Calcul infinitésimal Exemples

e^{y} = x y

$e^{y} = x y$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

\frac{d}{d x} (e^{y}) = \frac{d}{d x} (x y)

$\frac{d}{d x} (e^{y}) = \frac{d}{d x} (x y)$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que

\frac{d}{d x} [f (g (x))]

$\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est

f' (g (x)) g' (x)

$f' (g (x)) g' (x)$ où

f (x) = e^{x}

$f (x) = e^{x}$ et

g (x) = y

$g (x) = y$ .

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Étape 2.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez

u

$u$ comme

y

$y$ .

\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [y]

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [y]$

Étape 2.1.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que

\frac{d}{d u} [a^{u}]

$\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est

a^{u} ln (a)

$a^{u} \ln (a)$ où

a

$a$ =

e

$e$ .

e^{u} \frac{d}{d x} [y]

$e^{u} \frac{d}{d x} [y]$

Étape 2.1.3

Remplacez toutes les occurrences de

u

$u$ par

y

$y$ .

e^{y} \frac{d}{d x} [y]

$e^{y} \frac{d}{d x} [y]$

e^{y} \frac{d}{d x} [y]

$e^{y} \frac{d}{d x} [y]$

Étape 2.2

Réécrivez

\frac{d}{d x} [y]

$\frac{d}{d x} [y]$ comme

y'

$y'$ .

e^{y} y'

$e^{y} y'$

e^{y} y'

$e^{y} y'$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que

\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]

$\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est

f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]

$f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où

f (x) = x

$f (x) = x$ et

g (x) = y

$g (x) = y$ .

x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]

$x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]$

Étape 3.2

Réécrivez

\frac{d}{d x} [y]

$\frac{d}{d x} [y]$ comme

y'

$y'$ .

x y' + y \frac{d}{d x} [x]

$x y' + y \frac{d}{d x} [x]$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ où

n = 1

$n = 1$ .

x y' + y \cdot 1

$x y' + y \cdot 1$

Étape 3.4

Multipliez

y

$y$ par

1

$1$ .

x y' + y

$x y' + y$

x y' + y

$x y' + y$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

e^{y} y' = x y' + y

$e^{y} y' = x y' + y$

Étape 5

Résolvez

y'

$y'$ .

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Étape 5.1

Remettez les facteurs dans l’ordre dans

e^{y} y'

$e^{y} y'$ .

y' e^{y} = x y' + y

$y' e^{y} = x y' + y$

Étape 5.2

Soustrayez

x y'

$x y'$ des deux côtés de l’équation.

y' e^{y} - x y' = y

$y' e^{y} - x y' = y$

Étape 5.3

Factorisez

y'

$y'$ à partir de

y' e^{y} - x y'

$y' e^{y} - x y'$ .

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Étape 5.3.1

Factorisez

y'

$y'$ à partir de

y' e^{y}

$y' e^{y}$ .

y' (e^{y}) - x y' = y

$y' (e^{y}) - x y' = y$

Étape 5.3.2

Factorisez

y'

$y'$ à partir de

- x y'

$- x y'$ .

y' (e^{y}) + y' (- x) = y

$y' (e^{y}) + y' (- x) = y$

Étape 5.3.3

Factorisez

y'

$y'$ à partir de

y' (e^{y}) + y' (- x)

$y' (e^{y}) + y' (- x)$ .

y' (e^{y} - x) = y

$y' (e^{y} - x) = y$

y' (e^{y} - x) = y

$y' (e^{y} - x) = y$

Étape 5.4

Divisez chaque terme dans

y' (e^{y} - x) = y

$y' (e^{y} - x) = y$ par

e^{y} - x

$e^{y} - x$ et simplifiez.

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Étape 5.4.1

Divisez chaque terme dans

y' (e^{y} - x) = y

$y' (e^{y} - x) = y$ par

e^{y} - x

$e^{y} - x$ .

\frac{y' (e^{y} - x)}{e^{y} - x} = \frac{y}{e^{y} - x}

$\frac{y' (e^{y} - x)}{e^{y} - x} = \frac{y}{e^{y} - x}$

Étape 5.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.4.2.1

Annulez le facteur commun de

e^{y} - x

$e^{y} - x$ .

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Étape 5.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y' (e^{y} - x)}{e^{y} - x} = \frac{y}{e^{y} - x}$

Étape 5.4.2.1.2

Divisez

$y'$ par

$1$ .

$y' = \frac{y}{e^{y} - x}$

Étape 6

Remplacez

$y'$ par

$\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{e^{y} - x}$