Calcul infinitésimal Exemples

$- \frac{x}{y} = 0$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (- \frac{x}{y}) = \frac{d}{d x} (0)$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = - 1$ et $g (x) = \frac{x}{y}$ .

$- \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}] + \frac{x}{y} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x$ et $g (x) = y$ .

$- \frac{y \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}} + \frac{x}{y} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 2.3.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- \frac{y \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}} + \frac{x}{y} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.3.2

Multipliez $y$ par $1$ .

$- \frac{y - x \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}} + \frac{x}{y} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.4

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$- \frac{y - x y'}{y^{2}} + \frac{x}{y} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.5

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- \frac{y - x y'}{y^{2}} + \frac{x}{y} \cdot 0$

Étape 2.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.6.1

Multipliez $\frac{x}{y}$ par $0$ .

$- \frac{y - x y'}{y^{2}} + 0$

Étape 2.6.2

Additionnez $- \frac{y - x y'}{y^{2}}$ et $0$ .

$- \frac{y - x y'}{y^{2}}$

Étape 3

Comme $0$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $0$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$- \frac{y - x y'}{y^{2}} = 0$

Étape 5

Résolvez $y'$ .

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Étape 5.1

Définissez le numérateur égal à zéro.

$y - x y' = 0$

Étape 5.2

Résolvez l’équation pour $y'$ .

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Étape 5.2.1

Soustrayez $y$ des deux côtés de l’équation.

$- x y' = - y$

Étape 5.2.2

Divisez chaque terme dans $- x y' = - y$ par $- x$ et simplifiez.

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Étape 5.2.2.1

Divisez chaque terme dans $- x y' = - y$ par $- x$ .

$\frac{- x y'}{- x} = \frac{- y}{- x}$

Étape 5.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x y'}{x} = \frac{- y}{- x}$

Étape 5.2.2.2.2

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 5.2.2.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x y'}{x} = \frac{- y}{- x}$

Étape 5.2.2.2.2.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{- y}{- x}$

Étape 5.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.2.2.3.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$y' = \frac{y}{x}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x}$