Calcul infinitésimal Exemples

$\sqrt{y} + \frac{1}{\sqrt{y}} = 2 x$

Étape 1

Réécrivez le côté gauche avec des exposants rationnels.

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Étape 1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{y}$ comme $y^{\frac{1}{2}}$ .

$y^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{\sqrt{y}} = 2 x$

Étape 1.2

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{y}$ comme $y^{\frac{1}{2}}$ .

$y^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{y^{\frac{1}{2}}} = 2 x$

Étape 2

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (y^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{y^{\frac{1}{2}}}) = \frac{d}{d x} (2 x)$

Étape 3

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $y^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{y^{\frac{1}{2}}}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{y^{\frac{1}{2}}}]$ .

$\frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{y^{\frac{1}{2}}}]$

Étape 3.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]$ .

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Étape 3.2.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ et $g (x) = y$ .

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Étape 3.2.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $y$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{y^{\frac{1}{2}}}]$

Étape 3.2.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{y^{\frac{1}{2}}}]$

Étape 3.2.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $y$ .

$\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{y^{\frac{1}{2}}}]$

Étape 3.2.2

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1} y' + \frac{d}{d x} [\frac{1}{y^{\frac{1}{2}}}]$

Étape 3.2.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} y' + \frac{d}{d x} [\frac{1}{y^{\frac{1}{2}}}]$

Étape 3.2.4

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} y' + \frac{d}{d x} [\frac{1}{y^{\frac{1}{2}}}]$

Étape 3.2.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{2} y^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} y' + \frac{d}{d x} [\frac{1}{y^{\frac{1}{2}}}]$

Étape 3.2.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.2.6.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{1}{2} y^{\frac{1 - 2}{2}} y' + \frac{d}{d x} [\frac{1}{y^{\frac{1}{2}}}]$

Étape 3.2.6.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} y^{\frac{- 1}{2}} y' + \frac{d}{d x} [\frac{1}{y^{\frac{1}{2}}}]$

Étape 3.2.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{2} y^{- \frac{1}{2}} y' + \frac{d}{d x} [\frac{1}{y^{\frac{1}{2}}}]$

Étape 3.2.8

Associez $\frac{1}{2}$ et $y^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{y^{- \frac{1}{2}}}{2} y' + \frac{d}{d x} [\frac{1}{y^{\frac{1}{2}}}]$

Étape 3.2.9

Associez $\frac{y^{- \frac{1}{2}}}{2}$ et $y'$ .

$\frac{y^{- \frac{1}{2}} y'}{2} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{y^{\frac{1}{2}}}]$

Étape 3.2.10

Placez $y^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{y^{\frac{1}{2}}}]$

Étape 3.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{1}{y^{\frac{1}{2}}}]$ .

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Étape 3.3.1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = 1$ et $g (x) = y^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{y^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]}{{(y^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 3.3.2

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{y^{\frac{1}{2}} \cdot 0 - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]}{{(y^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 3.3.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ et $g (x) = y$ .

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Étape 3.3.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $y$ .

$\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{y^{\frac{1}{2}} \cdot 0 - 1 \cdot 1 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [y])}{{(y^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 3.3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ est $n {u_{2}}^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{y^{\frac{1}{2}} \cdot 0 - 1 \cdot 1 (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [y])}{{(y^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 3.3.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $y$ .

$\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{y^{\frac{1}{2}} \cdot 0 - 1 \cdot 1 (\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [y])}{{(y^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 3.3.4

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{y^{\frac{1}{2}} \cdot 0 - 1 \cdot 1 (\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1} y')}{{(y^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 3.3.5

Multipliez $y^{\frac{1}{2}}$ par $0$ .

$\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{0 - 1 \cdot 1 (\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1} y')}{{(y^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 3.3.6

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{0 - (\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1} y')}{{(y^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 3.3.7

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{0 - (\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} y')}{{(y^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 3.3.8

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{0 - (\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} y')}{{(y^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 3.3.9

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{0 - (\frac{1}{2} y^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} y')}{{(y^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 3.3.10

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.3.10.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{0 - (\frac{1}{2} y^{\frac{1 - 2}{2}} y')}{{(y^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 3.3.10.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{0 - (\frac{1}{2} y^{\frac{- 1}{2}} y')}{{(y^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 3.3.11

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{0 - (\frac{1}{2} y^{- \frac{1}{2}} y')}{{(y^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 3.3.12

Associez $\frac{1}{2}$ et $y^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{0 - (\frac{y^{- \frac{1}{2}}}{2} y')}{{(y^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 3.3.13

Associez $\frac{y^{- \frac{1}{2}}}{2}$ et $y'$ .

$\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{0 - \frac{y^{- \frac{1}{2}} y'}{2}}{{(y^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 3.3.14

Placez $y^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{0 - \frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}}}{{(y^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 3.3.15

Soustrayez $\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}}$ de $0$ .

$\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{- \frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}}}{{(y^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 3.3.16

Multipliez les exposants dans ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.3.16.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{- \frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}}}{y^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 3.3.16.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.3.16.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{- \frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}}}{y^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 3.3.16.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{- \frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}}}{y^{1}}$

Étape 3.3.17

Simplifiez

$\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{- \frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}}}{y}$

Étape 3.3.18

Réécrivez $\frac{- \frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}}}{y}$ comme un produit.

$\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} - \frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{y}$

Étape 3.3.19

Multipliez $\frac{1}{y}$ par $\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} - \frac{y'}{y (2 y^{\frac{1}{2}})}$

Étape 3.3.20

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} - \frac{y'}{2 (y^{1} y^{\frac{1}{2}})}$

Étape 3.3.21

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} - \frac{y'}{2 y^{1 + \frac{1}{2}}}$

Étape 3.3.22

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} - \frac{y'}{2 y^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}$

Étape 3.3.23

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} - \frac{y'}{2 y^{\frac{2 + 1}{2}}}$

Étape 3.3.24

Additionnez $2$ et $1$ .

$\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} - \frac{y'}{2 y^{\frac{3}{2}}}$

Étape 4

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 4.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Étape 4.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$2$

Étape 5

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} - \frac{y'}{2 y^{\frac{3}{2}}} = 2$

Étape 6

Résolvez $y'$ .

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Étape 6.1

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 6.1.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$2 y^{\frac{1}{2}}, 2 y^{\frac{3}{2}}, 1$

Étape 6.1.2

Since $2 y^{\frac{1}{2}}, 2 y^{\frac{3}{2}}, 1$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $2, 2, 1$ then find LCM for the variable part $y^{\frac{1}{2}}, y^{\frac{3}{2}}$ .

Étape 6.1.3

Le plus petit multiple commun est le plus petit nombre positif dans lequel tous les nombres peuvent être divisés parfaitement.

1. Indiquez les facteurs premiers de chaque nombre.

2. Multipliez chaque facteur le plus grand nombre de fois qu’il apparaît dans un nombre.

Étape 6.1.4

$2$ n’a pas de facteur hormis $1$ et $2$ .

$2$ est un nombre premier

Étape 6.1.5

Le nombre $1$ n’est pas un nombre premier car il ne comporte qu’un facteur positif, qui est lui-même.

Pas premier

Étape 6.1.6

Le plus petit multiple commun de $2, 2, 1$ est le résultat de la multiplication de tous les facteurs premiers le plus grand nombre de fois qu’ils apparaissent dans un nombre ou l’autre.

$2$

Étape 6.1.7

Le plus petit multiple commun de $y^{\frac{1}{2}}, y^{\frac{3}{2}}$ est le résultat de la multiplication de tous les facteurs premiers le plus grand nombre de fois qu’ils apparaissent dans un terme ou l’autre.

$y^{\frac{3}{2}}$

Étape 6.1.8

Le plus petit multiple commun pour $2 y^{\frac{1}{2}}, 2 y^{\frac{3}{2}}, 1$ est la partie numérique $2$ multipliée par la partie variable.

$2 y^{\frac{3}{2}}$

Étape 6.2

Multiplier chaque terme dans $\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} - \frac{y'}{2 y^{\frac{3}{2}}} = 2$ par $2 y^{\frac{3}{2}}$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 6.2.1

Multipliez chaque terme dans $\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} - \frac{y'}{2 y^{\frac{3}{2}}} = 2$ par $2 y^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{3}{2}}) - \frac{y'}{2 y^{\frac{3}{2}}} (2 y^{\frac{3}{2}}) = 2 (2 y^{\frac{3}{2}})$

Étape 6.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.2.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$2 \frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{3}{2}} - \frac{y'}{2 y^{\frac{3}{2}}} (2 y^{\frac{3}{2}}) = 2 (2 y^{\frac{3}{2}})$

Étape 6.2.2.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.2.2.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{3}{2}} - \frac{y'}{2 y^{\frac{3}{2}}} (2 y^{\frac{3}{2}}) = 2 (2 y^{\frac{3}{2}})$

Étape 6.2.2.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y'}{y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{3}{2}} - \frac{y'}{2 y^{\frac{3}{2}}} (2 y^{\frac{3}{2}}) = 2 (2 y^{\frac{3}{2}})$

Étape 6.2.2.1.3

Annulez le facteur commun de $y^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 6.2.2.1.3.1

Factorisez $y^{\frac{1}{2}}$ à partir de $y^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{y'}{y^{\frac{1}{2}}} (y^{\frac{1}{2}} y^{\frac{2}{2}}) - \frac{y'}{2 y^{\frac{3}{2}}} (2 y^{\frac{3}{2}}) = 2 (2 y^{\frac{3}{2}})$

Étape 6.2.2.1.3.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{y'}{y^{\frac{1}{2}}} (y^{\frac{1}{2}} y^{\frac{2}{2}}) - \frac{y'}{2 y^{\frac{3}{2}}} (2 y^{\frac{3}{2}}) = 2 (2 y^{\frac{3}{2}})$

Étape 6.2.2.1.3.3

Réécrivez l’expression.

$y' y^{\frac{2}{2}} - \frac{y'}{2 y^{\frac{3}{2}}} (2 y^{\frac{3}{2}}) = 2 (2 y^{\frac{3}{2}})$

Étape 6.2.2.1.4

Divisez $2$ par $2$ .

$y' y^{1} - \frac{y'}{2 y^{\frac{3}{2}}} (2 y^{\frac{3}{2}}) = 2 (2 y^{\frac{3}{2}})$

Étape 6.2.2.1.5

Simplifiez

$y' y - \frac{y'}{2 y^{\frac{3}{2}}} (2 y^{\frac{3}{2}}) = 2 (2 y^{\frac{3}{2}})$

Étape 6.2.2.1.6

Annulez le facteur commun de $2 y^{\frac{3}{2}}$ .

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Étape 6.2.2.1.6.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{y'}{2 y^{\frac{3}{2}}}$ dans le numérateur.

$y' y + \frac{- y'}{2 y^{\frac{3}{2}}} (2 y^{\frac{3}{2}}) = 2 (2 y^{\frac{3}{2}})$

Étape 6.2.2.1.6.2

Annulez le facteur commun.

$y' y + \frac{- y'}{2 y^{\frac{3}{2}}} (2 y^{\frac{3}{2}}) = 2 (2 y^{\frac{3}{2}})$

Étape 6.2.2.1.6.3

Réécrivez l’expression.

$y' y - y' = 2 (2 y^{\frac{3}{2}})$

Étape 6.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.2.3.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$y' y - y' = 4 y^{\frac{3}{2}}$

Étape 6.3

Résolvez l’équation.

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Étape 6.3.1

Factorisez $y'$ à partir de $y' y - y'$ .

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Étape 6.3.1.1

Factorisez $y'$ à partir de $y' y$ .

$y' (y) - y' = 4 y^{\frac{3}{2}}$

Étape 6.3.1.2

Factorisez $y'$ à partir de $- y'$ .

$y' (y) + y' \cdot - 1 = 4 y^{\frac{3}{2}}$

Étape 6.3.1.3

Factorisez $y'$ à partir de $y' (y) + y' \cdot - 1$ .

$y' (y - 1) = 4 y^{\frac{3}{2}}$

Étape 6.3.2

Divisez chaque terme dans $y' (y - 1) = 4 y^{\frac{3}{2}}$ par $y - 1$ et simplifiez.

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Étape 6.3.2.1

Divisez chaque terme dans $y' (y - 1) = 4 y^{\frac{3}{2}}$ par $y - 1$ .

$\frac{y' (y - 1)}{y - 1} = \frac{4 y^{\frac{3}{2}}}{y - 1}$

Étape 6.3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.3.2.2.1

Annulez le facteur commun de $y - 1$ .

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Étape 6.3.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y' (y - 1)}{y - 1} = \frac{4 y^{\frac{3}{2}}}{y - 1}$

Étape 6.3.2.2.1.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{4 y^{\frac{3}{2}}}{y - 1}$

Étape 7

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 y^{\frac{3}{2}}}{y - 1}$