12 x^{4} y^{4}}{2 x (12 x^{4} y^{3} + 3 y - x)} + \frac{- 4 x^{4} y^{2}}{2 x (12 x^{4} y^{3} + 3 y - x)} + \frac{- 3 y^{2}}{2 x (12 x^{4} y^{3} + 3 y - x)} + \frac{- 1}{2 x (12 x^{4} y^{3} + 3 y - x)}$

Étape 5.3.6.2.3

Annulez le facteur commun de $12 x^{4} y^{3} + 3 y - x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.6.2.3.1

Annulez le facteur commun.

Étape 5.3.6.2.3.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{4 x y}{2 x (12 x^{4} y^{3} + 3 y - x)} + \frac{- 12 x^{4} y^{4}}{2 x (12 x^{4} y^{3} + 3 y - x)} + \frac{- 4 x^{4} y^{2}}{2 x (12 x^{4} y^{3} + 3 y - x)} + \frac{- 3 y^{2}}{2 x (12 x^{4} y^{3} + 3 y - x)} + \frac{- 1}{2 x (12 x^{4} y^{3} + 3 y - x)}$

Étape 5.3.6.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.6.3.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.6.3.1.1

Annulez le facteur commun à $4$ et $2$ .

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Étape 5.3.6.3.1.1.1

Factorisez $2$ à partir de $4 x y$ .

$y' = \frac{2 (2 x y)}{2 x (12 x^{4} y^{3} + 3 y - x)} + \frac{- 12 x^{4} y^{4}}{2 x (12 x^{4} y^{3} + 3 y - x)} + \frac{- 4 x^{4} y^{2}}{2 x (12 x^{4} y^{3} + 3 y - x)} + \frac{- 3 y^{2}}{2 x (12 x^{4} y^{3} + 3 y - x)} + \frac{- 1}{2 x (12 x^{4} y^{3} + 3 y - x)}$

Étape 5.3.6.3.1.1.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.6.3.1.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x (12 x^{4} y^{3} + 3 y - x)$ .

$y' = \frac{2 (2 x y)}{2 (x (12 x^{4} y^{3} + 3 y - x))} + \frac{- 12 x^{4} y^{4}}{2 x (12 x^{4} y^{3} + 3 y - x)} + \frac{- 4 x^{4} y^{2}}{2 x (12 x^{4} y^{3} + 3 y - x)} + \frac{- 3 y^{2}}{2 x (12 x^{4} y^{3} + 3 y - x)} + \frac{- 1}{2 x (12 x^{4} y^{3} + 3 y - x)}$

Étape 5.3.6.3.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

Étape 5.3.6.3.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$y' = \frac{2 x y}{x (12 x^{4} y^{3} + 3 y - x)} + \frac{- 12 x^{4} y^{4}}{2 x (12 x^{4} y^{3} + 3 y - x)} + \frac{- 4 x^{4} y^{2}}{2 x (12 x^{4} y^{3} + 3 y - x)} + \frac{- 3 y^{2}}{2 x (12 x^{4} y^{3} + 3 y - x)} + \frac{- 1}{2 x (12 x^{4} y^{3} + 3 y - x)}$

Étape 5.3.6.3.1.2

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 5.3.6.3.1.2.1

Annulez le facteur commun.

Étape 5.3.6.3.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$y' = \frac{2 y}{12 x^{4} y^{3} + 3 y - x} + \frac{- 12 x^{4} y^{4}}{2 x (12 x^{4} y^{3} + 3 y - x)} + \frac{- 4 x^{4} y^{2}}{2 x (12 x^{4} y^{3} + 3 y - x)} + \frac{- 3 y^{2}}{2 x (12 x^{4} y^{3} + 3 y - x)} + \frac{- 1}{2 x (12 x^{4} y^{3} + 3 y - x)}$

Étape 5.3.6.3.1.3

Annulez le facteur commun à $- 12$ et $2$ .

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Étape 5.3.6.3.1.3.1

Factorisez $2$ à partir de $- 12 x^{4} y^{4}$ .

$y' = \frac{2 y}{12 x^{4} y^{3} + 3 y - x} + \frac{2 (- 6 x^{4} y^{4})}{2 x (12 x^{4} y^{3} + 3 y - x)} + \frac{- 4 x^{4} y^{2}}{2 x (12 x^{4} y^{3} + 3 y - x)} + \frac{- 3 y^{2}}{2 x (12 x^{4} y^{3} + 3 y - x)} + \frac{- 1}{2 x (12 x^{4} y^{3} + 3 y - x)}$

Étape 5.3.6.3.1.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.3.6.3.1.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x (12 x^{4} y^{3} + 3 y - x)$ .

$y' = \frac{2 y}{12 x^{4} y^{3} + 3 y - x} + \frac{2 (- 6 x^{4} y^{4})}{2 (x (12 x^{4} y^{3} + 3 y - x))} + \frac{- 4 x^{4} y^{2}}{2 x (12 x^{4} y^{3} + 3 y - x)} + \frac{- 3 y^{2}}{2 x (12 x^{4} y^{3} + 3 y - x)} + \frac{- 1}{2 x (12 x^{4} y^{3} + 3 y - x)}$

Étape 5.3.6.3.1.3.2.2

Annulez le facteur commun.

Étape 5.3.6.3.1.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$y' = \frac{2 y}{12 x^{4} y^{3} + 3 y - x} + \frac{- 6 x^{4} y^{4}}{x (12 x^{4} y^{3} + 3 y - x)} + \frac{- 4 x^{4} y^{2}}{2 x (12 x^{4} y^{3} + 3 y - x)} + \frac{- 3 y^{2}}{2 x (12 x^{4} y^{3} + 3 y - x)} + \frac{- 1}{2 x (12 x^{4} y^{3} + 3 y - x)}$

Étape 5.3.6.3.1.4

Annulez le facteur commun à $x^{4}$ et $x$ .

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Étape 5.3.6.3.1.4.1

Factorisez $x$ à partir de $- 6 x^{4} y^{4}$ .

$y' = \frac{2 y}{12 x^{4} y^{3} + 3 y - x} + \frac{x (- 6 x^{3} y^{4})}{x (12 x^{4} y^{3} + 3 y - x)} + \frac{- 4 x^{4} y^{2}}{2 x (12 x^{4} y^{3} + 3 y - x)} + \frac{- 3 y^{2}}{2 x (12 x^{4} y^{3} + 3 y - x)} + \frac{- 1}{2 x (12 x^{4} y^{3} + 3 y - x)}$

Étape 5.3.6.3.1.4.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.6.3.1.4.2.1

Annulez le facteur commun.

Étape 5.3.6.3.1.4.2.2

Réécrivez l’expression.

$y' = \frac{2 y}{12 x^{4} y^{3} + 3 y - x} + \frac{- 6 x^{3} y^{4}}{12 x^{4} y^{3} + 3 y - x} + \frac{- 4 x^{4} y^{2}}{2 x (12 x^{4} y^{3} + 3 y - x)} + \frac{- 3 y^{2}}{2 x (12 x^{4} y^{3} + 3 y - x)} + \frac{- 1}{2 x (12 x^{4} y^{3} + 3 y - x)}$

Étape 5.3.6.3.1.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = \frac{2 y}{12 x^{4} y^{3} + 3 y - x} - \frac{6 x^{3} y^{4}}{12 x^{4} y^{3} + 3 y - x} + \frac{- 4 x^{4} y^{2}}{2 x (12 x^{4} y^{3} + 3 y - x)} + \frac{- 3 y^{2}}{2 x (12 x^{4} y^{3} + 3 y - x)} + \frac{- 1}{2 x (12 x^{4} y^{3} + 3 y - x)}$

Étape 5.3.6.3.1.6

Annulez le facteur commun à $- 4$ et $2$ .

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Étape 5.3.6.3.1.6.1

Factorisez $2$ à partir de $- 4 x^{4} y^{2}$ .

$y' = \frac{2 y}{12 x^{4} y^{3} + 3 y - x} - \frac{6 x^{3} y^{4}}{12 x^{4} y^{3} + 3 y - x} + \frac{2 (- 2 x^{4} y^{2})}{2 x (12 x^{4} y^{3} + 3 y - x)} + \frac{- 3 y^{2}}{2 x (12 x^{4} y^{3} + 3 y - x)} + \frac{- 1}{2 x (12 x^{4} y^{3} + 3 y - x)}$

Étape 5.3.6.3.1.6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.3.6.3.1.6.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x (12 x^{4} y^{3} + 3 y - x)$ .

$y' = \frac{2 y}{12 x^{4} y^{3} + 3 y - x} - \frac{6 x^{3} y^{4}}{12 x^{4} y^{3} + 3 y - x} + \frac{2 (- 2 x^{4} y^{2})}{2 (x (12 x^{4} y^{3} + 3 y - x))} + \frac{- 3 y^{2}}{2 x (12 x^{4} y^{3} + 3 y - x)} + \frac{- 1}{2 x (12 x^{4} y^{3} + 3 y - x)}$

Étape 5.3.6.3.1.6.2.2

Annulez le facteur commun.

Étape 5.3.6.3.1.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$y' = \frac{2 y}{12 x^{4} y^{3} + 3 y - x} - \frac{6 x^{3} y^{4}}{12 x^{4} y^{3} + 3 y - x} + \frac{- 2 x^{4} y^{2}}{x (12 x^{4} y^{3} + 3 y - x)} + \frac{- 3 y^{2}}{2 x (12 x^{4} y^{3} + 3 y - x)} + \frac{- 1}{2 x (12 x^{4} y^{3} + 3 y - x)}$

Étape 5.3.6.3.1.7

Annulez le facteur commun à $x^{4}$ et $x$ .

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Étape 5.3.6.3.1.7.1

Factorisez $x$ à partir de $- 2 x^{4} y^{2}$ .

$y' = \frac{2 y}{12 x^{4} y^{3} + 3 y - x} - \frac{6 x^{3} y^{4}}{12 x^{4} y^{3} + 3 y - x} + \frac{x (- 2 x^{3} y^{2})}{x (12 x^{4} y^{3} + 3 y - x)} + \frac{- 3 y^{2}}{2 x (12 x^{4} y^{3} + 3 y - x)} + \frac{- 1}{2 x (12 x^{4} y^{3} + 3 y - x)}$

Étape 5.3.6.3.1.7.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.3.6.3.1.7.2.1

Annulez le facteur commun.

Étape 5.3.6.3.1.7.2.2

Réécrivez l’expression.

$y' = \frac{2 y}{12 x^{4} y^{3} + 3 y - x} - \frac{6 x^{3} y^{4}}{12 x^{4} y^{3} + 3 y - x} + \frac{- 2 x^{3} y^{2}}{12 x^{4} y^{3} + 3 y - x} + \frac{- 3 y^{2}}{2 x (12 x^{4} y^{3} + 3 y - x)} + \frac{- 1}{2 x (12 x^{4} y^{3} + 3 y - x)}$

Étape 5.3.6.3.1.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = \frac{2 y}{12 x^{4} y^{3} + 3 y - x} - \frac{6 x^{3} y^{4}}{12 x^{4} y^{3} + 3 y - x} - \frac{2 x^{3} y^{2}}{12 x^{4} y^{3} + 3 y - x} + \frac{- 3 y^{2}}{2 x (12 x^{4} y^{3} + 3 y - x)} + \frac{- 1}{2 x (12 x^{4} y^{3} + 3 y - x)}$

Étape 5.3.6.3.1.9

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = \frac{2 y}{12 x^{4} y^{3} + 3 y - x} - \frac{6 x^{3} y^{4}}{12 x^{4} y^{3} + 3 y - x} - \frac{2 x^{3} y^{2}}{12 x^{4} y^{3} + 3 y - x} - \frac{3 y^{2}}{2 x (12 x^{4} y^{3} + 3 y - x)} + \frac{- 1}{2 x (12 x^{4} y^{3} + 3 y - x)}$

Étape 5.3.6.3.1.10

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = \frac{2 y}{12 x^{4} y^{3} + 3 y - x} - \frac{6 x^{3} y^{4}}{12 x^{4} y^{3} + 3 y - x} - \frac{2 x^{3} y^{2}}{12 x^{4} y^{3} + 3 y - x} - \frac{3 y^{2}}{2 x (12 x^{4} y^{3} + 3 y - x)} - \frac{1}{2 x (12 x^{4} y^{3} + 3 y - x)}$

Étape 5.3.6.3.2

Simplifiez les termes.

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Étape 5.3.6.3.2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y' = \frac{2 y - 6 x^{3} y^{4}}{12 x^{4} y^{3} + 3 y - x} - \frac{2 x^{3} y^{2}}{12 x^{4} y^{3} + 3 y - x} - \frac{3 y^{2}}{2 x (12 x^{4} y^{3} + 3 y - x)} - \frac{1}{2 x (12 x^{4} y^{3} + 3 y - x)}$

Étape 5.3.6.3.2.2

Factorisez $2 y$ à partir de $2 y - 6 x^{3} y^{4}$ .

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Étape 5.3.6.3.2.2.1

Factorisez $2 y$ à partir de $2 y$ .

$y' = \frac{2 y (1) - 6 x^{3} y^{4}}{12 x^{4} y^{3} + 3 y - x} - \frac{2 x^{3} y^{2}}{12 x^{4} y^{3} + 3 y - x} - \frac{3 y^{2}}{2 x (12 x^{4} y^{3} + 3 y - x)} - \frac{1}{2 x (12 x^{4} y^{3} + 3 y - x)}$

Étape 5.3.6.3.2.2.2

Factorisez $2 y$ à partir de $- 6 x^{3} y^{4}$ .

$y' = \frac{2 y (1) + 2 y (- 3 x^{3} y^{3})}{12 x^{4} y^{3} + 3 y - x} - \frac{2 x^{3} y^{2}}{12 x^{4} y^{3} + 3 y - x} - \frac{3 y^{2}}{2 x (12 x^{4} y^{3} + 3 y - x)} - \frac{1}{2 x (12 x^{4} y^{3} + 3 y - x)}$

Étape 5.3.6.3.2.2.3

Factorisez $2 y$ à partir de $2 y (1) + 2 y (- 3 x^{3} y^{3})$ .

$y' = \frac{2 y (1 - 3 x^{3} y^{3})}{12 x^{4} y^{3} + 3 y - x} - \frac{2 x^{3} y^{2}}{12 x^{4} y^{3} + 3 y - x} - \frac{3 y^{2}}{2 x (12 x^{4} y^{3} + 3 y - x)} - \frac{1}{2 x (12 x^{4} y^{3} + 3 y - x)}$

Étape 5.3.6.3.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y' = \frac{2 y (1 - 3 x^{3} y^{3}) - 2 x^{3} y^{2}}{12 x^{4} y^{3} + 3 y - x} - \frac{3 y^{2}}{2 x (12 x^{4} y^{3} + 3 y - x)} - \frac{1}{2 x (12 x^{4} y^{3} + 3 y - x)}$

Étape 5.3.6.3.2.4

Factorisez $2 y$ à partir de $2 y (1 - 3 x^{3} y^{3}) - 2 x^{3} y^{2}$ .

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Étape 5.3.6.3.2.4.1

Factorisez $2 y$ à partir de $- 2 x^{3} y^{2}$ .

$y' = \frac{2 y (1 - 3 x^{3} y^{3}) + 2 y (- x^{3} y)}{12 x^{4} y^{3} + 3 y - x} - \frac{3 y^{2}}{2 x (12 x^{4} y^{3} + 3 y - x)} - \frac{1}{2 x (12 x^{4} y^{3} + 3 y - x)}$

Étape 5.3.6.3.2.4.2

Factorisez $2 y$ à partir de $2 y (1 - 3 x^{3} y^{3}) + 2 y (- x^{3} y)$ .

$y' = \frac{2 y (1 - 3 x^{3} y^{3} - x^{3} y)}{12 x^{4} y^{3} + 3 y - x} - \frac{3 y^{2}}{2 x (12 x^{4} y^{3} + 3 y - x)} - \frac{1}{2 x (12 x^{4} y^{3} + 3 y - x)}$

Étape 5.3.6.3.3

Pour écrire $\frac{2 y (1 - 3 x^{3} y^{3} - x^{3} y)}{12 x^{4} y^{3} + 3 y - x}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2 x}{2 x}$ .

$y' = \frac{2 y (1 - 3 x^{3} y^{3} - x^{3} y)}{12 x^{4} y^{3} + 3 y - x} \cdot \frac{2 x}{2 x} - \frac{3 y^{2}}{2 x (12 x^{4} y^{3} + 3 y - x)} - \frac{1}{2 x (12 x^{4} y^{3} + 3 y - x)}$

Étape 5.3.6.3.4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(12 x^{4} y^{3} + 3 y - x) \cdot 2 x$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 5.3.6.3.4.1

Multipliez $\frac{2 y (1 - 3 x^{3} y^{3} - x^{3} y)}{12 x^{4} y^{3} + 3 y - x}$ par $\frac{2 x}{2 x}$ .

$y' = \frac{2 y (1 - 3 x^{3} y^{3} - x^{3} y) (2 x)}{(12 x^{4} y^{3} + 3 y - x) (2 x)} - \frac{3 y^{2}}{2 x (12 x^{4} y^{3} + 3 y - x)} - \frac{1}{2 x (12 x^{4} y^{3} + 3 y - x)}$

Étape 5.3.6.3.4.2

Réorganisez les facteurs de $(12 x^{4} y^{3} + 3 y - x) (2 x)$ .

$y' = \frac{2 y (1 - 3 x^{3} y^{3} - x^{3} y) (2 x)}{2 x (12 x^{4} y^{3} + 3 y - x)} - \frac{3 y^{2}}{2 x (12 x^{4} y^{3} + 3 y - x)} - \frac{1}{2 x (12 x^{4} y^{3} + 3 y - x)}$

Étape 5.3.6.3.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y' = \frac{2 y (1 - 3 x^{3} y^{3} - x^{3} y) (2 x) - 3 y^{2}}{2 x (12 x^{4} y^{3} + 3 y - x)} - \frac{1}{2 x (12 x^{4} y^{3} + 3 y - x)}$

Étape 5.3.6.3.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.3.6.3.6.1

Factorisez $y$ à partir de $2 y (1 - 3 x^{3} y^{3} - x^{3} y) (2 x) - 3 y^{2}$ .

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Étape 5.3.6.3.6.1.1

Factorisez $y$ à partir de $2 y (1 - 3 x^{3} y^{3} - x^{3} y) (2 x)$ .

$y' = \frac{y ((2 (1 - 3 x^{3} y^{3} - x^{3} y)) (2 x)) - 3 y^{2}}{2 x (12 x^{4} y^{3} + 3 y - x)} - \frac{1}{2 x (12 x^{4} y^{3} + 3 y - x)}$

Étape 5.3.6.3.6.1.2

Factorisez $y$ à partir de $- 3 y^{2}$ .

$y' = \frac{y ((2 (1 - 3 x^{3} y^{3} - x^{3} y)) (2 x)) + y (- 3 y)}{2 x (12 x^{4} y^{3} + 3 y - x)} - \frac{1}{2 x (12 x^{4} y^{3} + 3 y - x)}$

Étape 5.3.6.3.6.1.3

Factorisez $y$ à partir de $y ((2 (1 - 3 x^{3} y^{3} - x^{3} y)) (2 x)) + y (- 3 y)$ .

$y' = \frac{y ((2 (1 - 3 x^{3} y^{3} - x^{3} y)) (2 x) - 3 y)}{2 x (12 x^{4} y^{3} + 3 y - x)} - \frac{1}{2 x (12 x^{4} y^{3} + 3 y - x)}$

Étape 5.3.6.3.6.2

Appliquez la propriété distributive.

$y' = \frac{y ((2 \cdot 1 + 2 (- 3 x^{3} y^{3}) + 2 (- x^{3} y)) (2 x) - 3 y)}{2 x (12 x^{4} y^{3} + 3 y - x)} - \frac{1}{2 x (12 x^{4} y^{3} + 3 y - x)}$

Étape 5.3.6.3.6.3

Simplifiez

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Étape 5.3.6.3.6.3.1

Multipliez $2$ par $1$ .

$y' = \frac{y ((2 + 2 (- 3 x^{3} y^{3}) + 2 (- x^{3} y)) (2 x) - 3 y)}{2 x (12 x^{4} y^{3} + 3 y - x)} - \frac{1}{2 x (12 x^{4} y^{3} + 3 y - x)}$

Étape 5.3.6.3.6.3.2

Multipliez $- 3$ par $2$ .

$y' = \frac{y ((2 - 6 (x^{3} y^{3}) + 2 (- x^{3} y)) (2 x) - 3 y)}{2 x (12 x^{4} y^{3} + 3 y - x)} - \frac{1}{2 x (12 x^{4} y^{3} + 3 y - x)}$

Étape 5.3.6.3.6.3.3

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$y' = \frac{y ((2 - 6 (x^{3} y^{3}) - 2 (x^{3} y)) (2 x) - 3 y)}{2 x (12 x^{4} y^{3} + 3 y - x)} - \frac{1}{2 x (12 x^{4} y^{3} + 3 y - x)}$

Étape 5.3.6.3.6.4

Supprimez les parenthèses.

$y' = \frac{y ((2 - 6 x^{3} y^{3} - 2 x^{3} y) (2 x) - 3 y)}{2 x (12 x^{4} y^{3} + 3 y - x)} - \frac{1}{2 x (12 x^{4} y^{3} + 3 y - x)}$

Étape 5.3.6.3.6.5

Appliquez la propriété distributive.

$y' = \frac{y (2 (2 x) - 6 x^{3} y^{3} (2 x) - 2 x^{3} y (2 x) - 3 y)}{2 x (12 x^{4} y^{3} + 3 y - x)} - \frac{1}{2 x (12 x^{4} y^{3} + 3 y - x)}$

Étape 5.3.6.3.6.6

Simplifiez

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Étape 5.3.6.3.6.6.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$y' = \frac{y (4 x - 6 x^{3} y^{3} (2 x) - 2 x^{3} y (2 x) - 3 y)}{2 x (12 x^{4} y^{3} + 3 y - x)} - \frac{1}{2 x (12 x^{4} y^{3} + 3 y - x)}$

Étape 5.3.6.3.6.6.2

Multipliez $x^{3}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.3.6.3.6.6.2.1

Déplacez $x$ .

$y' = \frac{y (4 x - 6 (x \cdot x^{3}) y^{3} \cdot 2 - 2 x^{3} y (2 x) - 3 y)}{2 x (12 x^{4} y^{3} + 3 y - x)} - \frac{1}{2 x (12 x^{4} y^{3} + 3 y - x)}$

Étape 5.3.6.3.6.6.2.2

Multipliez $x$ par $x^{3}$ .

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Étape 5.3.6.3.6.6.2.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$y' = \frac{y (4 x - 6 (x^{1} x^{3}) y^{3} \cdot 2 - 2 x^{3} y (2 x) - 3 y)}{2 x (12 x^{4} y^{3} + 3 y - x)} - \frac{1}{2 x (12 x^{4} y^{3} + 3 y - x)}$

Étape 5.3.6.3.6.6.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y' = \frac{y (4 x - 6 x^{1 + 3} y^{3} \cdot 2 - 2 x^{3} y (2 x) - 3 y)}{2 x (12 x^{4} y^{3} + 3 y - x)} - \frac{1}{2 x (12 x^{4} y^{3} + 3 y - x)}$

Étape 5.3.6.3.6.6.2.3

Additionnez $1$ et $3$ .

$y' = \frac{y (4 x - 6 x^{4} y^{3} \cdot 2 - 2 x^{3} y (2 x) - 3 y)}{2 x (12 x^{4} y^{3} + 3 y - x)} - \frac{1}{2 x (12 x^{4} y^{3} + 3 y - x)}$

Étape 5.3.6.3.6.6.3

Multipliez $x^{3}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.3.6.3.6.6.3.1

Déplacez $x$ .

$y' = \frac{y (4 x - 6 x^{4} y^{3} \cdot 2 - 2 (x \cdot x^{3}) y \cdot 2 - 3 y)}{2 x (12 x^{4} y^{3} + 3 y - x)} - \frac{1}{2 x (12 x^{4} y^{3} + 3 y - x)}$

Étape 5.3.6.3.6.6.3.2

Multipliez $x$ par $x^{3}$ .

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Étape 5.3.6.3.6.6.3.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$y' = \frac{y (4 x - 6 x^{4} y^{3} \cdot 2 - 2 (x^{1} x^{3}) y \cdot 2 - 3 y)}{2 x (12 x^{4} y^{3} + 3 y - x)} - \frac{1}{2 x (12 x^{4} y^{3} + 3 y - x)}$

Étape 5.3.6.3.6.6.3.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y' = \frac{y (4 x - 6 x^{4} y^{3} \cdot 2 - 2 x^{1 + 3} y \cdot 2 - 3 y)}{2 x (12 x^{4} y^{3} + 3 y - x)} - \frac{1}{2 x (12 x^{4} y^{3} + 3 y - x)}$

Étape 5.3.6.3.6.6.3.3

Additionnez $1$ et $3$ .

$y' = \frac{y (4 x - 6 x^{4} y^{3} \cdot 2 - 2 x^{4} y \cdot 2 - 3 y)}{2 x (12 x^{4} y^{3} + 3 y - x)} - \frac{1}{2 x (12 x^{4} y^{3} + 3 y - x)}$

Étape 5.3.6.3.6.7

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.6.3.6.7.1

Multipliez $2$ par $- 6$ .

$y' = \frac{y (4 x - 12 x^{4} y^{3} - 2 x^{4} y \cdot 2 - 3 y)}{2 x (12 x^{4} y^{3} + 3 y - x)} - \frac{1}{2 x (12 x^{4} y^{3} + 3 y - x)}$

Étape 5.3.6.3.6.7.2

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$y' = \frac{y (4 x - 12 x^{4} y^{3} - 4 x^{4} y - 3 y)}{2 x (12 x^{4} y^{3} + 3 y - x)} - \frac{1}{2 x (12 x^{4} y^{3} + 3 y - x)}$

Étape 5.3.6.3.7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y' = \frac{y (4 x - 12 x^{4} y^{3} - 4 x^{4} y - 3 y) - 1}{2 x (12 x^{4} y^{3} + 3 y - x)}$

Étape 5.3.6.3.8

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.6.3.8.1

Appliquez la propriété distributive.

$y' = \frac{y (4 x) + y (- 12 x^{4} y^{3}) + y (- 4 x^{4} y) + y (- 3 y) - 1}{2 x (12 x^{4} y^{3} + 3 y - x)}$

Étape 5.3.6.3.8.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.6.3.8.2.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$y' = \frac{4 y x + y (- 12 x^{4} y^{3}) + y (- 4 x^{4} y) + y (- 3 y) - 1}{2 x (12 x^{4} y^{3} + 3 y - x)}$

Étape 5.3.6.3.8.2.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$y' = \frac{4 y x - 12 y (x^{4} y^{3}) + y (- 4 x^{4} y) + y (- 3 y) - 1}{2 x (12 x^{4} y^{3} + 3 y - x)}$

Étape 5.3.6.3.8.2.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$y' = \frac{4 y x - 12 y (x^{4} y^{3}) - 4 y (x^{4} y) + y (- 3 y) - 1}{2 x (12 x^{4} y^{3} + 3 y - x)}$

Étape 5.3.6.3.8.2.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$y' = \frac{4 y x - 12 y (x^{4} y^{3}) - 4 y (x^{4} y) - 3 y \cdot y - 1}{2 x (12 x^{4} y^{3} + 3 y - x)}$

Étape 5.3.6.3.8.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.6.3.8.3.1

Multipliez $y$ par $y^{3}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.6.3.8.3.1.1

Déplacez $y^{3}$ .

$y' = \frac{4 y x - 12 (y^{3} y) x^{4} - 4 y (x^{4} y) - 3 y \cdot y - 1}{2 x (12 x^{4} y^{3} + 3 y - x)}$

Étape 5.3.6.3.8.3.1.2

Multipliez $y^{3}$ par $y$ .

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Étape 5.3.6.3.8.3.1.2.1

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$y' = \frac{4 y x - 12 (y^{3} y^{1}) x^{4} - 4 y (x^{4} y) - 3 y \cdot y - 1}{2 x (12 x^{4} y^{3} + 3 y - x)}$

Étape 5.3.6.3.8.3.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y' = \frac{4 y x - 12 y^{3 + 1} x^{4} - 4 y (x^{4} y) - 3 y \cdot y - 1}{2 x (12 x^{4} y^{3} + 3 y - x)}$

Étape 5.3.6.3.8.3.1.3

Additionnez $3$ et $1$ .

$y' = \frac{4 y x - 12 y^{4} x^{4} - 4 y (x^{4} y) - 3 y \cdot y - 1}{2 x (12 x^{4} y^{3} + 3 y - x)}$

Étape 5.3.6.3.8.3.2

Multipliez $y$ par $y$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.6.3.8.3.2.1

Déplacez $y$ .

$y' = \frac{4 y x - 12 y^{4} x^{4} - 4 (y \cdot y) x^{4} - 3 y \cdot y - 1}{2 x (12 x^{4} y^{3} + 3 y - x)}$

Étape 5.3.6.3.8.3.2.2

Multipliez $y$ par $y$ .

$y' = \frac{4 y x - 12 y^{4} x^{4} - 4 y^{2} x^{4} - 3 y \cdot y - 1}{2 x (12 x^{4} y^{3} + 3 y - x)}$

Étape 5.3.6.3.8.3.3

Multipliez $y$ par $y$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.6.3.8.3.3.1

Déplacez $y$ .

$y' = \frac{4 y x - 12 y^{4} x^{4} - 4 y^{2} x^{4} - 3 (y \cdot y) - 1}{2 x (12 x^{4} y^{3} + 3 y - x)}$

Étape 5.3.6.3.8.3.3.2

Multipliez $y$ par $y$ .

$y' = \frac{4 y x - 12 y^{4} x^{4} - 4 y^{2} x^{4} - 3 y^{2} - 1}{2 x (12 x^{4} y^{3} + 3 y - x)}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 y x - 12 y^{4} x^{4} - 4 y^{2} x^{4} - 3 y^{2} - 1}{2 x (12 x^{4} y^{3} + 3 y - x)}$